Изучение темы «Проценты» в современной школе. 6 страница

№ 269. [18] Автомобиль за 2,4 ч проехал 60% всего пути. Через сколько минут ему останется проехать четверть всего расстояния, если он будет двигаться с той же скорость? («Решение задач с помощью пропорций»)

По мере овладения новым математическим аппаратом при изучении алгебры, учащиеся осваивают новый прием решения расчетных задач на проценты – с помощью составления уравнения.

№ 501. [18] Вкладчик открыл в банке счет. Через год на его счету было 360000 руб., что составило 120% от суммы, которую он внес первоначально. Сколько рублей внес вкладчик при открытии счета?

В VIII классе в теме «Алгебраические дроби» учащиеся снова обращаются к задачам на проценты. Задачи на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты» – это хорошие примеры практических задач, позволяющих продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях. Для того чтобы помочь учащимся осознать на новом уровне подход к решению задач с процентами, стоит обратить их внимание на то, что в учебнике приводятся образцы решения ряда задач. К разобранному образцу учащиеся при желании может вернуться вновь и использовать его в качестве опоры при решении подобной задачи.

№ 187. [17] Разберите, как по условию задачи составлено уравнение и решите задачу. Клиент открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 11%. Если бы он добавил 800 руб., то через год получил бы доход 220 руб. Какая сумма была внесена им в банк?

Решение. Пусть х руб. – сумма, которую клиент внес в банк. Тогда (х+800) руб. было бы на вкладе, если бы клиент добавил 800 руб.;

0,11(х+800) руб. – доход в 11%, который мог бы получить клиент с этой суммы.

Так как доход равен 220 руб., то имеем равенство:

0,11(х+800)=220.

№ 205. [17] Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой 65%, сплавляют и получают слиток массой 20 г., содержащий 47% серебра. Какова масса каждого из этих слитков?

При изучении темы «Системы уравнений» школьникам важно показать новый метод решения задач на проценты. Учащимся предлагается план решения.

№ 656. [17] В колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое количество 80%-го раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу?

Решите задачу, используя следующий план:

1. Обозначьте буквами количество 60%-го и 80%-го растворов соли.

2. Запишите уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.

3. Определите количество соли в получившемся растворе.

4. Запишите уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-ном и получившихся растворах.

5. Составьте систему и решите ее.

В IX классе в главе «Дробные уравнения» также можно предложить задачи на проценты, решение которых основано на составлении дробных рациональных уравнений.

№ 419. [16] На первые и вторые премии в конкурсе студенческих дипломных работ было выделено 15 тыс. р., причем 40% этих денег пошло на первые премии. Вторых было выдано на 4 больше, чем первых. Сколько студентов получили первые премии и сколько вторые, если известно, что вторая премия составляла 50% первой?

Завершается линия процентных вычислений в IX классе темой «Простые и сложные проценты», включенной в изучение главы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Сведения о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются достаточно благоприятным материалом для применения знаний, полученных на уроках математики. Возможность опереться на сформированные навыки в работе с процентами, на умение воспользоваться калькулятором, табличным и графическим представлением информации позволило расширить диапазон решаемых задач на проценты.

В учебнике не вводятся формулы простых и сложных процентов. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание на смысл понятия «процент», на умение находить процент от числа. В теме широко используется калькулятор, который позволяет рассматривать самые разнообразные задачи.

№ 639. [16] Один из акционеров предприятия имеет 100 акций, номинальная стоимость каждой из которых 50 р. Ежегодно ему выплачивается с каждой акции доход в 40% от ее номинальной стоимости.

а) Какой доход получит акционер за 1 год; за 2 года; за 10 лет; за n лет?

б) Через сколько лет его общий доход превзойдет удвоенную стоимость акций?

Авторы предлагают также задачи аналитического характера.

№ 654. [16] Виктор вложил на десять лет по 1000 р. на два разных счета – с 10% годовых и 20% годовых.

