Научные методы в математике и ее преподавании

Научные методы в математике и ее преподавании

План:

1. Общая характеристика методов научного исследования

2. эмпирические методы познания.

2.1.наблюдение;

2.2. опыт (эксперимент);

2.3. применение наблюдения и опыта в обучении математике.

3. теоретические методы познания:

3.1. характеристика анализа и синтеза;

3.2. анализ и синтез в обучении математике.

3.3. обобщение и абстрагирование в обучении математике.

Литература

МПМ (Колягин, Черкасов, Мишин);

Хабиб Р.А. Организация учебно-познавательной деятельности учащихся;

Д. Пойа Как решать задачу, Математическое открытие, Математика и правдоподобные рассуждения.

- 1-

В процессе познания законов природы ученый-математик пользуется особыми математическими средствами – научными методами познания. В процессе обучения учащиеся ставятся в позицию первооткрывателей математических истин (самостоятельно или с помощью учителя), поэтому научные методы исследования в тоже время служат и методами учебной работы учащихся.

Основными методами математического исследования являются:

· наблюдение и опыт;

· сравнение

· анализ и синтез;

· обобщение и специализация;

· абстрагирование и конкретизация.

Так как процесс изучения математики неотделим от процесса преподавания, то наша задача изучить методы математического исследования, выявить их место и значение в преподавании.

- 2 -

определение 1. Наблюдением называется метод изучения, фиксирования свойств и отношений отдельных объектов и явлений окружающего мира, рассматриваемых в их естественных условиях и в той естественной связи признаков объекта, в какой они существуют в самом объекте.

Необходимо отличать наблюдение от простого восприятия. Восприятие объекта представляет собой отражение в сознании этого объекта в момент воздействия его на наши органы чувств. Наблюдение включает в себя восприятие, но этим не ограничивается. Наблюдение невозможно без фиксирования в памяти и последующего фиксирования в записи (слове) результатов наблюдения.

определение 2. Под опытом (экспериментом) обычно понимают такой метод изучения объектов и явлений, посредством которого мы вмешиваемся в их естественной состояние и развитие, создавая для них искусственные условия, расчленяя их и соединяя с другими объектами и явлениями.

Всякий эксперимент (опыт) связан с наблюдением. Экспериментатор наблюдает за ходом эксперимента, за состоянием, изменением и развитием объектов и явлений в тех искусственных условиях, в которых они изучаются.

Эти методы являются ведущими в экспериментальных науках (физике, химии), какой математика не является. Поэтому для математика это не универсальные методы, и ведущими в математических исследованиях не являются. Однако наблюдение и опыт иллюстрируют некоторые математические свойства объекта изучения или сам объект. Ввиду этого они имеют свой вес в преподавании математики.

Проиллюстрируем применение наблюдения и опыта в обучении математики.

Пример 1. Для ознакомления учащихся в 8 классе с понятиями площади, периметра и равновеликости многоугольника, можно предложить следующую серию упражнений:

1) используя рисунок, сравните площади и периметры данных фигур;

2) используя рисунок, сравните площади и периметры данных фигур;

3) сколько квадратных единиц понадобиться для того, чтобы сложить из них фигуры, изображенные на рисунке. Сравните площади и периметры этих фигур;

4) с помощью набора постройте модели треугольников, как показано на рисунке. Сравните площади и периметры этих фигур

Первые три задания учащиеся опытным путем легко выполнят, посчитав количество квадратиков (клеток), составляющих фигуры. Результаты могут быть оформлены в виде таблицы:

№			ответ

При выполнении четвертого задания легко можно посчитать площади треугольников, а вот периметры затруднительно. Однако, наблюдая, проделывая опыт, дети могут заметить, что периметры различны, так как площади одинаковы:

.

Опыт и наблюдение говорят учащимся о том, что существуют многоугольники, которые имеют равные площади, но различные периметры, а также – многоугольники, имеющие равные периметры и различные площади. Остается учителю лишь добавить, что фигуры, имеющие равные площади, называют равновеликими.

Следует учитывать тот факт, что результаты наблюдения и опыта не могут приниматься за строгое обоснование того или иного математического факта, но дают возможность его обнаружить.

-3-

3.1. определение 3. Сравнение – мысленное установление сходства или различия объектов изучения.

Все мы помним высказывание: «Все познается в сравнении». Как метод сравнение в математическом исследовании применяется не только для изучения свойств математических объектов, но и установление этих свойств. Так, например, в ШКМ с помощью этого метода можно изучать прогрессии, длин отрезков и т.д.

