Разложения

Если Вы используете Mathcad, Вы будете иметь доступ к некоторым дополнительным функциям для выполнения специальных разложений матрицы: QR, LU, Холесского, и по сингулярным базисам. Некоторые из этих функций возвращают две или три матрицы, соединенные вместе в одну большую матрицу. Используйте submatrix, чтобы извлечь эти две или три меньшие матрицы. Рисунок 16 показывает пример.

Имя функции	Возвращается...
cholesky(M)	Нижняя треугольная матрица L такая, что L LT=M. Матрица M должна быть симметричной положительно определенной. Симметрия означает, чтоM=MT, положительная определённость — чтоxT M x>0 для любого вектора x 0.
qr(A)	Матрица, чьи первые n столбцов содержат ортогональную матрицу Q, а последующие столбцы содержат верхнюю треугольную матрицу R. Матрицы Q и R удовлетворяют равенству A=Q R. Матрица A должна быть вещественной.
lu(M)	Матрица, которая содержит три квадратные матрицы P, L и U, расположенные последовательно в указанном порядке и имеющие с Mодинаковый размер. L и U являются соответственно нижней и верхней треугольными матрицами. Эти три матрицы удовлетворяют равенству P M=L U.
svd(A)	Матрица, содержащая две расположенные друг над другом матрицы U и V. Сверху находится U — размера m x n, снизу V — размера n x n. Матрицы U иV удовлетворяют равенству A=U diag(s) VT, где s — вектор, возвращенный svds(A). A должна быть вещественной матрицей размера m x n, где m>=n.
svds(A)	Вектор, содержащий сингулярные значения вещественнозначной матрицы размера m x n, где m>=n.

Любое вычисление, которое Mathcad может выполнять с одиночными значениями, он может также выполнять с векторами или матрицами значений. Есть два способа сделать это:

Последовательно выполняя вычисления над каждым элементом с использованием дискретного аргумента, как описано в следующей главе “Дискретные аргументы”.

Используя оператор векторизации, описанный в этой главе.

Оператор векторизации предписывает Mathcad выполнить одну и ту же операцию над каждым элементом вектора или матрицы.

Математическая запись часто указывает на многократность операции, используя нижние индексы. Вот как определяется матрица P, получаемая перемножением соответствующих элементов матриц M и N:

Обратите внимание, что это не умножение матриц, но поэлементное перемножение. Mathcad позволяет выполнить эту операцию с использованием нижних индексов, как описано в следующей главе, но намного проще использовать векторизованное равенство.