а) Каким будет доход по каждому из этих счетов через год? Во сколько раз доход по второму вкладу будет больше дохода по первому вкладу?

б) Каким будет доход по каждому из этих счетов за четвертый год? Во сколько раз доход по второму вкладу больше, чем по первому?

Как вы думаете, будет ли отношение ежегодных доходов по этим вкладам увеличиваться с течением времени и почему?

В ходе решения предлагаемых авторами задач учащиеся видят, что понятия арифметической и геометрической прогрессии, а также формулы их сумм – это не просто абстрактное отвлеченное понятие, а конкретное математическое знание, необходимое для жизни.

В данном курсе в русле новой содержательной линии «Анализ данных» формулируются приемы сбора, представления и анализа информации, так или иначе связанной с процентами.

Проценты также используются в VI – VII классах для представления информации в виде таблиц и диаграмм, а VIII – IX классах – при изучении вероятно-статистического материала.

№ 155. [15] На диаграмме показано, какой процент составляет тот или иной вид изделий от всей продукции ателье по пошиву мужской одежды.

а) Какова основная продукция данного ателье?

б) Какого цвета пиджаки ателье производит меньше всего? больше всего?

в) Сколько процентов продукции приходится на пиджаки светлого цвета? темного цвета?

г) Какой из следующих ответов может показывать, сколько процентов всех изделий составляют жилеты: 24%, 17%, 10%, 6%? (см.рис. 6)

Рис. 6

№ 675. [16] Закинул старик в реку невод. Пришел невод с таким уловом (в порядке вытаскивания):

П, О, Л, С, Я, П, К, О, З, К, П, К, Я, С, О, П, П, Л, О, О, Л, С, О, П, Л, П, К, Л, К, П, П, С, П, З, К, Я, П, З, С, О,О, Я, П, П, О, Л, С, Л, С, П,О, П, Л, К, С, О, Я, Л, П, С, О, Л, П, О, К, Л, П, О, О, П, О, Я, Л, П, С, П, О, Л, П, З.

Буквами обозначены: З – Золотая рыбка; К – Карась; Л – Лещ; О – Окунь; П – Пескарь; С – Сом; Я – Язь.

а) Произведите ранжирование ряда данных в алфавитном порядке.

б) Составьте таблицу относительных частот.

в) Какой процент пойманной рыбы составляют золотые рыбки?

г) Используя полученную стариком выборку, оцените, какие виды рыб наиболее и наименее распространены в местах, где старик закинул невод.

Таким образом, авторы данного курса уделяют большое внимание понятию процента. С помощью богатого задачного материала учащиеся могут увидеть все разнообразие применения данного математического термина.

Можно заметить, что понятие процента, как математически тривиального, вводится уже в младших классах среднего звена. В силу их возрастных особенностей и невысокой математической грамотности учащиеся не могут ознакомиться со всем спектром задач на проценты. В VII – IX классах данный термин забывается, и простейшие задачи шестого класса становятся для школьников сложными. Поэтому я считаю целесообразным уделять процентам больше внимания, как это сделано в учебном комплекте под редакцией Г. В. Дорофеева.

§ 2. Методические рекомендации для проведения урока

«Простые проценты» по учебнику «Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных» 9 кл. под редакцией Г.В. Дорофеева.

Данный урок проводится в рамках темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Он имеет две основные цели: во-первых, закрепить изученные понятия, связанные с арифметической прогрессией; во- вторых, познакомить учащихся с новым путем решения задач на проценты. Следует заметить, что в рамках IX класса проценты встречались только в теме «Уравнения и системы уравнений» в содержании двух задач. Итак, рассмотрим изложение вышеназванного урока.

1. Повторение ранее изученного материала. Нужно вспомнить с учащимися:

· Определение процента (Процент от некоторой величины – одна сотая часть данной величины).

