Суть метода наименьших квадратов

1. По виду экспериментальной зависимости выбираем аналитическую функцию (лин, кв, экспонентную и т.д.) y=f(x)

Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, получили название эмпирических формул.

2. Подбираем параметры, выбранной аналитической зависимости, так чтобы сумма квадратов отклонения теоретических значений функции от опытных значений была минимальной для всех экспериментальных точек.

(y₁-f(x₁))²+(y₂-f(x₂))²+(y_n-f(x_n))²→min

Пусть в качестве функции y=f(x) взята линейная функция y=ax+b и задача сводится к отысканию таких значений параметров a и b, при которых функция

S = ∑(ax_i+b-y_i)² принимает наименьшее значение

ⁱ⁼¹

заметим, что функция S=S(a,b)есть функция 2 ух переменных a и b, а x_i;y_{i –} постоянные числа, найденные экспериментально.

Т.о. для нахождения прямой решим систему

S’a=0

S’b=0

Или

∑2(ax_i+b-y_i) x_i=0

∑2(ax_i+b-y_i) ₌₀

После алгебраических преобразований эта система принимает вид

(∑x_i²)a+(∑x_i)b= ∑x_i y_i

(∑x_i)a+ nb=∑ y_i (1)

Система называется системой нормальных уравнений

Эта система имеет единственное решение т.к. ее определитель

=׀А׀ ∑ x_i²∑x_{i =} n∑ x_i² -(∑x_i)² ≠0

∑x_i n

Найдем частные производные (1)

S”aa=2∑ x_i²=A

S”ab=2∑ x_i=B

ЫЭии=2т=С

Выражение ∆=ФИ-С² = 4 (т∑ ч_ш²-∑ ч_ш)²Ю0

49. Разложение в ряд Маклорена функции y=ln(1+x) Вывод. Интервал сходимости полученного ряда.

Для того чтобы функция y=f(x) представляла сумму ряда.

F(0)= f(0)+f’(0)x+f”(0)/2!x² +f”’(0)/3!x³ +….+fⁿ (0)/n!xⁿ ……

Необходимо и достаточно, чтобы остаток ряда →0 для любых х из интервала сходимости.

Разложение в ряд Маклорена функции y=ln(1+x)

y=ln(1+x)

Рассмотрим геом ряд

1/1+х = 1-x+x²-x³+…+(-1)ⁿxⁿ (1)

(-1;1) интервал сходимости

1/1+x │q│=│-x│<1

S=a/1-q = 1/1-(-x)

Ln(1+x) = ^x⌠dx/1+x

⁰

Интегрируя почленно равенство(1) получим.

^x⌠dx/1+x = ^x⌠dx - ^x⌠xdx + ^x⌠x²dx-……(-1)^{n x}⌠xⁿdx+…..= x ^x│- x²/2 ^x│+ (-1)ⁿxⁿ⁺¹/n+1 ^x│ =

^{0 0 0 0 0 0 0 0}

= ln(1+x) = x+ x²/2 - x³/3+ (-1)ⁿxⁿ⁺¹/n+1

(-1;1] – интервал сходимости ряда (сходящийся)