При использовании этого метода следует придерживаться следующих принципов:

1. сравнивать можно только однородные объекты. Сравнение должно иметь смысл, объекты должны быть связаны;

2. сравнение должно быть планомерным. Требуется четко выделять те свойства, по которым проводится сравнение;

3. сравнение должно быть полным. Следует доводить до конца.

К.Д Ушинский считал, что сравнение должно быть в дидактике математике основным приемом обучения. Приведем пример применения этого метода.

Пример 2. При введении понятия арифметическая прогрессия учащимся предложить сравнить между собой несколько данных числовых рядов и найти среди них такие последовательности, которые образованы при помощи одного и того же, общего для них, свойства, а затем обнаружить способ их конструирования: 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

В результате сравнения дети обнаружат, что последовательности (1), (2), (4), (5) обладают общим свойством: каждый член последовательности (кроме первого) равен предыдущему члену этой последовательности, сложенному числом, постоянным для этой последовательности (). Называя такие последовательности арифметическими прогрессиями, учащиеся предлагается отыскать свойство, мотивирующее название этих прогрессий: . Аналогичный прием можно использовать формулы общего члена ( -го члена) арифметической прогрессии

3.2. Особую роль в математических исследованиях играют анализ и синтез. Столь же велика их роль и в обучении математике, так как они выступают в различных формах:

- методы выяснения логической структуры математических предложений;

- методы доказательства теорем;

- методы решения задач и т.д.

В первоначальном понимании синтез – это путь или метод исследования от частей к целому. Это собирание, составление целого из частей, анализ – это метод исследования, метод разложения целого на отдельные части.

Пример 3. химические реакции; анализ крови; ребенок с игрушкой.

Анализ и синтез практически не отделимы друг от друга и образует аналитико-синтетический метод. Так при помощи анализа мы задачу можем разложить на более простые задачи, решить их, а затем при помощи синтеза, соединить эти решения.

В математических исследованиях анализ и синтез выступают в форме мыслительных процессов. Анализ и синтез – это формы рассуждений, которые связывают причины и следствие некоторого явления.

В дальнейшем анализ и синтез стали понимать следующее.

определение 4. Анализ – прием мышления, при котором от следствия переходят к причине, породившей это следствие.

определение 5. Синтез – прием мышления, при котором от причины переходят к следствию, порожденному этой причиной.

Покажем применение этих методов при решении математических задач.

Пример 4. Доказать неравенство .

Аналитический метод	Синтетический метод

Пример 5. Доказать неравенство .

!!! САМОСТОЯТЕЛЬНО!!!!

С чего начать? – в этом трудность.

Составим сумму и квадрат разности данных чисел a и b. Оценим знаки двух выражений. Перемножим эти неравенства. Умножим неравенство на . Добавим в числителе . Выполнить подробно самостоятельно.

Из рассмотренных примеров выделим сущность аналитического и синтетического методов рассуждения.

Синтетический метод (СМР). Сущность состоит в том, что отыскиваются такие истинные утверждения, которые можно было бы путем логически обоснованных шагов преобразовать в данное утверждение (требуемое).

При синтетическом пути постоянно возникают вопросы: Почему так? Откуда это? и т.д. Ответы на эти вопросы остаются открытыми.

Пусть – условие, – заключение. Тогда справедливо: (Если есть, то всегда есть ).

Рассуждаем так: Если есть то, что отсюда следует? Пусть ₁. Если есть ₁, то следует ₂, и т.д. получили _n. Из _n явно следует .

Каждое из следующих предложений является следствием предыдущего. Это содержательная схема синтеза.

Синтетический метод – это метод движения вперед, но путь движения ясно не виден, очень часто, рассуждая с помощью синтеза, мы выполняем пробные действия без видимой системы. Очень ярко это проявляется в задачах на смекалку. Учащиеся при решении задач, особенно арифметических в младших классах, часто предлагают нелепые действия.

СПР называют слепым, детям он кажется искусственным методо доказательства. Иногда этот метод называют анализ-фильтр.

Девиз синтеза: догадывайтесь и испытывайте.

СПР имеет свои плюсы и минусы.

Достоинства СПР в методическом смысле:

а) исчерпывающая полнота;

б) лаконичность, компактность и краткость рассуждений;

в) экономичность во времени;

г) доказательность (синтез имеет доказательную силу).

