![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть на плоскости задана аффинновая система координат .
Утверждение 1. Для того, чтобы прямые и
, заданные уравнениями
(7)
(8)
соответственно совпадали необходимо и достаточно, чтобы (9)
|Þ l1 и l2 совпадают, это означает, что их направляющие вектора
и
коллинеарные, т.е.
(10)
Возьмем т.
этим прямым, тогда
,
Умножая первое уравнение на и прибавляя по??? в силу (10):
(11)
Формулы (10), (11) эквивалентны (9)
Ü| пусть выполняется (9), тогда уравнения (7) и (8) эквивалентны Þ соответствующие прямые совпадают, ч.т.д.∎
Утверждение 2. Прямые и
, заданные уравнениями
,
параллельны и не совпадают Û
(12)
Доказательство.
|Þ прямые параллельны и не совпадают Þ несовместна, а это возможно, по теореме Кронекера-Конелли Û
,
возможно лишь при условии это возможно при выполнении (12)
Ü| Если выполняется первое равенство Þ прямые параллельны, а не выполнение второго Þ система (7), (8) несовместна Þ прямые параллельны и не совпадают, ч.т.д.∎
Следствие (из 1,2). Прямые и
пересекаются Û
(13)
Утверждение 3. Пусть прямые и
, задаваемые уравнениями (7,8), пересекаются в единственной точке с координатами
, тогда прямая l3 проходит через т.
Û она задается уравнением:
(14)
Т.е. уравнение (14) – линейная комбинация (7,8)
Доказательство.
|Þ Очевидно, а именно, если уравнение l3 задается (14), то она проходит через т.
Ü| пусть l3 проходит через т. и имеет уравнение
.
Возьмем на прямой l3 " т. , отличную от т.
. Выберем
Покажем, что уравнение для l3 пропорционально (14) с выбранными .
Т.к. т. не может одновременно принадлежать прямым
и
и Þ хотя бы одно из
и
отлично от нуля. Поэтому уравнение
является уравнением первой степени Þ определяет некоторую прямую.
По построению эта прямая проходит через т. , т.к. через две точки плоскости, то она совпадает с прямой
. Поэтому в силу утверждения 1, уравнения этих прямых пропорциональны, ч.т.д.∎
Уравнение (14) называется уравнением пучка прямых, проходящих через т. .
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 239 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!