Установление автоматических соединений 2 страница

Термин «квази-эксперимент» взят из вышеупомянутого изда­тельского послесловия к Эйлеру (1753). Издатель пишет: «По­скольку мы должны отнести числа к области одного лишь чистого интеллекта, то нам трудно понять, каким образом наблюдения и квази-эксперименты могут быть полезными при исследо­вании природы чисел. Как я покажу здесь при помощи очень хороших доводов, известные в настоящее время свойства чисел действительно были большей частью открыты наблюдением...». Полья по ошибке приписывает эту цитату самому Эйлеру (1954, т. 1, стр. 3).

[18] Люилье (Lhuilier), исправляя подобным образом доказатель­ство Эйлера, сказал, что он делает только «небольшое замечание» (1812—1813, стр. 179). Однако сам Эйлер, заметив неувязку, от казался от доказательства, а этого «небольшого замечания» не сделал.

[19] Коши думал, что для нахождения на каждой стадии тре­угольника, который может быть вынут с устранением или двух ребер с вершиной, или лишь одного ребра, можно дать очень про­стую инструкцию для любого многогранника (1811, стр. 79). Это, конечно, связано с неспособностью вообразить многогранник, ко­торый не был бы гомеоморфным со сферой.

[20] Этот контрапример 1 был впервые замечен Люилье (1812— 1813, стр. 194). Но издатель Жергонн (Gergonne) добавил (стр. 180), что он и сам заметил это задолго до статьи Люилье. Этого не сделал Коши, опубликовавший свое доказательство за год до этого. Этот контрапример был через двадцать лет снова открыт Гесселем (Hessel, 1832, стр. 16). И Люилье и Гессель пришли к своему открытию, рассматривая минералогическую коллекцию, в которой они заметили несколько двойных кристаллов, где внут­ренний кристалл был непрозрачным, а внешний пропускал свет. Люилье признал, что стимул к своему открытию он получил от коллекции кристаллов своего друга профессора Пикте (1812—1813, стр. 188), Гессель упоминает о кубах сернистого свинца, заклю­ченных в прозрачных кристаллах полевого шпата (1834, стр. 16).

[21] Определение 1 встречается впервые в XVIII столетии, на­пример, «Название многогранного тела или просто много­гранника дают любому телу, ограниченному плоскостями или плоскими гранями» (Лежандр, 1794, стр. 160). Подобное же опре­деление дано Эйлером (1750). Евклид, определяя куб, октаэдр, пи­рамиду, призму, не дает определения общего термина «многогран­ник», но иногда пользуется им (например, книга XII, вторая зада­ча, предложение 17).

[22] Определение 2 мы находим неявно в одной из работ Жонкьера, прочитанных во французской Академии против тех, кто хотел отвергнуть теорему Эйлера. Эти работы представляют це­лое сокровище техники удаления монстров. Он мечет громы про­тив чудовищной пары всаженных кубов Люилье: «Эта система представляет не многогранник, но пару многогранников, каждый из которых не связан с другим... Многогранник, по крайней мере с классической точки зрения, заслуживает это имя прежде всего только тогда, когда точка может непрерывно двигаться по всей его поверхности; в данном случае это не так... Это первое исклю­чение Люилье может быть поэтому устранено» (1890b, стр. 170). Это определение, противопоставленное Определению 1, хорошо по­дойдет аналитическим топологам, которые совершенно не инте­ресуются многогранниками как таковыми, по только их поверхно­стями, как горничная во время уборки.

[23] Контрапримеры 2, а и 2, b не были замечены Люилье и впервые открыты только Гесселем (1832, стр. 13).

[24] Определение 3 для устранения наших близнецов-тетраэдров впервые встречается у Мебиуса (1865, стр. 32). Это путаное опреде­ление воспроизводится в некоторых новейших учебниках обычным авторитарным путем: «бери без разговоров»; история этого принци­па, устраняющего монстры, которая по крайней мере уяснила бы его смысл, еще не рассказана [см. Гильберт (Hilbert) Кон-Фоссен (Cohn-Vossen, 1956), стр. 200].

