	Главная \| Случайная страница \| Контакты \| Мы поможем в написании вашей работы!

Задачі та вправи. І. Описати словами множини:

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒

І. Описати словами множини:

1) { x | x =2 y +1, y Î N }, 2) { x | x =2 y -1, y Î N },

3) { x | 10< x <100, x =5 y, y Î N }, 4) { x | x =2 y, y Î N },

5) { x | x = y ², y Î N, 1£ y £10}, 6) { x | x = y ², y Î N },

7) {(x, y, z)| x, y, z Î R, x ²+ y ²+ z ²>1}, 8) { x | 10 y +9, y Î N },

9) { x | x =2 y -1, y Î N, 1£ y £100}, 10) { x | x =2 y +1, y Î N, 1£ y £10},

11) {(x, y, z)| x, y, z Î R, x ²+ y ²+ z ²=1}, 12) { x | 1£ x £100, x Î N },

13) { x | x =3 y або x =5 z, y, z Î N }, 14) { x | x =100 y +7, y Î N, y ¹0},

15) { x | x =11 y або x =7 z, y, z Î N }, 16) { x | x =3 y +1, y Î N, 1£ y £35},

17) {(x, y)| a £ x £ b, a £ y £ b, a, b Î R }, 18) {(x, y)| x ²+ y ²>1, x, y Î R },

19) { x | x =100 y, x <1000, y Î N }, 20) { x | x = y ², y Î N, y £3},

21) {(x, y, z)| x, y, z Î R, x ²+ y ²+ z ²<1}, 22) { x | x =5 ^y, y Î N },

23) { x | x Î Z, x >5 або x <0}, 24) { x | x Î Z, x ¹3 k, k Î N },

25) { x | x Î N, x ділиться на 2 й x ділиться на 5}.

ІІ. Записати множину B у явній формі.

1) A ={2,4,6}, B ={ x | x =2 y +1, y Î A }.

2) A ={1,2,3}, B ={ x | x = z ³+1, z Î A }.

3) A ={1,2,3,4}, B ={ x | x =2 y +3 z, y, z Î A }.

4) A ={0,1,2}, B ={ x | x = y - z, y, z ÎA}.

5) A ={4,8,9,15,16}, B ={ x | x = y ² + z - y, z, y, y ² Î A }.

6) A ={2,3,4}, В ={ y | y = x ²+ z, x, z Î А }.

7) A ={0,1,2}, B ={ x | x = y +2 z, y, z Î A }.

8) A ={0,2,3}, B ={ x | x =2(y - z), y, z Î A }.

9) A ={0,1,4,5,9,10}, B ={ x | x = y ²+3 z +3, y ², z Î A }.

10) A ={1,2,3,4}, B ={ x | x =2 y +3 z +1, y, z ÎA}.

11) A ={2,4,6}, B ={ x | x =3 y - z +2, y, z Î A }.

12) A ={1,2,3}, B ={ x | x = y ²+ z ², y, z Î A }.

13) A ={1,2,3}, B ={ x | x =2 y + z -2, y, z Î A }.

14) A ={1,4,7}, B ={ x | x =5 y - z +2, y, z Î A }.

15) A ={0,1,2,3}, B ={ x | x =2 y +5 z -1, y, z Î A }.

16) A ={-1,1,-2,2,}, B ={ x | x = y ²+5 z +1, y, z Î A }.

17) A ={1,3,5,7}, B ={ x | x =2 y +3 z, y, z Î A }.

18) A ={-3,0,1,2}, B ={ x | x = y - z, y, z Î A }.

19) A ={4,8,9,15,16}, B ={ x | x = y ²+ z + y, z, y, y ² Î A }.

20) А ={2,3,5,7}, B ={ x | x = z ²+ y -4, z =- y +3, y ÎA}.

ІІІ. Визначити, які з наведених тверджень правильні, а які – ні. Відповіді обґрунтувати.

