Аналитических сюжетных задач

Еще на заре цивилизации, в школе Пифагора (571–479 до н.э.), возник дерзкий замысел сделать математические методы универсальным средством для решения всех естественно-научных задач. Но тогда этот замысел был обречен на провал в силу недостаточного уровня развития как естествознания, так и самих математических методов, так как алгебра и анализ находились лишь в зачаточном состоянии.

В Средние века этот замысел с новой силой был возрожден Р. Бэконом (1214–1294) «предвестником опытной науки новых времен». В центре опытной науки, по Бэкону, находятся физико-математические знания. Вообще, все науки основаны на математике и их истины имеют ценность лишь постольку, поскольку они выражены числом и мерой, т.е. в математической форме. Математика в философских воззрениях Бэкона является азбукой всей натуральной философии, т.е. всего естествознания» (50).

Взгляды Р. Бэкона оказали огромное влияние на мыслителей последующих столетий, формируясь как механико-математическая концепция в трудах Н.Кузанского (1401–1464), Леонардо да Винчи (1452–1519), Гоббса (1588–1679), Декарта (1596–1650), Спинозы (1633–1677), Локка (1632–1704), Ньютона (1648–1723), Лейбница (1646–1716), Эйлера (1707–1783), Канта (1724–1804).

Эту концепцию хорошо иллюстрируют слова Канта: «Я утверждаю, что в каждой отдельной естественной науке можно найти собственную науку лишь постольку, поскольку в ней можно найти математику».

Лишь Гегель (1770–1831) сумел преодолеть крайности этой концепции, подчеркивая ограниченность сферы применения современных ему математических методов. Но уже к тому времени сфера применения этих методов была довольно обширной и благодаря развитию алгебры и анализа дерзкий замысел древних был частично осуществлен, причем Декарт и Ньютон придали идеям древних более четкую форму.

Исходя из положения Р. Бэкона о том, что математика – азбука естествознания, и близкая мысль Галилея о том, что природа говорит математическим языком, в своих «Правилах для руководства ума» Декарт стремился дать универсальный метод решения задач. Он считал, что ко всем задачам может быть применена следующая схема:

Первое – задачи любого вида сводятся к математическим задачам.

Второе – математические задачи любого вида сводятся к алгебраическим.

Третье – любая алгебраическая задача сводится к решению одного-единственного уравнения.

«С течением времени сам Декарт должен был признать, что имеются случаи, когда его схема является непригодной. Но тем не менее в намерении, положенном в основу схемы Декарта, можно усмотреть нечто глубоко правильное. Однако претворить это намерение в жизнь оказалось очень трудно... Проект Декарта потерпел неудачу, однако это был великий проект и, даже оставаясь нереализованным, он оказал большее влияние на науку, чем тысячи мелких проектов, в том числе таких, которые удалось реализовать. Хотя схема Декарта и неприменима во всех без исключения случаях, она пригодна для огромного множества их, которое включает неисчерпаемое разнообразие случаев.

И когда ученик средней школы собирается решать «словесную задачу» при помощи «системы уравнений», он следует схеме Декарта и готов к серьезному применению лежащей в ее основе универсальной идеи» (44, с. 45–46).

Будем сюжетные задачи, для которых метод Декарта оптимально эффективен, называть аналитическими.

Следует отметить, что идея решения задач с помощью уравнений связана не только с именем Декарта. По этому поводу уместно привести слова В.Ф. Кагана: «Вообще, всякая тенденция связать глубокую идею, широкий замысел с одним определенным лицом как с родоначальником этой идеи обычно по меньшей мере рискованна. Идеи широкого замысла не родятся из головы Юпитера – легендарного бога – или даже знаменитого философа.

Они всегда представляют собой результат эволюции, обыкновенно продолжительной, часто очень разветвленной. И вряд ли можно указать такой замысел, такую научную концепцию, связываемую с тем или иным ученым или философом в качестве ее родоначальника, следов, зачатков, начал которой нельзя было найти гораздо раньше, задолго до того, как она была отчетливо сформулирована, которому ее склонны приписывать».

Наметки идеи Декарта мы встречаем уже в египетских папирусах и вавилонских клинописных табличках; в китайских «Девяти книгах» и в книгах индийских математиков Брамагупты и Бхаскары, у греков – Архимеда и Диофанта, у арабов – аль-Хорезми и Омара Хайяма, в знаменитой «Книге об абаке» Леонарда Фибоначчи и в не менее знаменитом «Введении в аналитическое искусство» Ф. Виета.

Но все это не умаляет значения Декарта в развитии аналитического метода решения задач. Перескажем кратко суть этого метода.