[25] Определение И, согласно которому эйлеровость была бы оп­ределяющей характеристикой многогранника, в действительности было предложено Балцером: «Обычные многогранники иногда (по Гесселю) называются эйлеровыми многогранниками. Было бы лучше найти специальное название для ненастоящих (uneigen-tliche) многогранников» (1860, т. II, стр. 207). Упоминание о Гесселе неправильно: Гессель использовал термин «эйлеров» просто как сокращенное название многогранников, для которых соотно­шение Эйлера справедливо в противоположность неэйлеровым (1832, стр. 29). Относительно Определения И см. также цитату из Шлефли в следующем примечании.

[26] «Морской еж» был впервые разобран Кеплером в его космо­логической теории (1619, кн. II, 19 и 26 и кн. V, гл. 1, 3, 9, 47). Название «морского ежа» принадлежит Кеплеру (cui nomen Echino feci). Рис. 7 скопирован с его книги (стр. 52), которая содержит еще и другую картинку на стр. 182. Пуансо независимо открыл его второй раз; именно он указал, что формула Эйлера не приложима к нему (1809, стр. 48). Стандартный термин нашего времени «ма­лый звездчатый многогранник» принадлежит Кэйли (1859, стр. 125). Шлефли вообще допускал звездчатые многогранники, но тем не ме­нее отбросил наш малый звездчатый многогранник как монстр. По его мнению,— «это не будет настоящим многогранником, так как он не удовлетворяет условию V — Е + F = 2» (1852, § 34).

[27] Диспут о том, надо ли определять многоугольник так, чтобы включить и звездчатые многоугольники (Определение 4 или Опре­деление 4'), является очень старым. Выставленный в нашем диа­логе аргумент — что звездчатые многоугольники могут существо­вать как обыкновенные многоугольники в пространстве высших из­мерений — является новейшим топологическим аргументом, но можно выдвинуть и много других. Так, Пуансо, защищая свои звездчатые многогранники, в пользу допущения звездчатых много­угольников приводил аргументы, заимствованные из аналитиче­ской геометрии: «все эти различия (между обыкновенными и звезд­чатыми многоугольниками) являются более кажущимися, чем дей­ствительными, и полностью исчезают в аналитическом изложении, где эти различные виды многоугольников совершенно неразделимы. Ребру правильного многоугольника соответствует уравнение с дей­ствительными корнями, одновременно дающее ребра всех правиль­ных многоугольников того же порядка. Таким образом, нельзя по­лучить ребра правильного вписанного семиугольника, не найдя в то же время семиугольников второго и третьего рода. Обратно, если дана сторона правильного семиугольника, то можно определить ра­диус круга, в который он может быть вписан, но, делая это, мы найдем три различных круга, соответствующих трем родам семи­угольника, который может быть построен на данной стороне; ана­логично и для других многоугольников. Таким образом, мы имеем право дать название многоугольника этим новым звездчатым фигу­рам» (1809, стр. 26).

Шредер пользуется аргументом Ганкеля: «В алгебре было весь­ма плодотворным распространение на рациональные дроби понятия о степени, первоначально связанного только с целыми числами; это подсказывает нам сделать такую же попытку и в геометрии, когда представится возможность...» (1862, стр. 56). Затем он показывает, что геометрическую интерпретацию многоугольников с числом сто­рон p/q можно найти в виде звездчатых многоугольников.

[28] Заявление Гаммы, что он может определить площадь звезд­чатых многоугольников, не блеф. Некоторые из защитников более широкого понятия о многоугольниках решили эту задачу, выставив более широкое определение площади многоугольника. Это, в частно­сти, можно сделать очевидным в случае правильных звездчатых многоугольников. Мы можем взять площадь многоугольника как сумму площадей равнобедренных треугольников, которые соединя­ют центр вписанного или описанного круга со сторонами много­угольника. В этом случае, конечно, некоторые «части» звездчатого многоугольника будут считаться не один раз. В случае неправиль­ных многоугольников, где у нас нет никакой выделяющейся точки, мы можем в качестве начала взять любую точку и рассматривать отрицательно ориентированные треугольники как отрицательные площади (Мейстер, 1769—1770, стр. 179). Оказывается — и этого на­верняка можно было ждать от «площади» — что определенная так площадь не будет зависеть от выбора начала (Мебиус, 1827, стр. 218). Конечно, можно спорить с теми, кто не считает оправдан­ным понятия «площади» как числа, полученного в результате та­кого подсчета; однако защитники определения Мейстера — Мебиуса называют его «правильным определением», которое «одно только научно оправдано» [замечания Р. Гаусснера (Haussner, 1906, стр. 114—115)]. Искание сущности было характерной чертой в спорах об определениях.