1) ÆÍ{ a, b, c }, 2) ÆÎ{ a, b, c }, 3) { a }Î{ a, b, c },

4) { a, c }Í{ a, b, c }, 5) {1,2}Î{1,2,3}, 6) 0ÎÆ,

7) Æ={0}, 8) {{Æ}}Î{{{Æ}}}, 9) ÆÍ{0},

10) {Æ}Í{2,3,1}, 11) a Î{ b, a, c }, 12) {{ b }}Í{ a, b, c },

13) a Î{ a ₁, a ₂, a ₃}, 14) {{ х }}Î{ у, х, z }, 15) { a }Î{ b, d, ac },

16) { d, b }Í{ b, d, ac }, 17) ÆÎ{{Æ},1,2}, 18) 1Î{{1,2},0},

19) { a,Æ}Í{ a, b, c }, 20) {{0,1}}Í{0,1,2}.

ІV. Визначити, чи рівні множини:

1) {{ x },{ y },{ z }} та { x, y, z }, 2) { a, b } та {{ a, b }},

3) {1,2,3} та {{1,2},{1,3},{1,2,3}}, 4) { b, c, d } та { d,{ b, c }},

5) { x, y, z } та {{ x, y, z }}, 6) { a, b,{ a, b }} та { x, y,{ x, y }},

7) { a, c, e, f } та { a, b, e, f }, 8) { a, б, г, д } та {a,b,g,d},

9) {{ a, b },{ b, c, d }} та {{ a, c },{ b, d, a }}, 10) { x, y, z } та { ікс, ігрек, зет },

11) {1,{2,Æ},{3}} та {1,{2},{3},Æ}, 12) { a, b,{ a, b }} та { x, y,{ x, y }},

13) { a, b, c } та {{ a, b },{ a, c },{ b, c }}, 14) {{ a, b }, a,{ a, c }} та { a, b, c },

15) {{1,3},3,4} та {{3,4},1,3}, 16) {1,2,{ Æ}} та {1,2},

17) {{ a, b },{ b, c, d }} та {{ a, c },{ b, d, a }}, 18) { a, c, e, f } та { a, b, e, f }.

V. Довести твердження.

1) { x | x Î Z, x =6 y для деякого цілого числа y }={ x | x Î Z, x =2 u та x =3 v для деяких цілих чисел u та v }.

2) { x | x Î R, x = y ² для деякого дійсного числа y }={ x | x Î R, x ≥0}.

3) { x | x Î Z, x =6 y для деякого цілого числа y }Í{ x | x Î Z, x =2 y для деякого цілого числа y }.

VI. Довести, що для довільних множин А, В, С істинні такі твердження.

1) А Í В, В Ì С Þ А Ì С, 2) А Ì В, В Í С Þ А ÌС, 3) А Ì В, В Ì С Þ А Ì С.

VII. Які з поданих тверджень правильні для будь-яких множин А, В, С?

1) A ¹ B й B ¹ C Þ A ¹ C, 2) A Í B, B Î C Þ A Î C,

3) A Î B, B Î C Þ A Î C, 4) A Ï B, B Ï C Þ A ÏC,

5) A Ï B, B Ë C Þ A Ï C, 6) A Í B, B Î C Þ A Ï C.

VIII. Навести приклади таких множин Х, для яких кожен елемент множини Х є підмножиною множини Х.

IX. Чи можна побудувати:

1) 4 різні підмножини множини {*,?,!}, що складаються з двох елементів?

2) 6 різних підмножин множини { a, b, c }?

3) 2 підмножини множини {Æ,{Æ}}, що не містять спільних елементів? Відпові-ді обгрунтуйте.

X. Нехай А ₁, А ₂,…, А_n – множини. Довести, що А ₁Í А ₂Í…Í А_n Í А ₁ Û А ₁= А ₂=…= А_n.

XІ. Обчислити подані вирази при заданих значеннях U, A, B, C.

