![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Def. Говорят, что в линейном пространстве задана линейная функция (линейная форма), если
поставлено в соответствие число
такое что:
1) (11.1)
2) (11.2)
Найдем выражение линейной функции в координатах. Пусть - базис
Согласно (11.1) и (11.2) имеем:
где
Таким образом, линейная функция представляется линейной формой:
(11.3)
Любая билинейная функция представляется билинейной формой:
где
(11.5)
Def. Матрица где
называется матрицей билинейной формы.
Рассмотрим как изменяется матрица билинейной формы при переходе к новому базису.
Пусть в базисе билинейная форма имеет вид
где
И пусть
новый базис, в котором
где
В базисе
матрица билинейной формы
а в базисе
матрица билинейной формы
Пусть
матрица перехода от базиса
к базису
Обозначим Тогда
Тогда
(11.6)
Это равенство в матричной форме имеет вид
, (11.7)
где матрица перехода от базиса
к базису
Def. Билинейная форма называется симметрической, если
В этом случае т.е. матрица билинейной формы
будетсимметрической. Верно и обратное. Если матрица некоторой билинейной формы симметрическая, то и билинейная форма симметрическая.
Def. Если в симметрической билинейной форме положить
то получим квадратичную форму
В этом случае билинейная форма
называется полярной к
Очевидно, что матрица квадратичной формы всегда симметрическая.
Th. 11.1 | По квадратичной форме однозначно определяется породившая ее билинейная форма. |
Доказательство.
Пусть
Отсюда
(11.8)
Нахождение билинейной формы полярной к заданой квадратичной форме называется поляризацией квадратичной формы.
Из (11.5) следует, что любая квадратичная форма в заданном базисе задается формулой:
где
(11.9)
Дом Учителя Уральского федерального округа
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 176 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!