[29] Контрапример 4 мы найдем и в классическом труде Люилье (1812—1813) на стр. 185. Жергопн добавил, что он тоже знал его. Но Грунерт не знал его четырнадцатью годами позже (1827), а Пуансо — сорока пятью годами (1858, стр. 67).

[30] Это парафраз из письма Эрмита к Стильтьесу: «Я с дрожью ужаса отворачиваюсь от ваших несчастных проклятых функций, у которых нет производных» (1893).

[31] «Исследования, производимые над... функциями, нарушаю­щими законы, на универсальность которых возлагались надежды, рассматривались почти как распространение анархии и хаоса там, где прошедшие поколения искали порядка и гармонии» (Сакс, 1933, Предисловие). Сакс говорит здесь о жарких битвах устранителей монстров (вроде Эрмита) с опровергателями, характерных для по­следних десятилетий XIX в. (и, конечно, начала XX в.) в развитии со­временной теории функций действительного переменного, «ветви математики, которая имеет дело с контрапримерами» [Мунро (Munroe, 1953, Предисловие)]. Бушевавшая несколько позже меж­ду противниками и защитниками математической логики такая же ярая битва была ее непосредственным продолжением. См. также подстрочные примечания 34 и 35.

[32] Определение 5 было выставлено неутомимым устранителем монстров Жонкьером, чтобы убрать с дороги многогранник Люилье с туннелем (картинная рама): «И этот многогранный комплекс не будет настоящим многогранником в обычном смысле этого слова; действительно, если провести какую-нибудь плоскость через лю­бую точку внутри одного из туннелей, проходящих через тело, то получающееся поперечное сечение составится из двух различных многоугольников, совершенно не связанных друг с другом; в обыч­ном многограннике это может иметь место для некоторых по­ложений секущей плоскости, а именно в случае некоторых невы­пуклых многогранников, но не для всех таких» (1890b, стр. 170— 171). Можно задаться вопросом, заметил ли Жонкьер, что его Определение 5 исключает также некоторые невыпуклые сферои­дальные многогранники.

[33] «Мы не должны забывать, что кажущееся сегодня уродством завтра может быть началом линии специального приспособления... Я подчеркнул важность редких, но крайне богатых следствием му­таций, влияющих на ход решающих эмбриональных процессов, ко­торые могут положить начало тому, что можно назвать подающими надежды уродами, уродами, которые начнут новую эволюционную линию, если приспособятся к какой-нибудь незанятой окруженческой нише» (Гольдшмидт, 1933, стр. 544 и 547). Мое внимание было привлечено к этой работе Поппером.

[34] Парафраз из Пуанкаре (1908, стр. 131—132). Полный ориги­нальный текст таков: «Логика иногда делает чудовища. Вот уже с половины века мы наблюдаем, как появляется толпа странных функ­ций, которые, по-видимому, пытаются возможно меньше походить на честные функции, служащие какой-нибудь цели. Нет уже больше непрерывности, а если иногда и бывает, то без производных, и т. д. Даже больше, со строго логической точки зрения, именно эти странные функции и являются наиболее общими, а те, с которыми встречаешься без особых поисков, уже являются только как ча­стные случаи. Для них остается только самый маленький уголок.

До сих пор, когда изобретали новую функцию, это было для какой-нибудь практической цели; сегодня их изобретают специ­ально для того, чтобы сделать ошибочными рассуждения наших от­цов, и ничего другого получить из них нельзя.

Если бы логика была единственным руководителем учителя, то стало бы необходимым начинать с наиболее общих функций, т. е. с наиболее странных. Именно начинающему пришлось бы разби­раться в этом тератологическом музее». Пуанкаре обсуждает эту задачу в связи с положением в теории действительных функций, но это неважно.

[35] Парафраз из Данжуа (Denjoy, 1919, стр. 21).

[36] Берар (Berard, 1818-1819, стр. 347 и 349).

[37] Гессель (Hessel, 1832, стр. 13). Гессель снова открыл в 1832 г. «исключения» Люилье. Работу Люилье (1812—1813) он прочел как раз после отправки своей рукописи. Однако он решил не требовать назад своей работы, хотя большая часть ее результатов уже оказа­лась опубликованной ранее; он думал, что острие его статьи должно быть направлено против «новейших авторов», игнорирующих эти исключения. Случилось, между прочим, что одним из этих авторов был издатель журнала, в который Гессель послал свою статью, а именно Крелле (A. I. Crelle). В своем курсе (1826—1827) он «дока­зал», что теорема Эйлера верна для всех многогранников (т. II, стр. 668—671).

