Анализ временных рядов

Временной ряд – это ряд значений изучаемого признака за последовательные моменты или периоды времени. Он состоит из уровней ряда (у_i) и периодов или моментов времени, к которым относятся уровни (t_i).

Уровни ряда формируются под влиянием совокупности факторов, проявляющихся через трендовую (Т), циклическую или сезонную (S) и случайную компоненты (). Применяются аддитивная У=Т+S+ε или мультипликативная У=Т∙S∙ модели.

Для выявления во временном ряду тенденции или циклических колебаний используется коэффициент автокорреляции. Коэффициент автокорреляции уровней первого порядка, смещенных на одну единицу времени, определяется по формуле:

, где , (16.1)

Для характеристики тенденций во временном ряду наиболее часто используются следующие функции:

- линейная ; (16.2)

- степенная ; (16.3)

- гиперболическая ; (16.4)

- показательная ; (16.5)

- полиноминальная . (16.6)

Параметры уравнений определяются методом наименьших квадратов.

Для характеристики зависимости между последовательными значениями остатков применяется критерий Дарбина-Уотсона.

, 0 . (16.7)

Для выявления циклических колебаний во временных рядах используется гармонический анализ. Наиболее часто применяют ряд Фурье:

, (16.8)

где k=1,2, …., () номер гармоники,

t = 1,2, ….., Т – номер интервала или момента времени,

Т – число уровней временного ряда,

- выравненный уровень в момент или интервал времени t.

Если в исходном временном ряду тенденции развития не обнаружено, то а₀.

Параметры ряда Фурье определяются методом наименьших квадратов по формулам:

, , . (16.9)

Если в исходном ряду обнаружена тенденция и найдены значения , то в формуле (16.8) вместо у_t, используется .

1 На основании данных об урожайности одной сельскохозяйственной культуры: а) построить график динамики урожайности; б) определить параметры тренда урожайности, используя приемы линейного и нелинейного сглаживания, в) найти выравненные значения урожайности и доверительные интервалы для этих значений, г) определить прогнозные значения урожайности на период до 2010 года

Таблица26 - Урожайность сельскохозяйственных культур с 1 га, ц

Год	Пшеница озимая	Кукуруза	Картофель	Сахарная свекла	Подсол-нечник	Овощи	Табак
	28,8	24,8			22,1		9,7
	33,2	27,8			22,3		10,6
	39,5	30,2			20,1		8,2
	37,5	33,4			15,6		7,3
	43,2	30,9			18,2		10,0
	36,4	35,3			23,5		12,4
	44,1	36,3			20,4		9,0
	39,8	33,3			17,8		6,6
	42,0	35,4			16,9		9,6
	36,2	36,4			16,0		8,4
	32,9	31,3			17,5		5,9
	38,9	44,6			12,8		7,2
	44,5	35,1			8,4		10,8
	39,9	42,9			12,4		12,8
	37,8	20,1			13,0		9,5
	38,8	22,0			15,6		6,3
	44,0	24,0			13,3		6,8
	47,2	28,8			17,3		6,9
	46,8	35,7			18,6		8,1
	43,1	40,4			17,3
	46,7	40,3			20,1
	42,7	29,8			20,8		8,0
	50,8	43,9			24,6		10,2

2 Имеются следующие данные об объеме подрядных работ строительной организации

Таблица 27 - Объем подрядных работ, млн. руб.

Месяц	2005 г.	2006 г.	2007 г.	2008 г.
Январь	1,25	1,58	1,46	2,31
Февраль	1,88	1,96	2,32	2,70
Март	2,32	2,64	2,89	3,23
Апрель	4,41	4,87	4,66	5,11
Май	4,10	4,05	4,34	6,02
Июнь	4,21	4,58	4,11	6,25
Июль	5,03	5,94	6,03	8,02
Август	5,41	6,05	5,74	8,44
Сентябрь	4,87	5,11	5,34	7,34
Октябрь	3,17	4,07	4,85	5,02
Ноябрь	2,46	3,86	4,23	4,75
Декабрь	3,28	3,15	3,98	4,95

Построить график динамики объема подрядных работ. Определить параметры тренда объема подрядных работ, включающего общую закономерность изменения объема работ и периодическую составляющую, используя периодическую функцию ряда Фурье.

ОТВЕТЫ

РАЗДЕЛ 1