· Как выражают проценты десятичной дробью. Для этого следует спросить учащихся общее правило (Чтобы выразить проценты десятичной дробью, нужно число, стоящее перед знаком процента, разделить на 100 или умножить на 0,01) и затем закрепить его при выполнении упражнения типа №636 а), в) (упражнение выполнить устно).

· Как увеличить (уменьшить) величину а на р %. Вспомнить общую формулу (), выписать ее на доску, выполнить упражнение на эту тему (устно) №637(Тексты задач приведены ниже).

2. Изложение нового материала. На этом этапе следует:

· объяснить учащимся, что процентные вычисления приходится выполнять в разных жизненных ситуациях, часто – это денежные расчеты;

· рассмотреть мотивационную задачу и этапы ее решения.

Задача: Пешеход перешел улицу в неположенном месте, и милиционер наложил на него штраф в 30 р. Штраф необходимо уплатить до 5 марта, после чего за каждый просроченный день будет начисляться пеня (от латинского слова poena – наказание) в размере 2% от суммы штрафа. Сколько придется заплатить пешеходу, если он просрочит уплату штрафа на 10 дней?

Для решения задачи нужно показать связь с понятием арифметической прогрессии, определить ее первый член и разность, оформить решение задачи на доске, предварительно вспомнив формулу n -го члена арифметической прогрессии.

Пример оформления:

Величина штрафа будет расти в арифметической прогрессии, где

а₁=30; ; =36 р.

Ответ: 36 р.

· Подвести итог по задаче о том, что ее решение сводится к нахождению одного из элементов арифметической прогрессии.

3. Закрепление изложенного материала. В рамках этого этапа можно предложить учащимся решить задачи № 638, №640 (для их решения вызвать учащихся к доске), №653(учащиеся решают самостоятельно, ответы выписываются на доску, при затруднении разобрать решение на доске).

4. Подвести итог по уроку. Здесь можно сказать учащимся, что в рассмотренном классе задач использовались проценты, которые авторы учебника называют простыми процентами. Решение этих задач сводится к нахождению элементов арифметической прогрессии. На следующем уроке будут рассмотрены сложные проценты, и можно ответить на вопрос, что авторы учебника назвали простыми процентами, а что – сложными.

5. Домашнее задание №639.

Задачи, предложенные к уроку.

№ 636

Выразите десятичной дробью:

а) 25%; 38%; 60%; 80%;

в) 0,3%; 0,1%; 0,5%; 0,02%.

№ 637

Пусть цена альбома равна а рублей. Какова будет его цена, если:

а) ее повысят на 20%, на 3%, на 5,5%, на 0,7%;

б) ее снизят на 65%, на 80%, на 2%, на 0,8%?

№ 638

Ежемесячно семья Комаровых платит за электроэнергию 60 р. За каждый просроченный день взимается пеня в размере 0,5% с оплачиваемой суммы.

а) Сколько заплатят Комаровы за электроэнергию, если они просрочат оплату на 1 день; на n дней?

б) Через сколько дней им придется заплатить за электроэнергию ее двойную стоимость?

Решение:

Плата будет расти в арифметической прогрессии, где

а₁=60

а)

б) n=200

Ответ: 200 дней.

№ 640

Цена нового автомобиля 60 000 р. При нормальных условиях эксплуатации его продажная стоимость с каждым годом уменьшается на 8% от первоначальной цены.

а) За сколько рублей сможет продать автомобиль его владелец через 5 лет эксплуатации? через n лет эксплуатации?

б) Через сколько лет продажная стоимость автомобиля станет меньше 15000 р.? Чему будет равна эта стоимость?

Решение:

Цена автомобиля будет уменьшаться в арифметической прогрессии.

a₁=60000

a)

б)

поэтому при п>9,357 цена будет меньше, значит п=10

Ответ: через 10 лет его стоимость будет 12000 р.