[38] Matthiesson (1863, стр. 49). Маттисен говорит здесь об «Lehr-buch der Geometrie» Heis'a и Eschweiler'a и об «Lehrbuch der Ste-reometrie» Grunert'a. Маттисен, однако, решил эту задачу не как Эта, устранением монстров, а их исправлением, как Ро (см. примечание 59).

[39] Это из введения Коши к его знаменитой книге (1821).

[40] Люилье и Жергонн были, по-видимому, уверены, что список Люилье содержит все исключения. Во введении к этой части ра­боты мы читаем: «Каждый может легко убедиться, что теорема Эйлера справедлива вообще для всех многогранников, будут ли они выпуклыми, или нет, за исключением специально указанных слу­чаев» [Люилье (1812—1813, стр. 177)]. Затем в примечаниях Жергонна мы опять читаем: «...указанные исключения, по-видимому, являются единственными возможными» (там же, стр. 188). Но в действительности Люилье пропустил тетраэд­ров-близнецов, которые впервые были замечены только через -двадцать лет Гесселем (1832). Стоит отметить, что некоторые ведущие математики, даже математики с живым интересом к методологии, вроде Жергонна, могли верить, что можно полагаться на метод устранения исключений. Эта уверен­ность аналогична «методу деления» в индуктивной логике, согласно, которому для явлений может быть произведено полное перечисле­ние возможных объяснений, и что вследствие этого метод experimentum crucis, исключающий все объяснения, кроме одного, доказывает это последнее.

[41] И. Ньютон (1717, стр. 380).

[42] Абель (1826). Его критика, по-видимому, направлена против эйлерова индуктивизма.

[43] Это тоже парафраз из цитированного письма, в котором Абель заботился об устранении исключений из общих «теорем» от­носительно функций и об установлении таким образом абсолютной строгости. Его оригинальный текст (вместе с предыдущей цитатой) таков: «В высшем анализе очень мало предложений доказано с окончательной строгостью. Везде встречаешься с этим несчастным путем заключения от частного к об­щему и можно удивляться, что этот процесс только очень редко приводит к тому, что называется парадоксом. Конечно, очень инте­ресно посмотреть, в чем тут причина. По моему мнению, причина заключается в том, что аналитики большей частью за­нимались функциями, которые могут быть выра­жены степенными рядами. Как только появляют­ся другие функции, что, конечно, встречается очень редко, движение вперед не происходит, так как начинают получаться ложные заключения, следует бесчис­ленное множество ошибок, из которых одна подпирает другую...» (подчеркнуто мной. — Авт.). Пуансо нашел, что в теории многогран­ников, а также в теории чисел индуктивное обобщение «часто» терпит крушение: «В большей части свойства являются индиви­дуальными и не подчиняются какому-нибудь общему закону» (1809, § 45). Интригующая характеристика этой осторожности к индукции заключается в том, что отдельные крушения приписы­ваются тому обстоятельству, что вся совокупность (фактов, чисел, многогранников), конечно, содержит удивительные исключения.

[44] Это опять очень близко подходит к методу Абеля. Таким же путем область «подозрительных» теорем о функциях Абель ограни­чил степенными рядами. В истории догадки Эйлера такое ограни­чение выпуклыми многогранниками было весьма обычным. Лежандр, например, дав свое общее определение многогранников (ср. подстрочное примечание И), предлагает доказательство, которое, с одной стороны, неприменимо ко всем его многогранникам вообще, а с другой, применимо ко многим невыпуклым. Тем не менее в до­полнительном примечании мелким шрифтом (может быть, эта мысль появилась после того, как он натолкнулся па никем ранее не. сформулированное исключение) он скромно, по безопасно отступает к выпуклым многогранникам (1809, стр. 161, 164, 228).

