Вихідні рівняння для формування моделей на макрорівні

Вихідний математичний опис процесів в об'єктах на макрорівні представлено системами звичайних диференціальних і алгебраїчних рівнянь. Аналітичні рішення таких систем при типових значеннях їхніх порядків у практичних задачах одержати не вдається, тому в САПР переважно використовуються алгоритмічні моделі. У цьому параграфі викладений узагальнений підхід до формування алгоритмічних моделей на макрорівні, справедливий для більшості застосувань.

Вихідними для формування математичних моделей об'єктів на макрорівні є компонентні й топологічні рівняння.

Компонентними рівняннями називають рівняння, що описують властивості елементів (компонентів), інакше кажучи, математична модель елемента (ММЕ) представляється компонентними рівняннями.

Топологічні рівняння описують взаємозв'язки в складі системи, що моделюється.

У сукупності компонентні й топологічні рівняння конкретної фізичної системи являють собою вихідну математичну модель системи (ММС).

Очевидно, що компонентні й топологічні рівняння в системах різної фізичної природи відбивають різні фізичні властивості, але можуть мати однаковий формальний вид. Однакова форма запису математичних співвідношень дозволяє говорити про формальні аналогії компонентних і топологічних рівнянь. Такі аналогії існують для механічних поступальних, механічних обертальних, електричних, гідравлічних (пневматичних), теплових об'єктів. Наявність аналогій приводить до практично важливого висновку: значна частина алгоритмів формування й дослідження моделей у САПР виявляється інваріантною й може бути застосована до аналізу проектованих об'єктів у різних предметних областях. Єдність математичного апарата формування ММС особливо зручно при аналізі систем, що складаються з фізично різнорідних підсистем.

У перерахованих вище застосуваннях компонентні рівняння мають вигляд:

(3.1)

топологічні рівняння:

(3.2)

де — вектор фазових змінних, — час.

Розрізняють фазові змінні двох типів, їхні узагальнені найменування — фазові змінні типу потенціалу (наприклад, електрична напруга) і фазові змінні типу потоку (наприклад, електричний струм). Кожне компонентне рівняння характеризує зв'язки між різнотипними фазовими змінними, стосовними до одного компонента (наприклад, закон Ома описує зв'язок між напругою й струмом у резисторі), а топологічне рівняння – зв'язку між однотипними фазовими змінними в різних компонентах.

Моделі можна представляти у вигляді систем рівнянь або в графічній формі, якщо між цими формами встановлена взаємно однозначна відповідність. Як графічна форма часто використають еквівалентні схеми.

Нижче розглянемо приклади компонентних і топологічних рівнянь для різних типів систем.