Средняя гармоническая

l простая;

l взвешенная.

Средняя гармоническая простая:

где х – индивидуальные значения признака,

n – количество единиц совокупности.

Средняя гармоническая взвешенная:

где х – индивидуальные значения признака,

w (xf) – произведения вариант на частоту.

ПРИМЕР:

Время, затраченное на производство одной детали, ч	1/2	1/3	1/4
Рабочие бригады

Определить средние затраты времени на производство одной детали.

РЕШЕНИЕ:

Вывод: средние затраты времени на производство одной детали составляют 20 минут.

=3=

Основные математические свойства средней арифметической величины:

Первое свойство: средняя арифметическая сумма (разность) двух величин равна сумме (разности) средних этих величин:

или ;

или

Второе свойство: общий множитель (i) индивидуальных значений признака (х) может быть вынесен за знак средней:

или ;

или

Из этого следует, что если все значения признака увеличить или уменьшить в одно и тоже число раз, то средняя величина увеличится или уменьшится во столько же раз.

Третье свойство: средняя постоянной величины равна ей самой:

так как

Из этого следует, что если все значения признака увеличить или уменьшить на одно и тоже число раз, то средняя величина увеличится или уменьшится на это же число.

Четвертое свойство: если все частоты признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

Пятое свойство: алгебраическая сумма отклонений всех значений признака от средней арифметической равна нулю:

На основании свойств средней можно вычислить среднюю по формуле способа условныхмоментов:

=4=

Мода (Мо) – это величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в совокупности.

В дискретном вариационном ряду мода – это варианта, имеющая наибольшую частоту.

В интервальном ряду мода определяется по формуле:

- начальная граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Модальный – это интервал с наибольшей частотой.

Медиана – это варианта, которая находится в середине вариационного ранжированного ряда.

Медианный – это интервал, в котором накопленная частота превышает полусумму всех частот.

В интервальном ряду медиана определяется по формуле:

;

- начальная граница медианного интервала; - величина медианного интервала; - сумма накопленных частот до медианного интервала; - частота медианного интервала.

ПРИМЕР:

Затраты времени на производство деталей, мин (х)	Количество деталей, шт (f)	Середина интервала (х)	хf	Накопленные частоты (S)
До 10
10-12
12-14
14-16
16 и более
Итого		-		-

Определить значение моды и медианы.

РЕШЕНИЕ:

Мода определяется по формуле:

Медиана определяется по формуле:

;

Вывод: наиболее часто затрачиваемое время на изготовление одной детали составляет 13,1 минута, при этом половина деталей изготавливается менее 13,2 минут, вторая половина – более 13,2 минут.

=5=

Вариация — изменение (колеблемость) значений признака внутри совокупности.