Недостатки СПР:

а) учащиеся не видят идею решения, доказательства;

б) учащимся не ясно, с чего начинать решение;

в) учащиеся не видят дальнейших шагов;

г) не мотивируются этапы решения;

д) мало способствует развитию творческого мышления и способностей;

е) не учит самостоятельному открытию математических фактов.

Аналитический метод (АМР). Сущность АМР состоит в том, сто исходным пунктом для обоснования является самое утверждение, которое путем логически обоснованных шагов сводится к утверждению, известному, как истинное.

АПР – метод движения вперед, но основан он на разных видах анализа, то есть на разных способах рассуждений, на разных приемах движения от следствия к причине, от заключения к условию.

Формы анализа (разновидности):

1. анализ – фильтр.

2. анализ через синтез.

3. анализ восходящий.

4. анализ нисходящий.

Анализ типа «фильтр» используется при синтетическом пути решения задач (см выше).

Анализ через синтез – это познание новых сторон, качеств и свойств изучаемых объектов, путем включения этих объектов в систему связей и отношений, в которых эти новые свойства могут проявиться. При этом анализе расчленяют условие задачи на части. Эти части включают в новые связи. Таким образом, выясняем условие задачи, «вычерпываем» новые сведения и находим путь решения задачи.

анализ восходящий. Примером могут служить софизмы, парадоксы.

Восходящий анализ (достаточный анализ, анализ Паппа, 3 век н. э.). сущность метода можно изобразить следующей цепочкой:

Пусть конструкция задач такова: . Для того, чтобы было верно , достаточно чтобы было верно . Приведем пример:

Пример 6. Доказать, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Осуществим поиск решения задачи.

Для заключения будем последовательно подбирать условия, которых будет достаточно для того, чтобы ABCD был параллелограммом:

1. чтобы доказать, что ABCD – параллелограмм, достаточно показать, что , ;

2. чтобы доказать, что , , достаточно показать, что ;

3. чтобы доказать, что , достаточно показать, что ;

4. чтобы доказать, что , достаточно показать, что , , .

По этой схеме учащиеся могут решить задачу, двигаясь в обратном направлении. Характерным рассуждением является то, что мы последовательно указываем достаточные условия, восходим к условию задачи. Весь ход рассуждений мотивируется, сопровождается вопросом: Что требуется? Что для этого достаточно? Содержательная схема имеет вид: .

Такое доказательство является строгим, и анализ часто называют совершенным. В обратном синтетическом пути логической необходимости нет, методическая есть.

Применяется при доказательстве теорем, задач на доказательство, в геометрии – на вычисление; неравенств, отыскание путей решения задачи и тогда по методическим соображениям осуществляем синтез по найденному пути.

Восходящий анализ:

1. обеспечивает сознательное и самостоятельное нахождение метода доказательства теоремы;

2. способствует развитию логического мышления;

3. обеспечивает осознанность, целенаправленность действий на каждом этапе доказательства;

4. схема метода проста.

Нисходящий анализ (необходимый анализ, анализ Евклида): .

Пример 7. Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон.

Дано (А):   Построить (В): .

Анализ:

Пусть построен. (то есть В есть)

. После анализа (поиска пути решения задачи), осуществляем построение и доказательство (то есть синтез); .

В рассмотренных примерах для доказательства утверждения , мы указывали необходимые условия, следствия, втекающие из В, допустив, что В – истинное (! В есть, верно). Содержательная схема этих рассуждений:

Нисходящий анализ	А	- И - Л синтез
С	Не доказано утверждение

Рассуждения по этой схеме сопровождаются вопросом: что следует из В? что следует из ? и т. д.

Пример 8. Доказать, что если число оканчивается цифрой 3, то число это делится на 3. .

! – верно, то есть число делится на 3. Отсюда необходимо следует делимость суммы цифр этого числа на 3 (), из следует , отсюда следует вывод, что об истинности или ложности утверждения ничего сказать нельзя.

Пример 9. Рассмотрим задачу, решаемую с помощью составления уравнения. (№ 1224, М 6, Виленкин Н.Я.). Мотоциклист догоняет велосипедиста. Сейчас между ними 23,4 км. Скорость мотоциклиста в 3,6 раза больше скорости велосипедиста. найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста, если известно, что мотоциклист догонит велосипедиста через ч.

Решение. Пусть есть, то есть км/ч – скорость …, тогда … из получаем , , получаем уравнение : - математическая модель сюжетной задачи, другими словами, уравнение – это содержание задачи, записанное на математическом языке. Значит, уравнение это и есть условие (). Теперь из получаем .