[45] Многих работающих математиков смущает вопрос, чем же являются доказательства, если они не могут доказывать. С одной стороны, они знают из опыта, что доказательства могут быть оши­бочными, а с другой,— по своему догматистскому углублению в док­трину они знают, что подлинные доказательства должны быть безошибочными. Математики-прикладники обычно реша­ют эту дилемму застенчивой, но крепкой верой, что доказательства чистых математиков являются «полными» и что они дей­ствительно доказывают. Чистые математики, однако, знают лучше — они уважают только «полные доказательства», которые да­ются логиками. Если же их спросить, какова же польза или фун­кция их «неполных доказательств», то они большей частью теря­ются. Например, Харди (С. Н. Hardy) имел большое почтение к требованию логиками формальных доказательств, но когда захотел охарактеризовать математическое доказательство, «как мы работаю­щие математики его знаем», то он сделал это следующим образом: «Строго говоря, такой вещи, как математическое доказательство, не существует; все, что мы можем сделать в конце анализа, это только показать:...доказательства представляют то, что Литтльвуд и я на­зываем газом, риторическими завитушками, предназначенными для воздействия па психологию, картинками на доске во время лек­ции, выдумками для стимулирования воображения учеников» (1928, стр. 18). Уайльдер (R. L. Wilder) думает, что доказательство представляет «только процесс испытания, которому мы подвергаем внушения нашей интуиции» (1944, стр. 318). Полья указывает, что доказательства, даже если они неполны, устанавливают связи между математическими фактами и это помогает нам удерживать их в нашей памяти: доказательства дают мнемотехническую систе­му (1945, стр. 190—191).

[46] L. Matthiessen (1863).

[47] Аргументация, что «морской еж» является «в действительно­сти» обыкновенным прозаическим эйлеровым многогранником с 60 треугольными гранями, 90 ребрами и 32 вершинами — «un hexacontaedre sans epithete» — была выставлена крепким бойцом за пра­вильность эйлеровой теоремы Жонкьером (1890а, стр. 115). Однако идея понимания неэйлеровых звездчатых многогранников, как эйлеровых многогранников, состоящих из треугольников, но проис­ходит от Жонкьера, но имеет драматическую историю (см. приме­чание 49).

[48] Ничто не может быть более характерным для догматистской теории познания, как ее теория ошибок. Действительно, если не­которые истины очевидны, то нужно объяснить, каким образом кто-нибудь может в них ошибаться, иными словами, почему истины не бывают для всех очевидными. Каждая догматистская теория позна­ния в соответствии со своей частной теорией ошибок предлагает свою частную терапевтику для очистки мозга от ошибок. [Ср. Поппер (1963), Введение.]

[49] Пуансо наверняка выстирал свои мозги когда-то между 1809 и 1858 годами. Ведь как раз Пуансо снова открыл звездчатые мно­гогранники, впервые проанализировал их с точки зрения эйлеровости и установил, что некоторые из них, вроде нашего малого звезд­чатого додекаэдра, не удовлетворяют формуле Эйлера (1809). И вот этот самый Пуансо категорически утверждает в своей работе (1858), что формула Эйлера «верна не только для выпуклых многогранни­ков, но и для любого какого угодно многогранника, включая и звездчатые». На стр. 67 Пуансо для звездчатых многогранников употребляет термин «polyedres d'espece superieure». Противоречие очевидно. Как его объяснить? Что случилось с контрапримером — звездчатым многогранником? Ключ лежит в первой, невинно выглядящей сентенции статьи: «Всю теорию многогранников можно привести к теории многогранников с треугольными гранями». Ины­ми словами, Пуансо — Альфа после стирки мозгов превратился в Пуансо — Ро; теперь он видит одни лишь треугольники там, где раньше видел звездчатые многоугольники; теперь он видит только примеры там, где раньше видел контрапримеры. Самокритика, должно быть, производилась потихоньку, скрыто, так как в научной традиции не существует образцов для выполнения таких поворотов. Можно только задуматься, встретились ли ему когда-нибудь коль­цеобразные грани, и если да, то сумел ли он сознательно перетол­ковать их своим треугольным зрением.

Изменение зрения не всегда действует в том же самом направ­лении. Например, Беккер (I. С. Becker) в своей работе (1869), ув­леченный новосозданными понятиями одно- и многосвязных обла­стей (Риман, 1851), допускал кольцеобразные многоугольники, но остался слепым по отношению к звездчатым (стр. 66). Через пять лет после этой статьи, в которой претендовал на «окончательное» решение задачи, он расширил свое зрение и снова увидел звездча­то-многоугольные и звездчато-многогранные фигуры там, где рань­ше видел лишь треугольники и треугольные многогранники (1874).