1) (A È B)Ç(A \ B), (B \ A)È A, A D(A Ç B); A ={1,2,3,4}, B ={ c, d }.

2) A Ç(B \ A), (A Ç B)D(B È A); A ={3,4,5}, B ={5,6,7,8}.

3) (B È C)\ A, (A Ç B)D C, (C \ B)È A; A ={1,2,3,4,5}, B ={2,3,4}, C ={1,3,5}.

4) (А Ç В)\ С, (А È В)Ç С, (А \ В)Ç(С È А); А ={ a, b, c, d }, В ={ b, c, f }, С ={ a, c, e, f }.

5) A È B, A Ç B, A D B, A \ B, B \ A; A ={,¯,±,«}, B ={®,:,¯,?}.

6) (А È В)Ç(А D В), А D(А È В), (А D В)\ В; А ={1,2,3}, В ={5,6,7}.

7) A È B, A Ç B, A \ B, B \ A; A ={1,2,3}, B ={ x: x =2 y + z, y, z Î A }.

8) A Ç A ₁, A \ A ₁, A È A ₁, A D A ₁; А ={ x: x – додатне ціле число, кратне 10}, A ₁={10,20,30,40,50}.

9) A È B, A Ç B, A \ B, B \ A; A ={1,2,4}, B ={ x: x =2 y - z, y, z Î A }.

10) Нехай A ={ a, b, c, d }. Побудувати такі підмножини B, C, D множини A, що B D C = D, й знайти B \ D, (C Ç D)È B, (C \ B)Ç D.

11) (A \ B)¢ÈC, (A Ç C)D(B \ A)¢, (A Ç C ¢)È(C \ B ¢); U ={1,2,3,4,5}, A ={1,3,5}, B ={2,3,4}, C ={1,2,5}.

12) A ¢, B ¢, C ¢, (A È B È C)¢, (A Ç B Ç C)¢; U ={ a, b, c, d,1,2,3,4}, A ={ a, b }, B ={ c, d }, C ={1,2,3,4}.

13) A È B, (B Ç C)\ A, (A È C)¢È B; U ={ a, b, c, d, e, f }, A ={ a, b, c }, B ={ c, d, f, e }, C ={ a, d, f }.

14) (A È B)Ç C, (A D C)\ B, (A Ç C)¢È(B \ A); U ={ a, b, c, d }, A ={ a, b }, B ={ b, c }, C ={ a, c, d }.

15) (A Ç B)\ C ¢, (A D B)¢È B, (C \ B)¢Ç(A \ C); U ={ a, b, c, d, e, f }, A ={ b, c, d }, B ={ b, a, f, e }, C ={ c, d, e }.

16) (A \ B)È C, (A È B)¢Ç C, A ¢D C ¢; U ={1,2,3,4,5}, A ={1,3,5}, B ={2,4}, C ={2,3}.

17) A Ç B ¢, A ¢È C, (B Ç C)\ A, A D(B \ C)¢; U ={ a, b, c, d, e }, A ={ a, b, c }, B ={ c, d, e }, C ={ a, c, e }.

18) A È(B Ç C ¢), B \(A D C ¢), (A Ç B)¢È(A ¢È B ¢); U ={1,2,3,4,5}, A ={1,3}, B ={1,2,4}, C ={2,5}.

19) ((A \ B)È C)¢, (A D B ¢)Ç C, (A È(B D C))¢. U ={1,2,3,4,5,6}, A ={1,2,5}, B ={2,4,5}, C ={2,3,4,6}.

20) С \(B Ç А)¢, (A ¢D B)È C ¢, (A È B ¢)D C; U ={1,2,3,4,5,6,9}, A ={1,3,4,5}, B ={2,4,6}, C ={2,5,9}.

XІІ. Нехай універсальною множиною є Z й нехай

А ={ х | х Î Z, х =2 y для деякого додатного цілого числа y },

В ={ х | х Î Z, х =2 y -1 для деякого додатного цілого числа y },

С ={ х | х Î Z, х <10}.

