![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Число А называют пределом функции f (x) при (и пишут
), если для любого
найдется число
зависящее от e, такое, что для всех
, удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство
Функция a(x) называется бесконечно малой (б.м.ф.) при (
если
Функция f (x) называется бесконечно большой (б.б.ф.) при , (
если для любого M >0 найдётся число
зависящее от М, такое, что для всех
, удовлетворяющих условию
, будет верно неравенство
Если функция a(x) есть бесконечно малая при (или
то функция
является бесконечно большой, и обратно, если функция f (x) бесконечно большая функция при
, то
является бесконечно малой функцией.
Если функции и
бесконечно малые при
(
),
то чтобы сравнить их, нужно вычислить предел их отношения. Пусть Тогда:
— при называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем
;
— при
и
одного порядка малости;
— при
более низкого порядка малости, чем
.
Если , то бесконечно малые
и
называются эквивалентными:
Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую бесконечно малую функцию заменить на эквивалентную.
Примеры эквивалентных бесконечно малых функций при
Теоремы о пределах:
1. (c =const).
2. Если то:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел (число е = 2,718…):
или
Чтобы найти предел элементарной функции нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если х = х 0 принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке х = х 0. При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения. Если
то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим:
если
если a >1.
Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента
в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями;
к ним относятся неопределенности видов:
Устранить неопределенность можно с помощью алгебраических преобразований или используя правило Лопиталя.
Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. или б.б.
функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:
(5)
Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность или
и затем использовать формулу (5).
Задание 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:
а) б)
в)
Решение.
а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение , определим предел числителя и знаменателя.
т. к.
Аналогично:
Имеем неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:
б)
в)
Замечание. Если, применив правило Лопиталя, снова получили неопределенность или
, то снова применяем правило до тех пор, пока неопределённость не будет раскрыта.
Задание 8. Построить график функции используя общую схему исследования функции. Определить абсолютный максимум
и абсолютный минимум функции на отрезке [–1, 2].
Краткие теоретические сведения и образец решения примера сведены в таблицу 1.
Общая схема исследования и построения графика функции
п/п | Краткие теоретические сведения | Пример |
Область определения функции (о.о.ф.). Областью определенияD(f) функции ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() | Область непрерывности функции. Функция ![]() ![]() ![]() | Так как функция ![]() ![]() |
Исследовать функцию на чётность, нечётность.
Функция ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() |
Продолжение таблицы
Определить (если возможно) точки пересечения графика функции с осями координат. Для этого решить системы:
Пересечение с осью OY ![]() ![]() | ![]() ![]() | |||||||||||||||||||||
![]() | Определить асимптоты графика функции. Асимптотой кривой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Т. к. функция ![]() ![]() | ||||||||||||||||||||
Определить интервалы монотонности и точки локального экстремума функции. Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | а) Определим критические точки:
![]() ![]() | |||||||||||||||||||||
![]() | Точка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
| ||||||||||||||||||||
Определить интервалы выпуклости функции, точки перегиба
Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | а) Определим точки, подозрительные на перегиб:
![]() ![]() ![]() | |||||||||||||||||||||
Необходимое условие перегиба: если х 0 — абсцисса точки перегиба непрерывной функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 286 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы! ![]() |