![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
На фазовій площині зв'язок між кутовою швидкістю й кутом відхилення
визначається рівнянням для енергії
При E=0 система перебуває в спокої і на фазовій діаграмі в точці 0.
Якщо
< 4, то існує
тому що повинна виконуватися нерівність
. Тому
не може досягати значення
(точка 0/ на мал. 3.1). Маятник коливається між -
і +
. Рух періодичний. При малих кутах
вираз для енергії відповідає колу 1 рис. 3.2.
.
Рис.3.2
При більших кутах відхилення коло трансформується в "овал". Нелінійна сила дає менше прискорення, чим лінійна. Тому період нелінійних коливань більше, ніж період лінійних коливань. (крива 2, рис. 3.2).
Якщо > 4, то навіть при максимальній потенціальній енергії (при
)
і кінетична енергія
й маятник проскакує верхню точку
, переходячи в обертальний рух. Крива 3, рис. 3.2.
Якщо , тоді
Якщо або
(точка 0/ рис. 3.1), швидкість дорівнює нулю, маятник перебуває в нестійкій точці рівноваги. Крива 4, рис.3.2 сепаратриса, що відокремлює фазові траєкторії коливальних рухів від фазових траєкторій обертових рухів.
При можливо й інший рух маятника. Нехай при t=0
, тоді
й маятник рухається у верхній точці так, що його швидкість у положенні
дорівнює
Чим ближче
до
, тим менша швидкість. Якщо кут відхилення близький до
, то малий кут
-
. Звідси
.
Це рівняння має розв’язок .
3.3 Солітонні розв’язки на сепаратрисі
Метод гіперболічних функцій. Знайдемо геометричною побудовою розв’язок рівняння
.
Для цього використаємо властивості гіперболічних функцій.
На площині (x,y) побудуємо графік гіперболи
Рис. 3.3
Позначимо площу фігури .
Проекція точки A на вісь Ox є
x(S) = exp(s) = e
Покажемо це.
Площа площа
, тому що ці дві фігури отримують вирахуванням рівновеликих трикутників ОО’Аx(S) і
з однієї й тієї ж фігури
Площа трикутника
Площа трикутника
Площа фігури
, тобто x(S) = exp(S) = eS.
Знайдемо геометричною побудовою рішення рівняння
.
Позначимо :
.
Тоді очевидно, що
Рис.3.4
Збільшення площі при малих зсувах точки А по гіперболі можна записати як площу малого сектора з радіусом ОА
ОА/ і кутом –
.
.
з
тоді .
Повертаючись до кута .
.
Покладемо , тоді
;
;
;
Ми показали, що залежність якого від
визначена цим рівнянням задовольняє рівнянню
Рух маятника, що відповідає сепаратрисі фазової діаграми, можна записати за допомогою елементарних функцій
. При
.
Звідси побудуємо графік цієї функції.
Рис.3.5
Рис.3.6
Коли t зростає від до
,
зменшується
до 0, при цьому
пробігає значення від
до 0, а
змінюється від
до
.
Таким чином, написаний розв’язок відповідає сепаратрисі, що йде із точки в точки
.
.
Покажемо це. , тому що
Рис.3.7
Рис.3.8. "Солітонний" розв’язок рівняння маятника
Поблизу сепаратриси частота , швидкість системи наближається до періодичної послідовності солітоноподібних імпульсів.
Рис.3.9
Дата публикования: 2014-12-11; Прочитано: 302 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!