Кореляційний та регресійний методи аналізу зв’язку

Основне завдання кореляційного та регресійного методів полягає в аналізі статистичний даних для виявлення математичної залежності між досліджуваними ознаками і встановлення за допомогою коефіцієнта кореляції порівняльної оцінки щільності взаємозв’язку.

Кореляційний те регресійний методи вирішують два основних завдання:

1) визначають за допомогою рівнянь регресії аналітичну форму зв’язку між варіацією ознак х та у;

2) встановлюють ступінь щільності зв’язку між ознаками.

Важливою характеристикою кореляційного зв’язку є лінія регресії. В статистиці розглядають такі види лінії регресії:

1. емпірична – представлена груповими середніми результативної ознаки , кожна з яких належить до відповідного інтервалу групувального фактора х_і.

2. теоретична – описується певною функцією, яку називають рівнянням регресії.

Рівняння регресії характеризує зміну середнього рівня результативної ознаки у залежно від зміни факторної ознаки х.

У випадку нерівномірного співвідношення варіацій взаємозв’язаних ознак застосовують нелінійні регресії (степеневу, гіперболічну, параболічну).

У разі лінійної форми зв’язку результативна ознака змінюється під впливом факторної рівномірно і має такий вигляд:

,

де У – згладжене середнє значення результативної ознаки;

х – факторна ознака;

а, b – параметри рівняння регресії;

а – значення У при х = 0;

b – коефіцієнт регресії, який вказує на те, наскільки змінюється результативна ознака внаслідок зміни факторної ознаки на одиницю.

Якщо b має позитивний знак, то зв’язок прямий, навпаки – зв’язок обернений.

Параметри рівняння зв’язку визначають за способом найменших квадратів складеної і розв’язаної системи двох рівнянь з двома невідомими:

,

де п – число членів у кожному з двох порівнюваних рядів;

сума значень факторної ознаки;

сума квадратів значень факторної ознаки;

сума значень результативної ознаки;

сума добутків значень факторної та результативної ознак.

Розв’язавши дану систему рівнянь, отримаємо наступні формули визначення параметрів рівняння:

Оцінка щільності та перевірка істотності кореляційного взаємозв’язку використовує низку показників, які мають наступні властивості:

– за відсутністю зв’язку значення коефіцієнта наближається до нуля, а при функціональному зв’язку – до одиниці;

– за наявністю кореляційного зв’язку коефіцієнт виражається дробом, який за абсолютною величиною тим більший, чим щільніший зв’язок.

Серед мір щільності найпоширенішим є коефіцієнт кореляції Пірсона, який визначається за допомогою наступною формули:

або

або

Коефіцієнт кореляції, оцінюючи щільність зв’язку, вказує на його напрям: коли зв’язок прямий, r – величина додатна, та навпаки. Коефіцієнт коливається в межах від -1 до +1.

Рівняння регресії відбиває закон зв’язку між х та у для сукупності в цілому, тобто закон, який абстрагує вплив інших факторів. Вплив інших факторів, крім х, зумовлює відхилення емпіричних значень у від теоретичних У в той чи інший бік. Відхилення (у - У) називають залишками. Залишки, як правило, являються меншими, ніж відхилення від середньої: .

Для визначення щільності зв’язку між ознаками потрібно обчислити дисперсію відхилень, тобто залишкову дисперсію, яка зумовлюється впливом інших факторів, крім х:

,

де п – кількість елементів сукупності;

у – значення результативної ознаки;

У – теоретичні значення результативної ознаки, тобто отримані за допомогою рівняння регресії.

Також розраховують загальну дисперсію:

.

Відношення факторної дисперсії до загальної розглядається як міра щільності кореляційного зв’язку і називається коефіцієнтом детермінації:

.

Коефіцієнт детермінації коливається в межах від 0 до 1. Якщо коефіцієнт дорівнює 0, то зв’язок між ознаками відсутній, коефіцієнт дорівнює 1, то зв’язок функціональний.

Корінь квадратний з коефіцієнта детермінації називають індексом кореляції R. Коли зв’язок лінійний, то .

Перевірку сили зв’язку в кореляційно-регресійному аналізі здійснюють за допомогою тих самих критеріїв та процедур, що й у аналітичному групуванні.

Ступені вільності залежать від числа параметрів рівняння (т):

к₁ = т – 1 (– число параметрів рівняння)

та кількості одиниць досліджуваної сукупності(п):

к₂ =п – т.

Істотність зв’язку перевіряють за допомогою F -критерію для 5%-го рівня значущості:

.

Якщо фактичний критерій більше за критичний, то з прийнятим ступнем імовірності можна стверджувати про істотність зв’язку між результативною та факторною ознаками.