№ 653

При покупке квартиры в строящемся доме покупатель заключил со строительной фирмой следующий договор: сразу после заключения договора он выплачивает 10% стоимости квартиры, а далее начинает ежемесячно выплачивать 1,5% от ее стоимости. Стоимость купленной им квартиры в долларах США составляет 36000.

а) Составьте формулу для вычисления суммы, выплаченной покупателем квартиры через n месяцев после заключения договора. Вычислите, сколько было выплачено через 1 год, через 2 года после заключения договора.

б) Составьте формулу для вычисления суммы, которую осталось заплатить через n месяцев с начала действия договора, и найдите, сколько остается заплатить через 1 год, через 2 года.

в) На сколько лет рассчитана выплата стоимости квартиры?

г) Проиллюстрируйте графически ситуации, описанные в заданиях а) и б), откладывая по горизонтальной оси число лет, в течение которых производится расчет, а по вертикальной оси – денежные суммы.

Решение:

Сначала покупатель заплатил р.

Затем долг за квартиру можно представить виде арифметической прогрессии

а₁=36000-3600=32400

a)

б)

в)

месяцев, то есть n=5лет.

г) см. рис. 7

Рис. 7

№ 639

Один из акционеров предприятия имеет 100 акций, номинальная стоимость каждой из которых 50 р. Ежегодно ему выплачивается с каждой акции доход в 40% от ее номинальной стоимости.

а) Какой доход получит акционер за 1 год; за 3 года; за 10 лет; за n лет?

б) Через сколько лет его общий доход превзойдет удвоенную стоимость акций?

Решение:

Доход по акциям растет в арифметической прогрессии.

а₁=0

a) a₂=2000

б)

n=5

Ответ: через 5лет.

§ 3. Методические рекомендации к проведению факультатива «Задачи на проценты» в IX классе.

Комплект Г.В.Дорофеева не распространен в современной школе, поэтому задачи, содержащиеся в нем, можно использовать для проведения факультатива. В курсе алгебры VII – IX класса задачам на проценты не уделяется должного внимания. В то же время учащиеся владеют разнообразными способами решения текстовых задач. Данный факультативный курс поможет учащимся вспомнить понятие процента, решение основных задач на проценты, расширить кругозор учащихся, повысит интерес к математике. На факультативном курсе рекомендуется для решения некоторых задач использовать калькулятор, чтобы облегчить вычислительную работу и научится использовать калькулятор в рамках процентных вычислений.

В факультативный курс можно включить два занятия.

На первом занятии нужно вспомнить с учениками определение процента, примеры употребления процентов, историю возникновения понятия, как найти один процент (несколько процентов) от некоторой величины.

В начале занятия можно предложить учащимся боле простую задачу.

Задача 1.1.

Куртка стоит 250 р. На весенней распродаже ее можно купить на 33% дешевле. Сколько можно сэкономить, если купить куртку на распродаже?

Можно рассмотреть решение этой задачи двумя способами, в которых отражаются различные методы нахождения р % от некоторой величины.

1 способ: сначала найти 1%, а затем 33%.

2 способ: выразить 33% десятичной дробью и найти 0,33 данной величины.

Также можно предложить учащимся задание на перевод обыкновенных и десятичных дробей в проценты, так как это часто вызывает трудности.

Задача 1.2.

Даны квадраты (см. рис. 8), ответить на вопросы.

1. Какая часть квадрата заштрихована?

2. Выразите заштрихованную часть десятичной дробью.

3. Сколько процентов квадрата заштриховано?

4. Сколько процентов квадрата не заштриховано?

рис. 8

Далее можно предложить учащимся задачу, для решения которой нужно определить, что взять за 100%. Для более эффективного усвоения задачи можно использовать рисунок.

Задача 1.3.

В России 150 миллионов жителей. 70% всех жителей – городское население. Из них 23% – дети до 16 лет. Сколько детей до 16 лет среди городского населения?

