Фазовий портрет маятника

На фазовій площині зв'язок між кутовою швидкістю й кутом відхилення визначається рівнянням для енергії

При E=0 система перебуває в спокої і на фазовій діаграмі в точці 0.

Якщо < 4, то існує тому що повинна виконуватися нерівність . Тому не може досягати значення (точка 0^/ на мал. 3.1). Маятник коливається між - і + . Рух періодичний. При малих кутах вираз для енергії відповідає колу 1 рис. 3.2.

.

Рис.3.2

При більших кутах відхилення коло трансформується в "овал". Нелінійна сила дає менше прискорення, чим лінійна. Тому період нелінійних коливань більше, ніж період лінійних коливань. (крива 2, рис. 3.2).

Якщо > 4, то навіть при максимальній потенціальній енергії (при ) і кінетична енергія й маятник проскакує верхню точку , переходячи в обертальний рух. Крива 3, рис. 3.2.

Якщо , тоді

Якщо або (точка 0^/ рис. 3.1), швидкість дорівнює нулю, маятник перебуває в нестійкій точці рівноваги. Крива 4, рис.3.2 сепаратриса, що відокремлює фазові траєкторії коливальних рухів від фазових траєкторій обертових рухів.

При можливо й інший рух маятника. Нехай при t=0 , тоді й маятник рухається у верхній точці так, що його швидкість у положенні дорівнює Чим ближче до , тим менша швидкість. Якщо кут відхилення близький до , то малий кут - . Звідси

.

Це рівняння має розв’язок .

3.3 Солітонні розв’язки на сепаратрисі

Метод гіперболічних функцій. Знайдемо геометричною побудовою розв’язок рівняння

.

Для цього використаємо властивості гіперболічних функцій.

На площині (x,y) побудуємо графік гіперболи

Рис. 3.3

Позначимо площу фігури .

Проекція точки A на вісь Ox є

x(S) = exp(s) = e

Покажемо це.

Площа площа , тому що ці дві фігури отримують вирахуванням рівновеликих трикутників ОО’Аx(S) і з однієї й тієї ж фігури

Площа трикутника

Площа трикутника

Площа фігури

, тобто x(S) = exp(S) = e^S.

Знайдемо геометричною побудовою рішення рівняння

.

Позначимо :

.

Тоді очевидно, що

Рис.3.4

Збільшення площі при малих зсувах точки А по гіперболі можна записати як площу малого сектора з радіусом ОА ОА^/ і кутом – .

.

з

тоді .

Повертаючись до кута .

.

Покладемо , тоді ;

;

;

Ми показали, що залежність якого від визначена цим рівнянням задовольняє рівнянню

Рух маятника, що відповідає сепаратрисі фазової діаграми, можна записати за допомогою елементарних функцій

. При .

Звідси побудуємо графік цієї функції.

Рис.3.5

Рис.3.6

Коли t зростає від до , зменшується до 0, при цьому пробігає значення від до 0, а змінюється від до .

Таким чином, написаний розв’язок відповідає сепаратрисі, що йде із точки в точки . .

Покажемо це. , тому що

Рис.3.7

Рис.3.8. "Солітонний" розв’язок рівняння маятника

Поблизу сепаратриси частота , швидкість системи наближається до періодичної послідовності солітоноподібних імпульсів.

Рис.3.9