Скорость

Материальная точка при своем движении описывает некоторую линию. Эта линия называется т р а е к т о р и е й. В зависимости от от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по окружности, криволинейное движение и т.п.

Пусть материальная точка (в дальнейшем для краткости ми будем называть ее частицей) переместилась вдоль некоторой траектории из точки 1 в точку 2 (рис. 3.1). Расстояние между точками 1 и 2, отсчитанное вдоль траектории, называется п у т е м, пройденным частицей. Мы будем обозначать его буквой s.

Прямолинейный отрезок, проведенный из точки 1 в точку 2, называется перемещением частицы. Обозначим его символом r ₁₂. Предположим, что частица совершает последовательно два перемещения: r ₁₂ и r ₂₃ (рис. 3.2). Суммой этих перемещений естественно назвать такое перемещение r ₁₃, которое приводит к тому же результату, что и первые два перемещения вместе. Таким образом,

перемещения характеризуются численным значением и направлением и, кроме того, складываются по правилу параллелограмма. Отсюда следует, что перемещение есть вектор.

В обыденной жизни под скоростью понимают путь, проходимый частицей за единицу времени. Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени частица проходит одинаковые пути, движение частицы называют равномерным. В этом случае скорость, которой обладает частица в каждый момент времени, можно вычислить, разделив путь s на время t.

В физике под скоростью понимают векторную величину, характеризующую не только быстроту перемещения частицы по траектории, но и направление, в котором движется частица в каждый момент времени. Разобьем траекторию на бесконечно малые участки длины ds (рис. 3.3). Каждому из участков сопоставим бесконечно малое перемещение d r. Разделив это перемещение на соответствующий промежуток времени dt, получим мгновенную скорость в данной точке траектории:

Таким образом, скорость есть производная радиуса-вектора частицы по времени. Перемещение dr совпадает с бесконечно малым элементом траектории. Следовательно, вектор v направлен по касательной к траектории (см. рис. 3.3).

Рассуждая более строго, для получения формулы (3.1) нужно поступить следующим образом. Зафиксировав некоторый момент времени t, рассмотрим приращение радиуса-вектора ∆ r за малый промежуток времени ∆t ¹), следующий за t (рис. 3.4). Отношение ∆r/∆t в пределе даст значение скорости v в момент времени t:

Мы пришли к формуле (3.1).

Найдем модуль выражения (3.2)., т.е. модель скорости v:

В этой формуле нельзя написать ∆r вместо |∆r|. Вектор ∆r есть по существу разность двух векторов (r в момент t+∆t минус r в момент t). Поэтому его модуль можно записать только с помощью вертикальных черточек (см. (2.2)). Символ |∆r| обозначает модуль приращения вектора r, в то время как ∆r представляет собой приращение модуля вектора r: ∆| r |. Обе эти величины, вообще говоря, не равны друг другу: ∆|r| ≠∆| r |=∆ r.

В этом можно убедиться на следующем примере. Пусть вектор г получает такое приращение ∆r, что модуль его не изменяется:
|r+∆r|=|r| (рис. 3.5). Тогда приращение модуля вектора равно нулю (|∆r|=∆r=0). В то же время модуль приращения вектора r, т. е. |∆r|, отличен от нуля (он равен длине отрезка 2—3). Сказанное справедливо для любого вектора a: в общем случае |∆a|≠∆α. Из рис. 3.4 [видно, что путь ∆s, вообще говоря, отличен по величине от модуля перемещения |∆r|. Однако, если брать отрезки пути ∆s и перемещения ∆r, соответствующие все меньшим промежуткам времени ∆t, то различие между ∆s и |∆r| будет убывать и их отношение в пределе станет равным
единице:

На этом основании можно заменить в фомуле (3.3) |∆r| через ∆s, в результате чего получится выражение

Таким образом, модуль скорости равен производной пути по времени.

Очевидно, что величина, называемая в обыденной жизни скоростью, на самом деле представляет собой модуль скорости v. При равномерном движении модуль скорости остается неизменным (v= const), в то время как направление вектора v изменяется произвольным образом (в частности, может быть постоянным).