Для решения задачи можно привести рисунок (см. рис. 9). Нужно обсудить с учащимися действия решения задачи.

1. Найти число городского населения из числа всех жителей России.

2. Из числа городских жителей найти число детей до 16 лет.

рис. 9

Рисунок (см. рис. 5) поможет школьникам решить задачу.

Ответ: 24,15 миллионов.

После подробного обсуждения задачи можно дать подобную задачу для самостоятельного решения.

Задача 1.4.

В библиотеке 98000 книг. Книги на русском языке составляют 78% всех книг, из них 5% – учебники. Сколько учебников на русском языке в библиотеке? (Ответ: 3822 книги).

Также в рамках занятия можно включить задачи на сравнение. Предлагая данные задачи, можно попросить учащихся высказать свои версии ответа, а затем приступить к решению.

Задача 1.5.

В магазин привезли 3 т картофеля и 900 кг помидоров. В первый день продали 30% всего картофеля и 45% всех помидор. Каких овощей продано больше и во сколько раз? (Ответ: картофеля продали больше, чем помидор в 2,2 раза).

Задача 1.6.

Сравнить числа 61% от 83 и 83% от числа 61.(Ответ: результаты равны.)

В завершении занятия учащимся можно предложить задачи на нахождение величины по известному количеству процентов.

Задача 1.7.

В коробке лежали лампочки, 4 из них разбились. Разбитые лампочки составили 2% от числа всех лампочек. Сколько всего лампочек в коробке?

Для решения задачи можно использовать алгебраический метод.

Пусть x лампочек в коробке. Тогда можно составить уравнение:

Ответ: 200 лампочек.

Затем следует сделать вывод о том, как находится величина по известному количеству его процентов, и дать задачу на закрепление.

Задача 1.8.

В школе 15 учеников учатся на «5». Это составляет 5% учащихся школы. Сколько всего учащихся в школе? (Ответ: 300 учащихся)

Домашнее задание.

Задача 1.

Дан квадрат клеток построить фигуру площадь, которой составляет:

а) 4%; б) 80%; в) 120% от площади квадрата.

Задача 2.

Из молока получается 22% сливок, из сливок получается 18% масла. Сколько масла получается из 10 кг молока?

Задача 3.

В первый час работы продавец продал 40 кг яблок. Это составило 16% от первоначального количества. Сколько килограммов яблок было у продавца первоначально?

Второе занятие следует начать с проверки домашнего задания и только после этого приступать к решению новых задач.

В начале занятия можно рассмотреть задачу об увеличении величины на несколько процентов и вспомнить метод ее решения.

Задача 2.1.

Когда цену товара увеличили на 30%,он стал стоить 52 р. Определить первоначальную стоимость товара. (Ответ: 40 р.).

После подробного обсуждения задачи 2.1. следует предложить школьникам подобную задачу для самостоятельного решения.

Задача 2.2.

Цена товара сначала выросла на 20%, а затем снизилась на 15%, после чего товар стал стоить 102 р. Какова первоначальная стоимость товара? (Ответ: 100 р.)

После рассмотрения основных задач на проценты можно вместе с учащимися вывести общие формулы решения задач.

Общие формулы:

1.

2. тогда 100%

3. А увеличить на Р%

4. А уменьшить на Р%

где А, В – некоторые величины.

Далее можно предложить решить задачу, используя выведенные формулы. Но прежде чем приступить к решению задачи, стоит спросить учащихся о том, каков, по их мнению, будет результат.

Задача 2.3.

Цену товара увеличили на 30%, затем через некоторое время уменьшили на 30%. Сравнить первоначальную и новую цену товара, если он стоил 80 р. (Ответ: первоначальная цена больше новой.)

Как правило, еще не решая задачи, ученики делают вывод, что результаты равны. Поэтому нужно обязательно включать задачи такого плана в факультативный курс, чтобы показать «коварность» процентов.