.Осуществляя обратный ход от , решая уравнение, получаем заключение . Вывод: задача решена, то есть утверждение - истинно.

Применяется необходимый анализ в задачах на построение, в доказательстве неравенств, в текстовых задачах на составление уравнений.

Достоинства АПР:

а) указывает направление поиска;

б) обеспечивает сознательность этого поиска;

в) имеет доказательную силу (необходимый анализ только с синтезом);

г) формирует умение решать задачи нового типа;

д) развивает логическое мышление, то есть учит рассуждать;

Недостатки:

а) требует значительной затраты времени и логической подготовки;

б) не имеет доказательной силы необходимый анализ.

В обучении используются оба пути: имеем аналитико-синтетический метод решения задач. Учителю важно уметь выделять где это нужно либо анализ, либо синтез, помня при этом, что анализ – путь к открытию, а синтез – путь к обоснованию.

Пример 10. Доказать, что

(неверно)

очевидно верно

Доказать, что из В следует А.

, и т.д.

Обращаем внимание на то, что исходное неравенство неверно и мы не имеем права применять к нему равносильные преобразования.

Чтобы исходное неравенство оказалось верным достаточно (нужно), чтобы было верно следующее неравенство, а последнее верно. Затем нужно совершить обратный ход от очевидного неравенства к исходному, производя с ним и другими равносильные преобразования. В результате оказывается, что исходное неравенство верно. Аналитический метод не всегда правомерен.

Пример 11. Доказать, что 3=-3.

! В – верно, то 3=-3. Возводим в квадрат обе части верного равенства, получим: 9=9. Осуществим обратный ход от , то есть рассмотрим равенство 9=9. Извлечем корень из обеих частей верного равенства: , отсюда 3=3 (). , , Мы рассуждаем так: из следует , но из не следует . В результате этих рассуждений имеем, что утверждение из следует не является истинным, то есть - ложное.

Последний пример называется софизмом. Софизм – это умышленно ложно построенное умозаключение, формально кажущееся правильным. Ярко демонстрирует, что аналитический метод не всегда правомочен. В практике учителя рекомендуется последовательно применять оба метода. Легко видно из примера 4, что

.

Поэтому аналитический метод позволяет легко обнаружить истинное предложение, которое можно принять за исходное, а синтетическим – провести доказательство.

Итак, учителю следует применять АМР и СМР совместно, выделять там, где это требуется анализ, либо синтез, помня, что анализ – это путь к открытию, а синтез – к обоснованию.

3.3. Рассмотрим абстрагирование и обобщение в процессе обучения математике.

определение 6. при обобщении мысленно выявляют какое-нибудь свойство, принадлежащее множеству объектов и объединяющее эти объекты воедино.

Пример 12. Изучение формулы -го члена арифметической прогрессии. Следует начинать с рассмотрения конкретных примеров. Так, например, можно поставить задачу вычисления различных членов арифметической прогрессии по заданному первому члену и разности.

При проведении вычислений учащиеся используют равенства:

,

,

и т.д.

Естественно возникает обобщение этих равенств, которое можно выразить формулой . С помощью этой формулы мы проделываем более короткий путь для вычисления любого члена арифметической прогрессии.

Иными словами обобщение это переход от данного множества предметов к рассмотрению более «емкого» множества, содержащее данное. Заметим, что обобщение тесно связано с анализом.

!!! объяснить, привести примеры!!!

В процессе своей познавательной деятельности мы отражаем явления и объекты в своем сознании: либо в форме понятий, либо в форме чувственных образов. При этом, когда мы строим эти понятия и образы, мы отвлекаемся от несущественных свойств объекта и уже изучаем их. Это процесс абстрагирования.

определение 7. Абстрагирование – это мысленное отвлечение от некоторых несущественных свойств изучаемого объекта и выявление существенных для данного исследования свойств.

Процессу абстрагирования противоположен процесс конкретизации.

определение 8. Конкретизация – это мыслительная деятельность, при которой односторонне фиксируется та или иная сторона объекта изучения, вне связи с другими его сторонами.

Конкретизация может выступать и как наглядная иллюстрация, и как подтверждение какого-либо абстрактного положения, и как приложение некоторого свойства в конкретных условиях.

Пример 12. для сложения рациональных чисел имеет место равенство . Конкретно это свойство можно проиллюстрировать равенством .

Мы рассмотрели основные внутренние закономерности процесса мышления: анализ, синтез, обобщение, абстракцию и т.п. в своей работе следует стремиться применять их в объединении. Это мы увидим далее.