Интерпретация формул логики в теории функциональных отношений

Функцией называется всякое отображение D в Т f = D®Т

D – область значения х; Т – область значения f(x)

Одному значению х соответствует точно одно значение из области Т.

(f(x) = y) – функциональное отношение предикатов

р(f(x),y) = (f(x) = y) - может быть задана таблицей

Возможное дальнейшее обобщение: f = D₁ x D₂ x D_n ® T f(x₁,... x_n)

Пример: р(f(x₁,... x_n), y) = (x₁ ×x₂ ×... x_n = y)

Распространяется правило композиций:

p(f₁(x₁, f₂(x₂x₃)),y) = (x₁ × x₂^x3 = y) Область определения может быть любой.

Пример: p(f(x), y) = (x² = y)

Интерпретируется графиком

$х$y p(f(x), y) = $х$y (x² = y) = тождественно истинно

С – правило (нужно для доказательства)

Исключаем «$», заменяя вхождение соответствующих переменных на константы из области интерпретации (исключить = элиминировать). Для нашего примера С – правило: а² = в, а,вÎР; (а² = в) ~ функциональная зависимость (уравнение)

"x"у p(f(x), y) = "x"y (x² = y) = F

a,bÎD ® (a² = b) & (b² = a) &... = F, если а ¹ b (=Т, если а = b = 0 или а = b =1)

Пример: р(f₁(x), f₂(y)) = (x² = 2y)

Графическая интерпретация

$х$y$z ((x² = z) & (z = 2y) = T ® система уравнений;

z – вспомогательная переменная

(a² = c) & (c = 2в) – система уравнений

Пример:

Р(f(x),y) q(x,y) r(x,z) – предикаты

y=x² y=x x<z

Тогда (r(x,0) ® p(f(x),y) & (ùr(x,0) ® q(x,y)

(r ® p) & (ùp ® q) = (ùr Ú p) & (r Ú q) = ùrq Ú pr Ú p & q

Правило общего склеивания:

rq Ú rp Ú pq = r Ú rp