1. Приступая к решению задачи, тщательно проанализируйте ее. Что требуется найти или доказать? Что дано? Какая зависимость между данным и искомым? Пусть перечень данных и зависимостей будет полным и детальным, пусть в нем ничего не будет упущено из виду. Принимай за истинно данное лишь интуитивно ясное и логически доказанное, если же условие довольно сложно, дели его на части до тех пор, пока оно не станет ясным для тебя. Чтобы затем воссоздать в своем представлении условие задачи в целом, соблюдай порядок в рассуждении, иди от простого к сложному, от легкого к трудному, от интуиции к логике. А если задача не поддается анализу, не приступай к ее решению, не действуй вслепую. Но мобилизуй все свои значения, весь свой опыт для проникновения в суть задачи, сосредоточь все свое внимание на фактах, о которых в ней говорится до тех пор, пока не достигнешь ясного их понимания и при этом исследуй все по порядку, не опуская «мелочей».

2. Когда предварительный анализ закончен, «когда мы хорошо понимаем вопрос, надо освободить его от всех излишних представлений, свести его к кратчайшим элементам», сведя сложную задачу к ряду простых. Для освобождения от излишних и создания нужных представлений хорошо служат буквенные символы и чертеж. Именно они позволяют создать модель задачи, в которой известные и неизвестные выступают как равноправные члены. Для создания таких моделей надо перевести зависимость между реальными величинами на язык четырех арифметических действий, для чего нужно хорошо знать их предметную основу – операции над отрезками. Проделывая всю эту работу, надо «испытывать правильность каждого шага, принимая лишь то, что усматривается с полной ясностью или выводится с полной достоверностью».

3. Символическая буквенная модель текстовой задачи, таким образом, будет сведена к системе уравнений, смысл каждого из которых сводится к выражению одного и того же значения некоторой величины двумя разными способами. Чтобы задача имела определенное решение, нужно иметь столько уравнений, сколько в задаче неизвестных.

4. Исследуй решение задачи, если хочешь извлечь из нее пользу. Пройдя путь, брось «взгляд назад», интуитивный и дедуктивный (19; 20).

Таким образом, мы видим, что уже в трудах Декарта имеется целая система методических указаний по решению текстовых аналитических задач. К сожалению, эти указания, за небольшим исключением, долгое время оставались неизвестными широкому кругу учителей, так как о них ничего не говорилось в методических руководствах. Только после выхода книг Д. Пойя эти указания в его пересказе стали известны учителям и методистам (43, 44).

Положение Декарта о том, что для уяснения данных и их зависимостей надо дробить задачу на более мелкие и простые части, Б. Паскаль (1623–1662) дополнил указанием: «Заменяй термины их определениями».

И. Ньютон в своей «Всеобщей Арифметике» посвящает методике решения аналитических задач две главы: «О проведении вопроса к уравнению» и «О приложении уравнений к геометрическим вопросам». В первой из них он выдвигает следующие методические идеи:

1. К решению задач на составление уравнений можно приступать, лишь имея солидный опыт по тождественным преобразованиям алгебраических выражений и решению уравнений.

2. Приступая к решению текстовой задачи, надо предварительно выяснить: аналитична ли она, т.е. возможно ли все данные и зависимости задачи перевести на алгебраический язык.

3. Текстовые задачи делятся на две большие группы: а) допускающие синхронный перевод с естественного языка на алгебраический (или параллельную запись частей текста и соответствующих им алгебраических выражений); б) не допускающих синхронного перевода. В последнем случае бывает необходимо перефразировать текст задачи, «придерживаясь больше смысла слов, чем их буквы. В языках различных народов имеются свои особые выражения, идиомы, и если они встречаются, то переводить их на другой язык нужно не буквально, а по смыслу».

Надо подчеркнуть, что синхронный перевод преобладает «при решении задач, относящихся лишь к числам или к отвлеченным отношениям величин».

4. Изучение задач – искусство; главный метод обучения здесь – показ; «искусство гораздо легче изучать при помощи примеров, чем при помощи предписаний» (41, с. 79–82).

И. Ньютон показывает, как решать задачи, почти на восьмидесяти примерах.

5. Решение задач по большей части «тем быстрее и искуснее, чем меньше вы вводите неизвестных величин» (см.: там же, с. 80).

6. Для решения задач «трудно дать общие предписания, и каждый должен... следовать указаниям собственного разума, я пытаюсь все же указать путь начинающим. Это следовать Правилам Декарта» (см.: там же, с. 103–106).

Мы видим, что Ньютон дополняет методические указания Декарта пятью новыми положениями. К сожалению, широкому кругу учителей они до сих пор мало известны.

В течение двух столетий методика решения аналитических задач почти исчерпывалась указаниями, которые можно найти у Декарта и Ньютона, причем разные авторы ограничивались лишь отдельными указаниями великих мыслителей, игнорируя другие указания или выступая против них.

В общем, применяемая в школах методика решения аналитических задач была сведена к следующей схеме:

1. Обозначь искомое буквой.

2. Допустив, что эта буква – ответ на вопрос задачи, производи над ней и над данными те же действия, которые мы производили бы, проверяя уже решенную задачу.