Моменты СВ как характеристики различных свойств этих величин

Почти все числовые характеристики случайных величин (кроме моды и медианы) можно объединить общим понятием – моменты случайных величин.

Моменты СВ делятся на две группы: начальные и центральные.

Начальным моментом k -го.порядка случайной величины Х - α_k [ Х ] называется математическое ожидание k -й степени этой СВ: α_k [ Х ]= М [ Х^k ]

Для дискретных СВ α_k [ Х ] = . (24)

Для непрерывных СВ α_k [ Х ] = . (25)

Таким образом, математическое ожидание является первым начальным моментом случайной величины Х: М [ Х ] = α₁ [ Х ].

Из других начальных моментов широкое применение находит 2-й начальный момент α₂ [ Х ] = М [ Х² ] = . (26)

Для непрерывных СВ 2-й начальный момент можно вычислить по формуле (25), в которой k = 2.

Статистический 2-й начальный момент может быть рассчитан по формуле аналогичной формуле (26), в которой значения х_i заменяются вариантами (для группированного ряда – представителями разрядов _), а вероятности p_i – частостями р_i^*:

α₂^* [ Х ] = М* [ Х² ] =. (27)

Центра льным моментом k -го.порядка случайной величины Х - μ_k [ Х ] называется математическое ожидание k -й степени центрированной величины Х:

μ_k [ Х ]= М [ ]. (28)

Центрированием называется операция нахождения разности между значениями СВ и МО этой величины: = Х – m_Х.

Для дискретной СВ: . (29)

Для непрерывной СВ: . (30)

Для любой СВ первый центральный момент всегда равен нулю: . Это не сложно пояснить: μ₁ [ Х ]= М [ ] = М[ х – m_Х] = М[х] + М[-m_Х] = m_Х - m_Х = 0.

Этот результат можно пояснить и иным образом: первый центральный момент – это ничто иное, как среднее отклонение значений СВ от МО (от центра распределения). Но на то он и центр распределения, что отклонения от него в большую и меньшую сторону взаимно уравновешиваются, а их среднее значение в итоге сбалансируются и с учётом знака отклонений в итоге получится равным нулю.

Важнейшее значение имеет 2-й центральный момент, который называют дисперсией СВ.