Обработка результатов измерений

Всякая СВ Х обладает тем свойством, что при производстве в неизменных условиях n наблюдений будут зарегистрированы неодинаковые значения х₁, х₂,…х_n. Различаю дискретные и непрерывные СВ. ДСВ принимает отдельные изолированные друг от друга значения. НСВ принимает любые значения из свойственного ей интервала.

Закон распределения – соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями. ЗР представляют функцией распределения или плотностью распределения.

Функция распределения отображает вероятность события, заключающегося в том, что СВ (Х) примет значение меньше, чем произвольное действительное число х: P(x)=P(X<x).

Плотность распределения отображает вероятность события, состоящего в том, что значение х СВ Х находится в некотором наперед заданном интервале {х₁;х₂}: f(x)=P(x₁<X<x₂).

Нормальное распределение – распределение непрерывной СВ, для которого характерна плотность распределения вида

При однократных измерениях все характеристики прибора и метода измерения известны заранее, так как определяются при поверке и калибровке средств измерения на основе испытаний. Подобные испытания проводят в условиях многократных измерений с обязательной обработкой результатов измерения при помощи элементов математической статистики.

При анализе множества числовых значений, являющихся результатами измерений необходимо иметь ввиду, что меньшая случайная погрешность наблюдается при максимальном количестве значений измеренного параметра

при .

Понятно, что повышать количество измерений до бесконечности невозможно, поэтому приходится ограничиваться их выборкой.

Объем выборки зависит от нескольких факторов:

- экономической целесообразности повышения числа измерений, больше измерений – больше расходов;

- точности, которая нам необходима (технические измерения 95% или исследовательские измерения 99,73%)

- времени, затрачиваемого на обработку информации.

Фактически общей задачей обработки результатов многократных измерений является установление степени доверия к результатам и определения точности с учетом случайной и систематической составляющей погрешности.

Для установления степени доверия и определения точности результатов многократных измерений нам необходимо учесть статистические характеристики.

Среди числовых статистических характеристик случайной величины различают:

- характеристики положения

- характеристики рассеяния

- характеристики формы распределения.

Математическое ожидание случайной величины X представляет собой такое ее значение , около которого сосредоточены все другие возможные. В математической статистике принято считать, что математическое ожидание максимально приближено к истинному значению величины и может его достоверно заменять в расчетах. Наилучшей оценкой математического ожидания является выборочное среднее, рассчитываемое как среднее арифметическое:

.

Медиана Мe – это такое значение случайной величины, что для 50% ее возможных значений выполняется условие x<Me, а для других 50% выполняется условие x> Me.

Мода Mo – значение случайной величины, вероятность появления которого наибольшая.

Дисперсия - математическое ожидание квадратов отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания:

.

На основании выборки дисперсию случайной величины оценивают следующими характеристиками: дисперсией распределения (смещенная оценка) и выборочной дисперсией (несмещенная оценка). Указанные выборочные оценки дисперсии рассчитывают по формулам:

; (18)

. (19)

Выборочная дисперсия (19) является эффективной, несмещенной и состоятельной оценкой при любом объеме выборки. Для дисперсии распределения (18) состоятельность так же обеспечивается при любом объеме выборки, но несмещенность и эффективность достигаются только при n>30.

Несмещенность и эффективность достигнуты за счет того, что в знаменателе объем выборки уменьшен на единицу. Это оказалось необходимым в связи с использованием в формуле среднего выборочного , значение которого связано с элементами рассматриваемой выборки. Каждая величина, зависящая от элементов выборки и используемая в формуле выборочной оценки, называется связью. Разность между объемом выборки и числом связей l в формуле, по которой рассчитывается статистика, называют числом степеней свободы данной статистики v=n-l.

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение, стандарт). Недостатком дисперсии считают то, что она имеет размерность квадрата анализируемой величины. Для устранения указанного недостатка было введено среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение, стандарт), которое представляет собой корень квадратный из дисперсии случайной величины:

.

Наилучшей выборочной оценкой для является выборочное среднее квадратическое отклонение (выборочное стандартное отклонение):

.

Как видно из формулы, выборочное стандартное отклонение определяется через выборочную дисперсию и поэтому также является несмещенной и эффективной оценкой при любом n.

Для выборок объемом n>30 свойства несмещенности и эффективности проявляются также у стандартного отклонения, вычисляемого на основании дисперсии распределения (18):

.

В практике анализа числовой информации используют также ряд других характеристик рассеяния случайной величины. Например, коэффициент вариации.

Коэффициент вариации характеризует, какую долю от математического ожидания случайной величины составляет ее среднее квадратическое отклонение и является ерой относительной изменчивости наблюдаемой случайной величины:

.

Интервальные оценки характеризуют ошибку оценивания истинного значения некоторой характеристики распределения случайной величины с помощью соответствующей выборочной оценки . Их применение необходимо потому, что каждая выборочная оценка сама по себе является случайной величиной с некоторым распределением вероятности.

Под интервальном оценивании используют доверительную вероятность, уровень значимости, доверительный интервал и доверительные границы.

Доверительная вероятность – вероятность события, заключающегося в том, что ошибка оценивания истинного значения некоторого параметра распределения случайной величины его выборочной оценкой не превышает величины :

, где p<1.

Уровень значимости – вероятность события, заключающегося в том, что ошибка оценивания истинного значения некоторого параметра распределения случайной величины его выборочной оценкой превышает величину :

=(1-p).

Доверительный интервал – интервал значений выборочной характеристики, внутри которого истинное значение оцениваемого параметра находится с заданной доверительной вероятностью.

То есть, если р означает вероятность того, что результата измерения отличается от истинного на величину не более, чем :

,

То в этом случае р – доверительная вероятность, а интервал от до - доверительный интервал.

Доверительные границы – значения выборочной оценки, представляющие собой границы доверительного интервала:

.

В практике обработки числовой информации наиболее часто встречается задача интервального оценивания выборочного среднего . При ее решении исходят из того, что как случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением.

.

Величина имеет также специальное название – стандартная ошибка выборочного среднего или стандартное отклонение выборочного среднего.

Доверительные границы для выборочного среднего симметричны:

,

Где - табличное значение (квантиль) распределения Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы v=n-l, так же называемое коэффициентом Стьюдента.

Зная доверительные границы выборочного среднего, можно утверждать что с вероятностью

p=1- истинное значение случайной величины равно

.

Иначе:

.

В зависимости от значений и n находится табличное значение Стьюдента.