Примеры решения задач. ЗАДАЧА 1. На столе стоит цилиндрический сосуд, наполненный водой до уровня H = 20 см от дна

ЗАДАЧА 1. На столе стоит цилиндрический сосуд, наполненный водой до уровня H = 20 см от дна. Если в воду (r = 1 г/см³) опустить плавать тонкостенный никелевый стакан (r¢ = 8,8 г/см³), то уровень воды поднимется на h = 2,2 см. Определить уровень H ₁ воды в сосуде, если стакан утопить.

ДАНО: H = 20 см = 0,2 м r = 1 г/см3 = 103 кг/м3 r¢ = 8,8 г/см3 = 8,8×103 кг/м3 h = 2,2 см = 2,2×10–2 м

H 1 –?

АНАЛИЗ: В случае, когда стакан плавает в воде (рис. 1.6.3 б), сила тяжести, действующая на стакан, уравновешивается силой Архимеда:

. (1.6.1)

а) б) в) Рис. 1.6.3

Если стакан утопить (рис. 1.6.3 в), то объем сосуда, наполненного водой, будет равен сумме объема воды (рис. 1.6.3 а) и объема никеля:

. (1.6.2)

РЕШЕНИЕ: Сила тяжести, действующая на стакан:

. (1.6.3)

Силу Архимеда найдем по закону Архимеда:

, (1.6.4)

где S ₁ – площадь дна стакана, x – высота стакана, находящегося в воде (рис. 1.6.3 б).

Подставим (1.6.3) и (1.6.4) в (1.6.1): . (1.6.5)

Распишем выражение (1.6.2): , (1.6.6)

где S – площадь дна сосуда.

Для случая, когда стакан плавает (рис. 1.6.3 б), запишем, что общий объем будет равен сумме объема воды и объема стакана, находящегося в воде: ,

отсюда . (1.6.7)

Подставим (1.6.7) в (1.6.5): .

Отсюда выразим объем никеля: . (1.6.8)

Из (1.6.6) выразим Н ₁ и подставим в (1.6.8): .

Проверка размерности: .

Расчет: м.

ОТВЕТ: Н ₁ = 20,2 см.

ЗАДАЧА 2. Открытый сверху цилиндрический сосуд высотой h заполнен доверху идеальной жидкостью. В дне сосуда открыли малое отверстие, площадь которого в n раз меньше площади отверстия сосуда. Считая n >> 1, найти, через какое время вся жидкость вытечет из сосуда.

ДАНО: h

t –?

АНАЛИЗ: Скорость u, с которой будет опускаться уровень жидкости в сосуде, не постоянна. Поэтому сначала найдем время dt, за которое убыль высоты уровня равна dx:

. (1.6.9)

Связь между u и высотой уровня x найдем из уравнений неразрывности и Бернулли, а затем, проинтегрировав уравнение (1.6.9), найдем искомое время t.

Рис. 1.6.4

РЕШЕНИЕ: Запишем уравнение неразрывности струи и уравнение Бернулли для двух сечений: на высоте x и на выходе из отверстия:

(1.6.10)

и . (1.6.11)

В уравнении (1.6.11) учтено, что давление р ₀ в обоих сечениях одинаково (атмосферное). Учитывая, что , из уравнения (1.6.10) получим:

. (1.6.12)

Подставим (1.6.12) в (1.6.11): .

Учитывая, что n >> 1, получим: . (1.6.13)

Подставим (1.6.13) в (1.6.9): .

Интегрируем в пределах: по t от нуля до t, по x от h до нуля: .

Проверка размерности: .

ОТВЕТ: .

ЗАДАЧА 3. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Движение считать установившимся.

ДАНО: h = 1480 мПа×с = 1480×10–3 Па×с r св = 11,3 г/см3 = 11,3×103 кг/м3 r гл = 1,26 г/см3 = 1,26×103 кг/м3

d max –?

АНАЛИЗ: Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости от размеров и формы тела, его скорости, а также свойств жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса.

Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром d, то , (1.6.14)

а критическое значение этого числа .

Скорость выразим из второго закона Ньютона.

Рис. 1.6.5

РЕШЕНИЕ: На свинцовый шарик, падающий в глицерине, действуют три силы (рис. 1.6.5):

1) сила тяжести шарика: , (1.6.15)

где V – объем шарика;

2) выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда:

.(1.6.16)

3) сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса:

.(1.6.17)

При установившемся движении шарика в жидкости () согласно второму закону Ньютона:

или в скалярном виде: . (1.6.18)

Подставим (1.6.15), (1.6.16) и (1.6.17) в уравнение (1.6.18): ,

откуда . (1.6.19)

Подставим (1.6.19) в (1.6.14) и выразим диаметр шарика: .

Максимальное значение диаметра d _max, при котором движение остается еще ламинарным, соответствует критическому значению числа Рейнольдса Re_кр. Поэтому:

.

Проверка размерности:

.

Расчет: м.

ОТВЕТ: м.

ЗАДАЧА 4: В трубу А насосом нагнетается вода. Скорость течения воды в трубе В известна и равна u _В. Сечение труб А и В одинаково и равно S, сечение трубки С составляет S ₁. Определите разность уровней в манометре. Плотность манометрической жидкости r _м. Течение жидкости считать ламинарным.
(рис. 1.6.6). Трубы А и В горизонтальны.

ДАНО: SA = SB = S SC = S 1 u B, r, r м

h –?

АНАЛИЗ: Так как А, В и С горизонтальны, то потенциальная энергия жидкости в них одинакова. По условию задачи предполагается, что жидкость идеальная, а, следовательно, будет справедливо уравнение Бернулли:

Рис. 1.6.6

. (1.6.20)

В дополнение к уравнению Бернулли используем уравнение неразрывности:

. (1.6.21)

На основании указанных законов можно построить решение задачи.

РЕШЕНИЕ: Из (1.6.21) находим

.

Из (1.6.20) имеем

,

.

Именно эта разность давлений и уравновешивается столбиком h манометрической жидкости

,

.

Проверка размерности является очевидной.

ОТВЕТ: .