[50] Это часть стоической теории ошибок, приписываемой Хрисиппу [см. Аэций (ок. 150, IV, 12, 4); также Секст Эмпирик (ок. 190, I, 249)]. По теории стоиков «морской еж» составляет часть внешней действительности, которая производит впечатление на нашу душу: это phantasia или visum. «Умный человек не должен допускать не­критического принятия (synkatathesis или adsensus) phantasia, по­ка она не созреет в ясную и определенную идею (phantasia kataleptike или comprehensio), чего она не может сделать, если явля­ется ложной. Совокупность ясных и определенных идей образует науку (episteme). В нашем случае воздействие «морского ежа» на мозг Альфы будет малым звездчатым додекаэдром, а на мозг Ро — треугольным гексакоптаэдром. Ро хочет претендовать на то, что звездчато-многогранное зрение Альфы, вероятно, не сможет созреть в ясную и определенную идею, очевидно, потому, что оно опровергает «доказанную» формулу Эйлера. Таким образом, звездчато-мно­гогранное толкование отпадет, и ясным и определенным станет его «единственная» альтернатива, а именно треугольное толкование.

[51] Это стандартная критика скептиков претензий стоиков, что они могут отличить phantasia от phantasia kataleptike [см, Секст Эмпирик (ок. 190, I, 405)].

[52] Кеплер (1619), кн. II, предложение XXVI.

[53] Это точное изложение взглядов Кеплера.

[54] Я припоминаю, что Поппер различал три уровня понимания. Самый низший — это приятное чувство, что понял аргументацию. Средний уровень — это когда можешь повторить ее. Высший уро­вень — когда можешь опровергнуть ее.

[55] Контрапример 6 был замечен Люилье (1812—1813, стр. 186); Жергонн сразу принял новизну его открытия. Но почти через пятьдесят лет Пуансо не слышал о нем (1858), а Маттисен (1863) и восьмьюдесятью годами позже де Жонкьер (1890 b) рассматривали его как монстр (см. подстрочные примечания 49 и 59). Прими­тивные устранители девятнадцатого века присоединили его к спи­ску других исключений в качестве курьеза: «В качестве первого примера обыкновенно показывают случай трехгранной пирамиды, прикрепленной к грани тетраэдра так, чтобы ни одно ребро первой не совпадало с ребром второй. “Довольно странно, что в этом слу­чае V — Е + F = 3,— вот что написано в моем учебнике для колле­жей. И этим кончилось дело”» [Маттисен (1863, стр. 449)]. Современ­ные математики стремятся забыть о кольцеобразных гранях, которые могут быть несущественными для классификации трубопрово­дов, но могут получить значение в других контекстах. Штейнгауз говорит в своей книге (1960): «Разделим глобус на F стран (мы бу­дем рассматривать моря и океаны как землю). Тогда при лю­бом политическом положении мы будем иметь V+F=E+2» (стр. 273). Но вряд ли можно думать, что Штейнгауз уничтожит Сан-Марино или Западный Берлин просто потому, что их существова­ние опровергает теорему Эйлера. (Конечно, он может избежать то­го, чтобы озера, вроде Байкала, сделались странами, если назовет их озерами, так как он сказал, что только моря и океаны могут быть рассматриваемы как страны.)

[56] «Мемуар Люилье состоит из двух совершенно различных частей. В первой автор предлагает первоначальное доказательство теоремы Эйлера. Во второй он ставит цель указать исключения, ко­торые имеет эта теорема» (Примечание Жергонна-издателя к ста­тье Люилье в книге Люилье (1812—1813, стр. 172). Подчеркнуто мной.— Авт.].

Захариас (Zacharias) в своей работе (1914—1931) дает некри­тическое, но верное описание такого разделения на два помещения: «В XIX столетии геометры, кроме нахождения новых доказательств теоремы Эйлера, занимались установлением исключений, которые эта теорема представляет в некоторых условиях. Такие исключения были, между прочим, установлены Пуансо. Люилье и Гессель по­пытались дать классификацию исключений...» (стр. 1052).

[57] Харди, Литтльвуд, Уайльдер, Полья, по-видимому, упустили это из вида (см. прим. 45).

