Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть на плоскости задана аффинновая система координат .
Утверждение 1. Для того, чтобы прямые и , заданные уравнениями (7)
(8)
соответственно совпадали необходимо и достаточно, чтобы (9)
|Þ l1 и l2 совпадают, это означает, что их направляющие вектора и коллинеарные, т.е. (10)
Возьмем т. этим прямым, тогда ,
Умножая первое уравнение на и прибавляя по??? в силу (10): (11)
Формулы (10), (11) эквивалентны (9)
Ü| пусть выполняется (9), тогда уравнения (7) и (8) эквивалентны Þ соответствующие прямые совпадают, ч.т.д.∎
Утверждение 2. Прямые и , заданные уравнениями , параллельны и не совпадают Û (12)
Доказательство.
|Þ прямые параллельны и не совпадают Þ несовместна, а это возможно, по теореме Кронекера-Конелли Û ,
возможно лишь при условии это возможно при выполнении (12)
Ü| Если выполняется первое равенство Þ прямые параллельны, а не выполнение второго Þ система (7), (8) несовместна Þ прямые параллельны и не совпадают, ч.т.д.∎
Следствие (из 1,2). Прямые и пересекаются Û (13)
Утверждение 3. Пусть прямые и , задаваемые уравнениями (7,8), пересекаются в единственной точке с координатами , тогда прямая l3 проходит через т. Û она задается уравнением: (14)
Т.е. уравнение (14) – линейная комбинация (7,8)
Доказательство.
|Þ Очевидно, а именно, если уравнение l3 задается (14), то она проходит через т.
Ü| пусть l3 проходит через т. и имеет уравнение .
Возьмем на прямой l3 " т. , отличную от т. . Выберем
Покажем, что уравнение для l3 пропорционально (14) с выбранными .
Т.к. т. не может одновременно принадлежать прямым и и Þ хотя бы одно из и отлично от нуля. Поэтому уравнение является уравнением первой степени Þ определяет некоторую прямую.
По построению эта прямая проходит через т. , т.к. через две точки плоскости, то она совпадает с прямой . Поэтому в силу утверждения 1, уравнения этих прямых пропорциональны, ч.т.д.∎
Уравнение (14) называется уравнением пучка прямых, проходящих через т. .
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 223 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!