Алгебра событий

В прикладных задачах основными являются не прямые, а косвенные методы вычисления вероятностей интересующих нас событий через вероятности других, с ними связанных. Для этого нужно уметь выражать интересующие нас события через другие, т. е. использовать алгебру событий.

Отметим, что все вводимые ниже понятия справедливы тогда, когда события о которых идет речь, представляют собой подмножества одного и того же пространства элементарных событий .

Сумма или объединение событий А1, А2, …, Аn – такое событие А, появление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn. Сумма обозначается:

(3.1)

где - знак логического сложения событий, - знак логической суммы событий.

Произведение или пересечение событий А1, А2, …, Аn – такое событие А, появление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте всех событий А1, А2, …, Аn одновременно. Произведение обозначается

(3.2)

где - знак логического умножения событий, - знак логического произведения событий.

Операции сложения и умножения событий обладают рядом свойств, присущих обычным сложению и умножению, а именно: переместительным, сочетательным и распределительным свойствами, которые очевидны и не нуждаются в пояснении.

Диаграммы Эйлера-Венна для суммы (а) и произведения (б) двух событий А1 и А2 приведены на рис. 3.2.

	а)		б)

Рис. 3.2

Суммой (объединением) событий А1 и А2 является событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий (заштрихованная область на рис. 3.2, а). Произведение событий А1 и А2 это событие, состоящее в совместном выполнении обоих событий (заштрихованное пересечение событий А1 и А2 – рис. 3.2, б).

Из определения суммы и произведения событий следует, что

А = А А; А = А ; = А ;
А = А А; = А ; А = А .

Если события Аi (i=1, …, n) или { Аi }ⁿ i=1 составляют полную группу событий, то их сумма есть достоверное событие

=

(3.3)

Изображение противоположного события приведено на рис. 3.3. Область дополняет А до полного пространства . Из определения противоположного события следует, что

(3.4)

Другие свойства противоположных событий отражены в законах де Моргана:

(3.5)

поясняемых рис. 3.4.