[58] Этот стандартный образец является по существу единствен­ным описанным в классической книге Полья и Сеге (Szego, 1925, стр. VII): «Должно исследовать каждое доказательство, чтобы убе­диться, действительно ли были использованы все предположения; нужно попытаться получить то же самое следствие из меньшего числа предположений... и удовлетвориться можно только, когда контрапримеры покажут, что границы возможного уже достиг­нуты».

[59] «Спаивание» двух многогранников при помощи скрытых ре­бер было выставлено в качество аргументации Жонкьером (1890, стр. 171—172), который устранение монстров применяет против по­лостей и туннелей, а исправление — против увенчанных кубов и звездчатых многогранников. Первым протагонистом использования исправления монстров в защите теоремы Эйлера был Маттисен (1863). Он последовательно использует исправление монстров; при помощи введения скрытых ребер и граней ему удается «выяснить» всякую неэйлеровость, включая многогранники с туннелями и по­лостями. В то время как у Жонкьера спаивание представляет пол­ную триангуляцию кольцеобразной грани, Маттисен спаивает с эко­номией, проводя лишь минимальное число ребер, превращающих грань в односвязные подграни (рис. 14). Маттисен удивительно уверен в своем методе превращения революционных контрапримеров в хорошо исправленные буржуазные эйлеровы образцы. Он считает, что «всякий многогранник может быть так проанализи­рован, что будет подтверждать теорему Эйлера...». Он перечисляет предполагаемые исключения, отмеченные поверхностным наблюда­телем, и затем утверждает: «В каждом таком случае мы можем по­казать, что многогранник имеет скрытые грани и ребра; если пере­считать их, то они делают теорему V — Е + F = 2 справедливой даже для этих видимых исключительных случаев».

Мысль, что при помощи проведения дополнительных ребер, или граней, некоторые неэйлеровы многогранники могут быть преобра­зованы в эйлеровы, происходит, однако, не от Маттисена, но от Гесселя. Последний иллюстрировал это тремя примерами, исполь­зуя изящные фигуры (1832, стр. 14—15). Но он использовал этот метод не для «исправления», но, наоборот, для «разъяснения исклю­чений», показывая «совершенно аналогичные многогранники, для которых эйлеров закон справедлив».

[60] Эта последняя лемма слишком строга. Для целей доказатель­ства достаточно будет заменить ее такой леммой, что «для полу­чающейся после растягивания и триангулирования плоской тре­угольной сети V — Е + F = 1». Коши, по-видимому, не заметил эту разницу.

[61] В действительности такое доказательство было впервые пред­ложено Рейхардом (Н. Reichardt, 1941, стр. 23), а также Ван дер Варденом (1941). Гильберт и Кон-Фоссен были удовлетворены лишь тем, что истинность утверждения Беты «легко увидеть» (1932, стр. 292 английского перевода).

[62] Polya (1945, стр. 142).

[63] Эта последняя фраза взята из интересной работы Алисы Амброз (Alice Ambrose, 1959, стр. 438).

[64] См. примечание 17. Метафора «застегивания мол­нии» изобретена Брайтвайтом (R. В. Braithwaite); однако он говорит только о «логических» и «теоретико-познавательных» застегивателях молний, но не об «эвристических» (1953, особенно стр. 352).

[65] Устранение монстров в защиту теоремы является очень важ­ным приемом в неформальной математике. «В чем грешат приме­ры, для которых неверна формула Эйлера? Какие геометрические условия, уточняющие значения F, V и Е, могут обеспечить спра­ведливость формулы Эйлера?» [Polya (1954), I, упр. 29]. Цилиндр дается в упражнении 24. Ответ таков: «...ребро...должно заканчи­ваться в углах» (стр. 225)... Полья формирует это вообще: «До­вольно часто встречающееся в математических исследованиях по­ложение заключается в следующем: теорема уже сформулирована, но нам требуется дать более точное определение смысла терминов, употребленных при формулировке, чтобы сделать ее строго дока­занной» (стр. 55).

[66] Локальные, но не глобальные контрапримеры были разоб­раны в гл.3.

[67] Это соответствует парадоксу подтверждения [Гемпель (Hempel, 1945)].

[68] См. подстрочное примечание 61.

[69] См. реплику Альфы

[70] Истинные утверждения, не имеющие содержания (vacuous­ly true), о которых говорит Гамма, представляют большое ново­введение XIX в. Задний план этой проблемы еще не раскрыт.