Поняття відображення

Відношення R, задане на множинах А та В, називається функціональним, якщо для кожного елемента x Î А існує не більше одного елемента y Î В такого, що < x, y >Î R. Іншими словами, у функціональному відношенні R, заданому на множинах А та В, кожен елемент множини А може бути (першим) компонентом не більш, як однієї пари, що належить R.

Наприклад, відношення R ={<1, b >,<3, a >,<4, b >}, задане на множинах A ={1,2,3,4} та B ={ a, b, c }, є функціональним, оскільки кожен з елементів 1,3,4 з множини А є першим компонентом лише однієї пари відношення R, а елемент 2 з множини А не є першим компонентом жодної пари відношення R. Відношення Q ={<1, a >,<1, b >,<2, c >}, задане на тих самих множинах А та В, не функціональне, тому що елемент 1 з множини А зустрічається двічі (тобто більше одного разу) на першому місці у парах, які належать Q. Не функціональними є також відношення < та £ на множині N, оскільки для кожного числа n з N існує не одне число m Î N таке, що n < m й n £ m.

Нехай R – відношення, задане на множинах А та В. Назвемо областю визначення відношення R (позначається D(R)) множину { x | x Î A, існує y Î В такий, що < x, y >Î R }. Областю значень відношення R (позначається R(R)) назвемо множину { y | y Î B, існує такий x Î A, що < x, y >Î R }.

Нехай, наприклад, R Í A ´ B, A ={1,2,3,4}, B ={1,3,5}, R ={<1,1>, <1,5>,<2,3>,<3,5>,<3,3>}. Тоді D(R)={1,2,3}, R(R)={1,3,5}.

Функціональне відношення F на множинах А та В назвемо відображенням множини А у множину В (або функцією з А у В), якщо D(F)= А. Функціональне відношення F на множинах А та В назвемо частковим відображенням множини А у множину В (або частковою функцією з А у В), якщо D(F)Ì А. Позначатимемо (часткове) відображення F множини А у множину В через F: А ® В. Якщо < a, b >Î F, то елемент b називають образом елементу а, елемент а – прообразом елементу b при відображенні F й пишуть b = F (a). Множина усіх відображень А у В позначається В^А.

Часто відображення множини A у множину B задається у вигляді F (x)= t (x), де x Î A, t (x) – деякий вираз. Наприклад, відображення F: N ® N, F ={< x, y >| x, y Î N, y =2 x }, можна задати у вигляді F (x)=2 x.

Відображення множини А у множину А називають перетворенням множини А.

Через F ^-1(b) позначимо множину { a | a Î A, F (a)= b }; F^-1(b) називається повним прообразом елементу b при відображенні F. Нехай F: А ® В й Х Í А. Образом множини Х при відображенні F (позначається F (Х)) назвемо множину { y | y Î B, F ^-1(y)¹Æ}.

Наведемо приклади відображень. Відношення F ={<1, a >,<2, a >,<3, c >, <4, d >,<5, d >}, задане на множинах А ={1,2,3,4,5} та В ={ a, b, c, d, e }, є відо-браженням А у В, тому що F функціональне й D(F)={1,2,3,4,5}= А. F ^-1(a)={1,2}, F ^-1(b)=Æ, F ^-1(c)={3}, F ^-1(d)={4,5}, F ^-1(e)=Æ, F (A)={ a, c, d }, F ({1,2,3})={ a, c }. Відно-шення Q ={<2, c >,<3, d >,<5, b >}, задане на тих самих множинах, є частковим відображенням А у В, тому що Q функціональне й D(Q)={2,3,5}Ì А.

Зауважимо, що коли F (F: A ® B) – відображення, то відношення F ^-1 може не бути відображенням. Розглянемо, наприклад, множини A ={1,2}, B ={ a, b } та відображення F ={<1, a >,<2, a >} А у В. F ^-1={< a,1>,< a,2>}. F ^-1 – нефункціональне відношення на множинах В та А, отже, F ^-1 не є відображенням В у А.

Якщо А = А ₁´…´ А_n, то (часткове) відображення F: А ® В називають (частковим) відображенням множини А ₁´…´ А_n у множину В (або (частковою) функцією з А ₁´…´ А_n у В).

Нехай, наприклад, A ₁={1,2,3}, A ₂={2,4}, A ₃={ a, b }, B ={ d, f, g }. Відношення F ={<1,4, a, f >,<2,2, a, d >,<1,2, b, f >,<3,2, a, d >}, задане на множинах А ₁, А ₂, А ₃, В, є частковим відображенням А ₁´ А ₂´ А ₃ у В. Відношення R ={<1,2, a, d >,<1,2, a, f >, <2,4, b, g >}, задане на тих самих множинах, не функціональне на множинах А ₁´ А ₂´ А ₃ та В, оскільки для елементу <1,2, a > множини А ₁´ А ₂´ А ₃ існує два (тобто більше одного) елемента у з множини В (це елементи d та f) таких, що <1,2, a, у >Î В, отже, R не є відображенням А ₁´ А ₂´ А ₃ у В.

Теорема 11. Довести, що для будь-якої функції F виконується:

1) F (A È B)= F (A)È F (B), 2) F (A Ç B) Í F (A)Ç F (B),

3) F (A)\ F (B)= F (A \ B), 4) A Í B Þ F (A)Í F (B),

5) F (A)=Æ Û A ÇD(F)=Æ, 6) F ^-1(A È B)= F ^-1(A)È F ^-1(B),

7) F ^-1(A Ç B)= F ^-1(A)Ç F ^-1(B), 8) F ^-1(A \ B)= F ^-1(A)\ F ^-1(B),

9) A Í B Þ F ^-1(A)Í F ^-1(B), 10) F ^-1(A)=Æ Û A ÇR(F)=Æ.

Доведемо перше твердження. Нехай x Î F (A È B). Тоді у множині A È B існує такий елемент у, що х = F (y); y Î A або у Î В. Розглянемо перший з цих випадків: y Î A Þ x Î F (A) Þ x Î F (A)È F (B). У випадку y Î B маємо: y Î В Þ x Î F (B) Þ x Î F (A)È F (B). Отже, F (A È B)Í F (A)È F (B). Нехай тепер х Î F (A)È F (B). Тоді x Î F (A) або x Î F (B). У випадку x Î F (A) у множині А існує такий елемент у, що х = F (y), але у Î А È В й тоді х Î F (A È B). Якщо x Î F (B), то у множині В існує такий елемент z, що х = F (z). Оскільки z Î B Þ z Î A È B, то х Î F (A È B). Таким чином, F (A)È F (B)Í F (A È B). Отже, F (A È B)= F (A)È F (B).