Описати словами й задати неявно множини А ', (А È В)', А \ С ', С \(А È В).

XІІІ. Розглянемо такі підмножини множини цілих додатних чисел Z ⁺:

A ={ x | x Î Z ⁺, x =2 y для деякого цілого числа y },

B ={ x | x Î Z ⁺, x =2 y +1 для деякого цілого числа y },

C ={ x | x Î Z ⁺, x =3 y для деякого цілого числа y }.

Описати словами множини А Ç С, В È С, В \С.

XІV. Обчислити вирази (А – довільна множина):

А ÇÆ, А ÈÆ, А \Æ, А \ А, Æ\ А, ÆÇ{Æ}, {Æ}Ç{Æ}, {Æ,{Æ}}\Æ, {Æ,{Æ}}\{Æ}, {Æ,{Æ}}\{{Æ}}.

XV. За допомогою діаграм Венна з’ясувати, чи правильні твердження:

а) якщо А, В та С – такі підмножини множини U, що А Ç В Í С ' та А È С Í В, то А Ç С =Æ;

б) якщо А, В та С – такі підмножини множини U, що А Í(В È С)' та В Í(А È С)', то В =Æ.

XVI. Обчислити наведені вирази при заданих умовах.

1) Нехай A D B =Æ. Що можна сказати про A Ç B й A \ B?

2) Нехай A Ç B =Æ. Що можна сказати про множини A \ B та B \ A?

3) Нехай A Í B ¢. Що можна сказати про множини A D B та B \ A?

4) Нехай A Ç B ¢=Æ. Що можна сказати про A Ç B й A È B?

5) Нехай A Í C ¢, B Í A. Що можна сказати про B \ C й C \(A È B)?

6) Нехай A È B = A. Що можна сказати про A Ç B та B \ A?

7) Нехай A \ B =Æ. Що можна сказати про, A Ç B, A È B, A Ç B ¢,(A Ç B ¢)¢ й A ¢È B?

8) Нехай A Í B. Що можна сказати про A D B, B D A, (A \ B)Ç(A È B)?

XVIІ. Чи існують такі підмножини X, Y, Z множини A ={ a, b, c, d }, що виконуються наведені нижче умови? Відповіді обґрунтуйте.

1) (X \ Y)¢\(Z \ Y)¹Æ, 2) (X È Y)\(X Ç Z)=Æ,

3) (X \ Z)Ç(Y \ Z)¹Æ, 4) (X \ Y)È Z ¢=Æ,

5) (X È Y È Z)¢\(X Ç Y Ç Z)¢=Æ, 6) Х Ç Y =Æ, а Х \(Х \ Y)¹Æ,

7) (X D Y)\ Z =Æ, X ¹Æ, Y ¹Æ, Z ¹Æ, 8) X D Y = Z, X È Y = Z,

9) X \ Y = Z, Z Ç Y =Æ, 10) (X È Y)\ Z = Z ¢.