В соответствии с формулой (3.1) элементарное перемещение частицы равно

dr= v dt. (3.5)

Иногда для наглядности мы будем обозначать элементарное перемещение символом ds, т. е. писать (3.5) в виде ds= v dt. (3.6)

Вектор скорости, как и всякий другой вектор, можно представить в виде

где vx, vy, vz – проекции вектора v на координатные оси. Вместе с тем равный v вектор r согласно формуле (2.43) выглядит следующим образом:

Из сравнения выражений (3.7) и (3.8) вытекает, что

Следовательно, проекция вектора скорости на координатную ось равна производной по времени соответствующей координаты движущейся частицы. Приняв во внимание (2.10), получим формулу: v√x²+y²+z². (3.10)

Вектор скорости можно представить в виде v=ve_v, где v-модуль скорости, а e_v- орт вектора v. C этой целью подставим в формулу (3.1) радиус-вектор в виде r=re_r. Согласно (2.49)

Для простоты ограничимся случаем, когда траектория является плоской кривой, т. е. такой кривой, все точки которой лежат в одной плоскости.

Примем эту плоскость за плоскость х, у. В (формуле (3.12) вектор v оказался представленным в виде суммы двух составляющих (рис. 3.6). Первая составляющая, которую мы обозначим у„ равна

Она направлена вдоль радиуса-вектора г и характеризует быстроту изменения модуля г. Вторая составляющая, которую мы обозначим у_ф, равна

Она характеризует быстроту изменения радиуса-вектора по направлению.

Воспользовавшись формулой (2.56), можно написать, что

Где φ- угол между раднусом-вектором и осью х, е_φ — перпендикулярный к радиусу-вектору орт, направленный в сторону возрастания угла φ (в формуле (2.56) этот орт был обозначен e ₁. Подставив это значение в (3.14), получим

Мы ввели обозначения v_φ и е_φ, чтобы подчеркнуть, что составляющая у_φ и соответствующий орт связаны с изменением угла φ.

Очевидно, что векторы v_r и'у<р взаимно перпендикулярны. Следовательно,

Рассмотрим вопрос о том, как, зная величину скорости в каж­дый момент времени, вычислить путь, проходимый частицей с момента времени t₁ до момента t₂. Разобьем промежуток времени t₂—t₁ на N малых, не обязательно одинаковых промежутков: ∆ t₁, ∆t₂…∆t_N. Весь путь s, пройденный частицей, можно предста­вить как сумму путей ∆s₁, ∆s₂…∆s_N, пройденных за соответст­вующие промежутки времени ∆t

В соответствии с формулой (3.4) каждое из слагаемых может быть приближенно представлено в виде

где ∆t_i — промежуток времени, за который был пройден путь ∆ s_i-, a v_i — одно из значений скорости за время ∆t_i. Следовательно,

Написанное равенство выполняется тем точнее, чем меньше проме­жутки времени ∆t_i. В пределе при стремлении всех ∆t_i к нулю (количество промежутков ∆t_i будет при этом неограниченно воз­растать) приближенное равенство станет точным:

Полученное выражение представляет собой определенный ин­теграл от функции v(t), взятый в пределах от t₁ до t₂. Таким обра­зом, путь, проходимый частицей за промежуток времени от t₁ до t₂, равен

Подчеркнем, что здесь идет речь о модуле скорости. Если взять интеграл от самой скорости v (t), то получится вектор перемещения частицы из точки, в которой она была в момент U, в точку, в которой она оказалась в момент t₂:

Если изобразить график зависимости v от t (рис. 3.7), то прой­денный путь можно представить как площадь фигуры, ограничен­ной кривой v(f) и прямыми t=t₁ и t=t₂. Действительно, произ­ведение v_i ∆t_i численно равно пло­щади i-й полоски. Сумма (3.17) равна площади, ограниченной свер­ху ломаной линией, образован­ной верхними краями всех подоб­ных полосок. При стремлении всех ∆t_i нулю ширина полосок убы­вает (одновременно число их рас­тет), и ломаная линия в пределе сольется с кривой v=v(t) Таким образом, путь, пройденный за вре­мя с момента t₁ до момента t₂, чис­ленно равен площади, ограниченной графиком функции v=v(t), осью времени t и прямыми t=t₁ и t=t₂.

Заметим, что среднее значение модуля скорости за время от до t₂ по определению равно)

Подставив сюда выражение (3.18) для s, получим:

Аналогично, вычисляются средние значения любых скалярных Или векторных функций. Например, среднее значение скорости равно

(см. (3.19)). Среднее значение функции у(х) на промежутке от x₁ до х₂ определяется выражением