Задание 2. Фирма выпускает два вида комплексных удобрений для газонов в упаковке – обычное и улучшенное

Фирма выпускает два вида комплексных удобрений для газонов в упаковке – обычное и улучшенное. Обычное удобрение стоит 3 дн. ед./уп. и включает 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений. Улучшенное удобрение стоит 4 ден. ед./уп. и включает 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений.

Для подкормки некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений.

Определите, сколько и каких удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание растений и минимизировать стоимость покупки.

Постройте экономико-математическую модель задачи, дайте необходимые комментарии к ее элементам и получите решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему.

Осуществите проверку правильности решения с помощью средств MS Excel (надстройка Поиск решения).

Решение.

Обозначим через х₁ и х₂, соответственно, количество обычных и улучшенных наборов удобрений.

Составим целевую функцию и систему ограничений.

min

Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти декартовой системы координат. По ограничениям строим область всех допустимых решений.

Определим множество решений первого неравенства. Оно состоит из решения уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой 3х₁ + 2х₂ –10 = 0. Построим прямую по двум точкам: (0; 5) и (2; 2). На рис. 2.1 обозначим ее цифрой I.

Определим множество решений второго неравенства. Построим линию по точкам: (5;0) и (2;2). На рис. 2.1 обозначим ее цифрой II.

Определим множество решений третьего неравенства. Построим линию по точкам: (7;0) и (1;2). На рис. 2.1 обозначим ее цифрой III.

Пересечением всех плоскостей является неограниченная область ABCDEF (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Графическое решение задачи

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину ∆(3;4) с началом координат.

Построим линию уровня 3x + 4y = 0 по точкам: (0;0) и (4;-3). Эта линия будет перпендикулярна вектору-градиенту.

При минимизации целевой функции необходимо перемещать линию уровня в направлении, противоположном вектору-градиенту. В данном примере, первое касание прямой области допустимых решений произойдет в точке С (2;2). В точке С значение функции будет наименьшим:

f(min) = f(2;2) = 3 * 2 + 4 * 2 = 14 ден. ед.

Таким образом, чтобы минимизировать стоимость удобрений, необходимо купить 2 обычных набора удобрений и 2 улучшенных набора удобрений. При этом минимальные затраты на покупку удобрений составят 14 ден. ед.

Построенная область допустимых решений не ограничена сверху, следовательно, если задачу решать на максимум, то f(max) = ∞, т.е. не имеет конечного оптимума, так как область допустимых значений не ограничена сверху.

Проведем проверку правильности решения задачи с помощью средств MS Excel (надстройка Поиск решения).

Подготовим форму и введем в нее данные (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Исходные данные

Введем зависимость для целевой функции (ЦФ) с помощью математической функции СУММПРОИЗВ(). В строке «Массив1» вводим C3:D3; в строке «Массив 2» – С4:D4. Нажимаем ОК (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Зависимость для целевой функции

Далее аналогично введем с помощью математической функции СУММАПРОИЗВ() зависимости для всех ограничений:

- строка «Массив 1» - С3:D3; строка «Массив 2» - А7:В7;

- строка «Массив 1» - С3:D3; строка «Массив 2» - А8:В8;

- строка «Массив 1» - С3:D3; строка «Массив 2» - А:В9.

Далее для решения воспользуемся надстройкой Поиск решения.

Курсор в поле «Установить целевую ячейку», вводим адрес $F$4, вводим направление целевой функции – «минимальному значению».

Вводим адрес искомых переменных: курсор в поле «Изменяя ячейки», вводим адреса $C$3:$D$3.

Далее вводим ограничения. Курсор в поле «Добавить». В поле «Ссылка на ячейку» вводим адрес $D$7; знак ограничения «>=»; курсор в поле «Ограничение», вводится $F$7$, нажимаем «Добавить». Далее вводим второе и третье ограничение. Нажимаем «ОК».

На экране появится диалоговое окно «Поиск решения» с введенными условиями (риc. 2.4).

Рис. 2.4. Условия для решения задачи

Далее нажимаем «Параметры» в окне «Поиск решения».

Устанавливаем флажок на «Линейная модель», что обеспечивает применение симплекс-метода. Устанавливаем флажок на «Неотрицательные значения» (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Параметры поиска решения

Далее нажимаем «ОК» в окне «Параметры поиска решения».

Затем нажимаем «Выполнить» в окне «Поиск решения».

В окне «Результаты поиска решения» переводим курсор на «Сохранить найденное решение» и «Результаты». Нажимаем «ОК».

Полученное решение означает, что максимум функции равен 14 при х₁ = 2, х₂ = 2 (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Результаты поиска решения

Отчет по результатам решения задачи представлен на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Отчет по результатам решения задачи