XVIII. Чи існують такі множини A, B, C, що задовольняють задані сукупності умов? Відповіді обґрунтуйте.

1) A È B È C = U, A ¢= B È C й C ¢= A È B, 2) A Í B Í A й A ¹ B,

3) (C Ç A)È(A Ç B)=Æ, а A Ç(B È C)¹Æ, 4) A Í B й A Ç C Í B Ç C,

5) A Ç B Í C ¢, A È C Í B, A Ç C =Æ, 6) А Í В, В Î С, А Î С,

7) A Í(B È C)¢, B Í (A È C)¢ й B ¹Æ, 8) A Í B й (C \ B)Í(C \ A),

9) A \ C =Æ, B \ C =Æ, а (A È B)\ C ¹Æ, 10) A D B = C та B D C = A,

11) A È(B È C)=Æ, a (A È B)È C ¹Æ, 12) А = В ¢ й А Ç В ¹Æ,

13) A Ç B ¹Æ, A Ç C =Æ, (A Ç B)\ C =Æ, 14) (A \ B)\ C =Æ, a A \(B \ C)¹Æ,

15) A Ç B ¹Æ, B Ç C =Æ, A Ç C ¹Æ, 16) А Ë В й А D В =Æ,

17) A È B È C = U, A ¢= B È C й C ¢= A È B, 18) А Í В, В ≠ С, А Í С,

19) A Ç B =Æ, A Ç C ¹Æ, (A Ç C)\ B =Æ, 20) А Ç В =Æ, В \ С =Æ, А Í С,

21) A Ç B =Æ, A \ C ¹Æ, (A D C)Ç B ¹Æ, 22) А D В Í С, А Ç В Í С D В.

XІX. Довести тотожності теореми 1.

XX. Довести тотожності теореми 2, виходячи з визначення рівності множин. Спробуйте одержати ті самі результати інакше, користуючись тільки теоремою 1. Принаймні для одного такого доведення випишіть співвідношення, двоїсті до кожного його кроку з метою одержати доведення двоїстого твердження.

XXІ. Довести, що для будь-яких множин А, В, С

1) A Í B Þ A È C Í B È C, 2) A Í B Þ (A \ C)Í(B \ C),

3) A Í B Þ (C \ B)Í(C \ A), 4) A Í B Û (B \ A)È A = B,

5) A È B = A Ç B Þ A = B, 6) A Í B È C Þ A \ B Í C,

7) А È В =ÆÛ А =Æ та В =Æ, 8) A Ç B =Æ Þ A D B Í A È B,

9) C Í B Þ B ¢\ A Í C ¢\ A, 10) A Ç B Í C Û A Í B ¢È C,

11) A Ç B Í C ¢ й A È C Í B Þ A Ç C =Æ, 12) A D B =Æ Û A = B,

13) A \ B =Æ Þ A \ B ¢= A, 14) A Í B È C Û A Ç B ¢Í C,

15) (A \ B)È B = A Û A ¢Í B ¢, 16) A D B = C Û B D C = A,

17) (A È B)D(C È D) Í (A D C)È(B D D), 18) A Í B Þ A ¢Ç B ¢= B ¢,

19) A Ç B =Æ Þ A È B = A D B, 20) B Í A Û (A \ B)È B = A,

21) (A Ç B)È C = A Ç(B È C) Û C Í A, 22) A Ç B = A Þ A ¢È B = U,

23) A = B ¢ Û A Ç B =Æ й A È B = U, 24) A \ B =Æ Û A ¢È B = U,

25) A Ç C ¢Í B Þ A Í C È B, 26) A Í B ¢ Þ (A \ C)Í(B ¢\ C),

27) A = B Þ A \ B =Æ, 28) A = B Þ A È B ¢= U,

29) A È B = B Û A ¢È B = U, 30) A Ç B = A Û A \ B =Æ.

XXІІ. Нехай А È В È С = U, А, В, С попарно не перетинаються. Довести, що А ¢= В È С, В ¢= А È С, С ¢= А È В.

