Понятие о многофакторном корреляционно-регрессионном анализе

Для многофакторного корреляционного анализа математически задача формулируется следующим образом: требуется найти аналитическое выражение, наилучшим образом отражающее связь между факторными признаками и результативными:

у=f(x₁, x₂,... x_n).

Наиболее сложным представляется выбор формы связи, т.к. графический метод здесь неприемлем. Можно опираться на теоретические знания, на опыт предыдущих исследований, а при отсутствии таких сведений можно определить вид связи опытным путем, т.е. путем перебора функций разных видов. Однако это сопряжено с большим количеством лишних расчетов.

Поскольку любую функцию многих переменных можно свести к линейному виду, то уравнение множественной регрессии можно искать в линейной форме:

.

В случае неадекватности линейного уравнения множественной регрессии рекомендуется повышать порядок уравнения, пока не удастся подобрать кривую, соответствующую данной статистической информации. При этом, как бы удачно не был выбран вид функции, нельзя ожидать полного соответствия расчетных у_х и фактических у значений изучаемого показателя, так как уравнение множественной регрессии учитывает влияние (среднее) на результативный признак не всех, а лишь основных, существенных факторов. Действие остальных неучтенных факторов и вызывает разброс фактических значений вокруг расчетных.

С помощью многофакторного корреляционного анализа находятся различного рода характеристики тесноты связи между изучаемым показателем и факторами: парные, частные и множественные коэффициенты корреляции, множественный коэффициент детерминации.

Парные коэффициенты корреляции. Для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных (без учета их взаимодействия с другими переменными) применяются парные коэффициенты корреляции. Методика расчета таких коэффициентов и их интерпретация аналогичны линейному коэффициенту корреляции в случае однофакторной связи.

Частные коэффициенты корреляции. Однако в реальных условиях все переменные, как правило, взаимосвязаны. Теснота этой связи определяется частными коэффициентами корреляции, которые характеризуют степень влияния одного из аргументов на функцию при условии, что остальные независимые переменные закреплены на постоянном уровне. В зависимости от количества переменных, влияние которых исключается (элиминируется), частные коэффициенты корреляции могут быть различного порядка. При исключении влияния одной переменной получаем частный коэффициент корреляции первого порядка; при исключении влияния двух переменных – второго порядка и т. д. Парный коэффициент корреляции между функцией и аргументом обычно не равен соответствующему частному коэффициенту.

Частный коэффициент корреляции первого порядка между признаками у и х₁ при исключенном влиянии признака х₂ вычисляется по формуле

где r – парные коэффициенты корреляции между соответствующими признаками.

Совокупный коэффициент множественной корреляции. Показателем тесноты связи, устанавливаемой между результативным и двумя или более факторными признаками, является совокупный коэффициент множественной корреляции R. Он служит основным показателем линейной корреляционной связи. В случае линейной двухфакторной связи совокупный коэффициент множественной корреляции может быть рассчитан по формуле

где r – линейные коэффициенты корреляции (парные), а подстрочные индексы показывают, между какими признаками они исчисляются.

Совокупный коэффициент множественной корреляции измеряет одновременное влияние факторных признаков на результативный. Его значения находятся в пределах от 0 до 1. Чем меньше наблюдаемые значения изучаемого показателя отклоняются от линии множественной регрессии, тем корреляционная связь является более интенсивной, а, следовательно, величина R ближе к единице.

Совокупный коэффициент множественной детерминации. Величина R ² называется совокупным коэффициентом множественной детерминации. Она показывает, какая доля вариации изучаемого показателя объясняется влиянием факторов, включенных в уравнение множественной регрессии. Значения совокупного коэффициента множественной детерминации находятся в пределах от 0 до 1. Поэтому, чем R ² ближе к единице, тем вариация изучаемого показателя в большей мере характеризуется влиянием отобранных факторов.

Задачей многофакторного регрессионного анализа является построение уравнения множественной регрессии и нахождение неизвестных параметров а₀, а₁,..., а_n, выбранной функции. Параметры уравнения, как и в случае парной регрессии, находятся по способу наименьших квадратов.

Так, для расчета параметров простейшего уравнения множественной регрессии – линейной двухфакторной регрессии

где у_х – расчетные значения результативного признака-функции;

x₁ и x₂– факторные признаки;

a₀,a₁,a₂ – параметры уравнения,

строится следующая система нормальных уравнений:

;

;

.

Для получения данной системы нужно составить вспомогательную; таблицу значений: х₁, х₂, у, ух₁, ух₂, х₁х₂, х₁², х₂².

Каждый коэффициент этого уравнения, кроме а ₀, показывает степень влияния соответствующего фактора на анализируемый показатель (при фиксированном положении на среднем уровне остальных факторов), и все эти коэффициенты называются коэффициентами регрессии и показывают, как меняется результативный признак при изменении соответствующего факторного на 1.

Однако коэффициенты регрессии не могут сами по себе определить, какие из них оказываю: наибольшее влияние на исследуемый показатель (поскольку они измерены различными единицами), а также в развитии каких факторов заложены крупные резервы его улучшения (так как не учитывается вариация факторов).

Для этого должны быть вычислены частные коэффициенты эластичности (Э_i) итак называемые β_i (бета-коэффициенты).

Различия в единицах измерения факторов устраняются с помощью частных коэффициентов эластичности, которые рассчитываются по формуле

где a_i – коэффициент регрессии при i-м факторе;

– среднее значение i-го фактора;

– среднее значение изучаемого показателя.

Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменяется анализируемый показатель с измененном на 1% каждого фактора при фиксированном положении других факторов.

Для определения факторов, в развитии которых заложены наиболее крупные резервы улучшения (с точки зрения целей исследования) изучаемого показателя, необходимо учесть различия в степени варьирования вошедших в уравнение факторов. Это можно сделать с помощью β_i - коэффициентов, которые вычисляются по формуле

где – среденее квадратическое отклонение i-го фактора;

– среденее квадратическое отклонение показателя.

β_i – коэффициент показывает, на какую часть среднего квадратического отклонения изменяется результативный признак с изменением соответствующего факторного признака на величину его среднего квадратического отклонения.

Литература

1. Теория статистики: учебник / под ред. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 560с.

2. Социально-экономическая статистика: учебное пособие / Н.П. Дащинская, С.С. Поухватилина, И.Е. Теслюк и др.; под ред. С.Р. Нестерович. – Мн.: БГЭУ, 2003. – 231с.

3. Экономическая статистика: Учебник /Под ред. Ю.Н.Иванова. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 480с.

4. Статистика: курс лекций / Харченко Л.П., Долженкова В.П., Ионин В.Г. [и др.]; под ред. В.Г. Ионина. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 384с.

5. Практикум по теории статистики: учебное пособие / под ред. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 416с.

6. Практикум по статистике: учебное пособие для ВУЗов / под ред. В.М. Симчеры. – М.: Финстатинформ, 1999. – 259с

7. Сиденко А.В. Статистика: учебник. / А.В. Сиденко, Г.Ю. Попов, В.М. Матвеев. – М.: Дело и сервис, 2000. – 464с.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Предмет и задачи статистики
1.1 Предмет статистики
1.2 Категории статистической науки
1.3 Задачи статистики
1.4 Организация статистики в Республике Беларусь
2 Статистическое наблюдение
2.1 Организационные формы наблюдения
2.2 Виды статистического наблюдения
2.3 Способы статистического наблюдения
2.4 Организация работы по статистическим наблюдениям
2.5 Ошибки статистического наблюдения
2.6 Контроль статистических данных
3 Сводка и группировка статистических материалов
3.1 Задачи сводки и ее основное содержание
3.2 Статистические группировки и их виды
3.2.1 Типологическая группировка
3.2.2 Структурная группировка
3.2.3 Аналитическая группировка
3.3 Вторичные группировки
3.4 Ряды распределения, их виды и графическое изображение
3.5 Статистические таблицы
3.6 Статистические графики
4 Обобщающие статистические показатели
4.1 Абсолютные величины, их виды, единицы измерения
4.2 Относительные величины, их виды и значения
4.3 Основные принципы построения относительных величин
4.4 Построение системы статистических показателей
5 Средние величины
5.1 Понятие средней величины. Виды средних величин
5.2 Средняя арифметическая, ее свойства и вычисление
5.3 Вычисление средней арифметической способом моментов
5.4 Средняя гармоническая, ее виды и вычисления
5.5 Мода и медиана. Их вычисление в дискретных и интервальных вариационных рядах
6 Показатели вариации
6.1 Характеристика показателей вариации
6.2 Показатели, характеризующие структуру и форму распределения признака
6.3 Основные свойства дисперсии и ее вычисление
6.4 Дисперсия альтернативного признака
6.5 Определение тесноты связи между факторами. Правило сложения дисперсий
7 Индексы
7.1 Понятие об индексах. Их классификация. Индексная символика
7.2 Принципы и методы построения общих индексов
7.3 Построение индексов качественных показателей в агрегатной форме
7.4 Построение агрегатных индексов, объемных показателей
7.5 Построение агрегатного индекса производительности труда
7.6 Индексы с постоянными и переменными весами
7.7 Преобразование агрегатных индексов в индексы средние из индивидуальных
7.8 Индексный метод факторов динамики (система взаимосвязанных индексов)
7.9 Индексы постоянного, переменного состава и влияние структурных сдвигов.
7.10 Построение территориальных индексов
8 Статистическое изучение динамики
8.1 Ряды динамики и их виды
8.2 Темпы роста, их вычисление
8.3 Прирост и темп прироста. Абсолютное значение 1% прироста
8.4 Вычисление средних показателей динамики
8.5 Приемы анализа рядов динамики
8.6 Аналитическое выравнивание ряда динамики
8.7 Приёмы анализа сезонных колебаний
9 Выборочное наблюдение
9.1 Общее понятие о выборочном методе и причины его использования
9.2 Способы отбора
9.2.1 Собственно случайная выборка
9.2.2 Механический отбор
9.2.3 Типический (районированный) отбор
9.2.4 Гнездовой (серийный) отбор
9.3 Понятие о моментном наблюдении и малой выборке
10 Статистическое изучение взаимосвязи
10.1 Виды связей
10.2 Измерение тесноты связи между атрибутивными признаками
10.2.1 Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова и Пирсона
10.2.2 Коэффициенты ассоциации и контингенции
10.3 Измерение тесноты связи между количественными признаками
10.3.1 Метод сравнения параллельных рядов
10.3.2 Коэффициент Фехнера
10.3.3 Коэффициент корреляции рангов
10.3.4 Метод аналитических группировок
10.4 Метод корреляционно-регрессионного анализа. Корреляционное отношение и коэффициент корреляции
10.5 Измерение тесноты связи между признаками
10.6 Проверка значимости корреляционной связи с помощью дисперсионного анализа
10.7 Понятие о многофакторном корреляционно-регрессионном анализе
Литература
Содержание

Учебное издание