![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве А единиц. Требуется изготовить из него L разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам b1, b2, … bl (условие комплектности). Каждая единица материала м.б. раскроена N различными способами, причем использование i-го способа (i=1,2,…,n) дает аik единиц k-го изделия (к=1,2, …,l).
Необходимо найти план раскроя, обеспечивающий макс число комплектов.
Составим ЭММ задачи:
Обозначим Хi – число единиц материала раскраиваемых i-ым способом, и Х – число изготавливаемых комплектов изделий. Т.к. общее количество материала равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то
(2.1)
Требование комплектности выразится уравнениями
(k=1,2,…, l) (2.2)
Очевидно, что Хi >=) (i=1,2,…,n) (2.3)
ЭММ задачи: найти такое решение Х=(х1, х2, …, хn), удовлетворяющее системе уравнений (2.1) – (2.2) и условию (2.3), при котором функция F = х принимает макс значение.
Эту задачу можно обобщить на случай m раскраиваемых материалов.
Пусть каждая единица j-го материала (j = 1, 2,…, m) может быть раскроена N различными способами, причем использование i-го способа (i =1,2,…,n) дает аijk единиц k-го изделия (к=1,2, …,l), а запас j-го материала равен Aj единиц.
Обозначим Хij – число единиц j-го материала раскраиваемого i-ым способом.
ЭММ задачи о раскрое материалов в общей постановке примет вид: найти такое решение Х=(х11, х12, …, хnm), удовлетворяющее системе
(j = 1, 2,…, m),
(k=1,2,…, l)
и условию Xij >= 0, при котором функция F = х принимает макс значение.
Рассмотренные примеры задач линейного программирования позволяют сформулировать общую задачу линейного программирования.
Дана система m линейных уравнений и неравенств с n переменными
а11*Х1 + а12*Х2 + … + а1n*Xn <= В1
а21*Х1 + а22*Х2 + … + а2n*Xn <= В2
………………………….
ак1*Х1 + ак2*Х2 + … + акn*Xn <= Вк
ак+1,1*Х1 + ак+1,2*Х2 + … + а к+1,n*Xn = В к+1 (1)
а к+2,1*Х1 + а к+2,2*Х2 + … + а к+2,n*Xn = В к+2
………………………….
аm1*Х1 + аm2*Х2 + … + аmn*Xn = Вm
и линейная функция
F = С1*Х1 + С2*Х2 + … + Сn*Xn (2)
Найти такое решение системы Х = (Х1, Х2, …,Xj,…, Хn), где
Хj>=0 (j = 1, 2,…, l; l<=n) (3)
при котором линейная функция F (2) принимает оптимальное (макс или мин) значение.
Система (1) называется системой ограничений, а функция F – линейной функцией, линейной формой, целевой функцией или функцией цели.
Более кратко общую задачу линейного программирования можно представить в виде:
F = à max (min)
При ограничениях:
(I = 1, 2, …, k)
(I = k+1, k+2, …, m)
Хj>=0 (j = 1, 2,…, l; l<=n)
Оптимальным решением (или оптимальным планом) задачи ЛП называется решение Х = (Х1, Х2, …,Xj,…, Хn) системы ограничений (1), при котором линейная функция (2) принимает оптимальное (макс или мин) значение.
Термины «решение» и «план» - синонимы, однако первый используется чаще, когда речь идет о формальной стороне задачи (ее математическом решении), а второй – о содержательной стороне (экономической интерпретации).
При условии, что все переменные неотрицательны (Хj>=0, j = 1, 2,…, n), система ограничений (1) состоит лишь из одних неравенств, - такая задача ЛП называется стандартной; если система ограничений (1) состоит из одних уравнений, то задача называется канонической. В приведенных выше примерах задача 1 – стандартная, 2 – каноническая. Бывает – общая.
Любая задача ЛП м.б. сведена к канонической, стандартной или общей.
Вспомогательная теорема (без доказательства):
Всякому решению неравенства
аi1*Х1 + аi2*Х2 + … + аin*Xn <= Вi (4)
соответствует определенное решение уравнения
аi1*Х1 + аi2*Х2 + … + аin*Xn + Хn+i= Вi (5)
в котором Хn+i>=0 I = 1,m (6)
и, наоборот, каждому решению уравнения (5) и неравенства (6) соответствует определенное решение неравенства (4).
Используя эту теорему, можно представить стандартную задачу (1.4) – (1.6) в каноническом виде. С этой целью в каждое из m неравенств в системе ограничений (1.4) вводятся дополнительные неотрицательные переменные Xn+1, Xn+2, Хn+m и система ограничений примет вид:
а11*Х1 + а12*Х2 + … + а1n*Xn + Xn+1 = В1
а21*Х1 + а22*Х2 + … + а2n*Xn + Xn +2 = В2 …………………………………………………………….
аm1*Х1 + аm2*Х2 + … + аmn*Xn + Xn +m = Вm
Замечание. В рассматриваемой задаче все неравенства вида <=, поэтому дополнительные неотрицательные переменные вводились со знаком «+». В случае неравенства вида >= соответствующие дополнительные неотрицательные переменные вводились бы со знаком «-».
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 913 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!