XXIII. Довести тотожності:

1) (A Ç B)¢=(A Ç B ¢)È(A ¢Ç B)È(A ¢Ç B ¢), 2) A Ç B = A \(A \ B),

3) (A È B)\ C =(A \ C)È(B \ C), 4) A D B = B D A,

5) (A Ç B)\ C =(A Ç B)\(A Ç C), 6) (A È B ¢)Ç(A È B)= A,

7) (A Ç B)È(A Ç B ¢)=(A È B)Ç(A È B ¢), 8) (A È B)Ç A = A,

9) A \(B \ C ¢)=(A \ B)È(A \ C), 10) (A È B)È(A ¢Ç B ¢)= U,

11) A \(B Ç C ¢) = (A \ B)È(A \C¢), 12) A D U = A ¢,

13) A Ç(B \ C)=(A Ç B)\(A \ C ¢), 14) A Ç(B \ C)=(A Ç B)\ C,

15) A \(B È C)=(A \ C)\(B \ C), 16) A Ç(B \ A)= Æ,

17) (A ¢È B)Ç A = A Ç B, 18) (A Ç B)È(A Ç B ¢)= A,

19) (A È B)Ç(A ¢Ç B ¢)=Æ, 20) A \ B =(A È B)D B,

21) A \(B Ç C)=(A \ B)È(A \ C), 22) (A ¢È B)Ç A = A Ç B,

23) A È B =(A D B)D(A Ç B), 24) A È(B \ A)= A È B,

25) A È B =(A D B)È(A Ç B), 26) A Ç(B \ C)= В Ç(А \ C),

27) A \ B =(A È B ¢)D(A D B ¢), 28) (A Ç B)È A = A,

29) A Ç(B D C)=(A Ç B)D(A Ç C), 30) A \ B = A D(A Ç B),

31) A È B = A D(B D(A Ç B)), 32) A Ç B ¢= A D(B \ A ¢),

33) A È B =(A D B)D(A \(A \ B)), 34) (В D А)D В = А,

35) A D A ¢= U, 36) A D A =Æ,

37) (A È B)Ç A =(A Ç B)È A, 38) A D(A D B)= B,

39) A È B =(A D B)È(A \ B ¢), 40) A È B = A È(A ¢\ B ¢),

41) A Ç B =(A È B)D(A D B), 42) A D(B D C)=(A D B)D C,

43) (A Ç B)\(A È B)= A Ç((A ¢È B)Ç(A ¢È B ¢)), 44) А DÆ= А,

45) (A Ç B)È(C Ç D)=(A È C)Ç(B È C)Ç(A È D)Ç(B È D).

XXІV. Побудувати усі підмножини множини:

1) {C,T,O}, 2) {+,-,´,/},

3) { x, xy }, 4) { a, A },

5) { x, y,{ x }}, 6) {1,{1},{{1}}},

7) {{1,2}, {2,3}, {4,5}}, 8) {{0,2}, {2,4}, {4,6}},

9) {01,{0},1}, 10) { x, a,{ x },{ a }},

11) { X,Ç, Y }, 12) {1,2,Æ,{3}},

13) {0,{{Æ}},Æ}, 14) {{Æ}, a, ba },

15) {Æ,{1,2},12}, 16) {ÆÆ,1,2},

17) { x { x }, y, z }, 18) { A,{Æ, A }, B },

19) {Æ, X Î Y, A Í B }, 20) {{ x, y }, (x, y)}.

XXV. Задані множини U ={1,2,3,4,5,6}, A ={2,5,6}, B ={1,3,4,5,}, C ={1,2,4,6}. Побудувати P(A Ç C), P((A \ B)È C '), P(B D C), P(C 'Ç B), P(B Ç A '), P(A D B '), P((B \ C)DA'), P((A \ C)D(C \ B)).

XXVI. Довести, що для будь-яких множин А, С

1) В (А È С)={ X È Y | X Î В (А), Y Î В (С)}, 2) В (А Ç С)= В (А)Ç В (С).

XXVII. Довести, що

1) В (È_i_Î_I А_i)={È_i_Î_I С_і: С_i Î В (А_i)}, 2) В (Ç_i_Î_I А_i)=Ç_i_Î_I B (A_i).

XXVIIІ. Знайти такі покриття множини { a, b, c, d, e, f } (принаймні два), які не є розбиттями цієї множини.

XXІX. Чи можна побудувати 10 різних покриттів множини {1,2,3}?

XXX. Знайти усі розбиття множини {1,2,3}.

XXXІ. Скільки існує розбиттів множини {1,2,3,4}?

XXXII. Побудувати покриття та розбиття множин N, Z, Q, R.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒

Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 491 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!

studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.046 с)...