Затем можно рассмотреть задачи на растворы и сплавы. Для того, чтобы задача была более понятна, можно привести рисунок, иллюстрирующий условие. Рисунок лучше делать, обсуждая его с учащимися.

Задача 2.4.

Сколько граммов воды надо добавить к 80 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 12% -ный раствор?

Составление таких схем поможет детям разобраться в условии и быстрее составить уравнение к задаче.

Можно предложить учащимся составить другое уравнение, сравнивая массу воды, и сделать вывод о том, какое уравнение проще.

Оставшиеся задачи школьники решают самостоятельно. На доске можно только составлять рисунок и записывать уравнение.

Задача 2.5.

Сколько граммов 25% -го сахарного сиропа нужно добавить к 200 г воды, чтобы концентрация сахара в растворе была 5%.(Эта задача аналогична задаче 2.4.)

Задача 2.6.

Сколько граммов 30% -го раствора соли надо добавить к 80 г 12% -го раствора этой же соли, чтобы получить 20% -ный раствор.

Задача 2.7.

Имеется лом стали двух сортов, причем первый сорт содержит 10% никеля, а второй 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем первого, чтобы получить 200 т стали с содержанием никеля 25%?

Для решения этой задачи лучше составить систему уравнений.

Домашнее задание.

Задача 1.

За два художественных альбома заплатили 172 р. Один альбом на 15% дороже, чем другой. Определить цену каждого альбома.

Задача 2.

Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, концентрация сахара в котором 25%, чтобы получить сироп с концентрацией сахара 20%?

Задача 3.

Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой – 65%, сплавляют и получают слиток массой 20 г, содержащий 47% серебра. Какова масса каждого из слитков?

Задача 4.

Имеется три сосуда, в которых содержится, соответственно, 10, 30 и 5 литров растворов соляной кислоты. Процентное содержание кислоты во втором сосуде на 10% больше, чем в первом, а содержание кислоты в третьем сосуде равно 40%. Половину раствора из второго сосуда перелили в первый, а другую половину – в третий. После этого процентное содержание кислоты в первом и третьем сосудах оказалось одинаковым. Сколько процентов кислоты содержал в начале первый раствор?

§ 4. Опытное преподавание

Опытное преподавание проводилось в IX классе Богородской средней школы. Перед его проведением была изучена методическая и математическая литература, разработана методика проведения факультатива. Было проведено два занятия.

Следует отметить, что в данном классе преподавание математики ведется по учебнику под ред. С.А. Теляковского, а V – VI классе – [19], [21]. Поэтому в качестве основного источника задачного материала я взяла учебный комплект по математике под редакцией Г.В. Дорофеева.

На первом занятии было повторение понятия процента и простейших задачи типа К1, К2. Надо сказать, что при этом возникли некоторые трудности. Во-первых, дети не могли самостоятельно сформулировать определение процента, пришлось приводить примеры употребления данного понятия (например, в России на каждые 100 человек приходиться 12, имеющих высшее образование, это значит, что в России 12% населения имеет высшее образование) и самой его формулировать. Во-вторых, учащимся было трудно при решении задач-рисунков (например, дан квадрат, сколько процентов его площади заштриховано), поэтому использовались наводящие вопросы:

1. Какая часть квадрата заштрихована? (Этот вопрос вызвал особые трудности)

2. Выразите заштрихованную часть десятичной дробью. (Перевод обыкновенных дробей в десятичные без калькулятора осуществлялся довольно долго)

3. Сколько процентов квадрата заштриховано? (Перевод десятичных дробей в проценты дети проводили быстро)

Занятие построено таким образом, что сначала шло обсуждение решения задачи через наводящие вопросы, а затем подобную задачу дети решают самостоятельно. И, надо сказать, такая методика была довольно эффективна. Задачи для самостоятельного решения и домашнее задание ученики сделали без особых затруднений.