Постановка задач параметричного програмування

Параметричне програмування являє собою один з розділів математичного програмування, вивчає завдання, в яких цільова функція або обмеження залежать від одного або кількох параметрів.
Необхідність розгляду подібних завдань обумовлена різними причинами. Однією з основних є та, що вихідні дані для чисельного рішення будь-якої реальної задачі оптимізації в більшості випадків визначаються наближено або може змінюватися під впливом якихось чинників, що може істотно позначитися на оптимальності вибираної програми (плану) дій. Відповідно, розумно вказувати не конкретні дані, а діапазон можливої зміни даних, що б в результаті рішення мати найкращі плани для будь-якого варіанту вихідних даних.
З математичної точки зору параметричне програмування виступає як один із засобів аналізу чутливості рішення до варіації вихідних даних, оцінки стійкості рішення.

Зауважимо, що існують різні підходи до подібного аналізу (наприклад, на основі постановки двоїстої задачі). Тут ми, не посилаючись на двоїсті оцінки, розглянемо найпростіші варіанти рішення для самих найпростіших параметричних задач.
Розглянемо задачу параметричного лінійного програмування, в якій тільки коефіцієнти цільової функції лінійно залежать від деякого єдиного параметра λ (часу, температури і т. п.):
Відшукати максимум (або мінімум) функції:

за умов

Якщо звернутися до геометричної інтерпретації задачі, то можна помітити, що вектор-градієнт лінійної форми визначається її параметром. Наприклад, для цільової функції L (х, λ) = λх₁ + (1-λ) х₂ при різних значеннях параметра λ градієнт визначає різні напрямки зростання функції.
Неважко бачити, що, якщо при деякому значенні параметра максимум досягається в вершині A, то невелика варіація цього значення дещо змінить напрямок градієнта, але не змінить положення точки максимуму. Звідси напрошується висновок, що деякий план, оптимальний при λ = λ₀ оптимальний і в околиці λ₀, тобто при α ≤ λ ≤ β де λ₀ [α, β].
Можна помітити, що при градієнті, що став перпендикулярним деякої сторони багатокутника планів, маємо два різних оптимальних опорних плани з одним і тим же значенням лінійної форми, звідки можна стверджувати безперервність екстремуму лінійної форми за λ.

У разі необмеженість безлічі планів можна стверджувати, що якщо лінійна форма не обмежена при λ = λ₀, то вона не обмежена при всіх λ, більших або менших λ₀.
Алгоритм для вирішення завдань параметричного лінійного програмування в разі залежності від параметра коефіцієнтів цільової функції незначно відрізняється від звичайного симплексного методу.
У разі залежності від параметра компонент вектора правих частин обмежень, тобто рішення задачі пошуку екстремуму функції

за умов

Приклад 2.

за умов

Приклад 3.

за умов

Для того щоб вирішити задачу, достатньо вирішити двоїсту задачу до неї, яка має вигляд

за умов

3. Класичні методи розв’язання задач нелінійного програмування.

Загальна задача нелінійного програмування полягає у знаходженні максимального(мінімального) значення функції

Z=f(x₁, x₂,….. x_n) →max/ min (5)

за умов

g_i(x₁, x₂,….. x_n) { ≤=≥}b_i, i=1,2…..m (6)

де всі функції (або їх частина) нелінійні.

Функція f з (5) – цільова функція, а умови g_i з (6) - умовами обмеження.

Сукупність змінних, що задовольняють обмеженням (6) задачі називається допустимим розв’язком або планом. Кожному допустимому розв ’ язкувідповідає певне значення цільової функції.

Допустимий розв ’ язок (план), при якому цільова функція набуває найбільшого (найменшого) значення називається оптимальним планом. Найбільше (найменше) значення функції в допустимій області розв’язків називається глобальним максимумом (мінімумом). Задачі НП розв’язуються значно складніше, ніж задачі ЛП. Для відшукання їх розв’язків немає універсального методу.

Лише для небагатьох типів задач НП розроблені обчислювальні методи їх розв’язання.

Найбільш вивчені задачі з нелінійною цільовою функцією певного виду і лінійними обмеженнями. Для розв’язання таких задач використовується ідея зведення до лінійного вигляду, що допускає застосування симплексного методу. Ще однією особливістю задач НП є наявність точок оптимуму, які можуть бути як граничними, так і внутрішніми точками області допустимих розв’язків.

Як згадувалось вище, найбільш вивченими є задачі з нелінійною цільовою функцією і лінійними обмеженнями, які можна класифікувати таким чином:

- Задачі дробово-лінійного програмування

Z=(∑c_ix_i)/(∑d_ix_i) →max/ min

за умов

∑a_ijx_j =b_i, (i=1,2…..m)

x_j ≥0 (j=1,2…..n)

- Сепарабельна задача НП

f(x₁, x₂,….. x_n) =∑f_i(x_i) →max/ min

за умов

∑a_ijx_j{ ≤=≥}b_i, (i=1,2…..m)

x_j ≥0 (j=1,2…..n)

- Квадратична задача НП

f(x₁, x₂,….. x_n) =∑c_jx_j +∑∑d_jix_ix_j →max/ min

за умов

∑a_ijx_j{ ≤=≥}b_i, (i=1,2…..m)

x_j ≥0 (j=1,2…..n)

- Задача опуклого програмування

Це задача, в якій цільова функція f і функції обмежень g_i є опуклими (вгнутими) функціями. Суттєвим для цих задач є вимога гладкості, тобто функції f і g_i повинні бути неперервними та диференційованими і мати неперервні частинні похідні хоча б до другого порядку включно.

Розглянемо задачу (5), якщо на змінні не накладаються умови обмежень.

Така задача вирішується класичними методами дифереціального числення.

Нехай Z=f(x₁, x₂,….. x_n) неприривно – диференційована функція в своїй області визначення. Необхідною умовою екстремуму в точці Х₀ функції Z=f(x₁, x₂,….. x_n) є рівність нулю градієнта функції Z(X₀)=0.Для функції Z=f(x₁, x₂,….. x_n) запишемо матрицю Гессе:

Н=

яка складається з частинних похідних другого порядку.

Головні мінори матриці Гессе позначимо:

M₁= _‌‌ , M₂= , ………….,M_n=H,

де f_ij= – значення частинної похідної другого порядку функції Z в точці X₀.

Якщо всі головні мінори M₁, M₂, M₃, …… M_n>0, то Х₀ – точка локального мінімуму. Якщо головні мінори почергово міняють знак, починаючи з мінуса, то точка Х₀ – точка локального максимуму. Проаналізувавши всю область допустимих розв’язків, можна виділити серед локальних екстремумів найбільший і найменший, які і будуть глобальними.

Метод множників Лагранжа.

Розглянемо задачу НП з обмеженнями – рівностями:

Z=f(x₁, x₂,….. x_n) →max/ min (7)

за умов

g_i(x₁, x₂,….. x_n)=b_i, i=1,2…..m (8)

в якій f і g_i двічі неперервно диференційовані функції.

Для визначення оптимальних точок цієї задачі, введемо набір змінних λ_i (i=1,2,….m), які називаються множниками Лагранжа, і побудуємо функцію Лагранжа

L(x₁, x₂,….. x_n, λ₁,, λ₂,...., λ_m)= f(x₁, x₂,….. x_n) + ∑ λ_i(b_i - g_i(x₁, x₂,….. x_n)) (9)

Відшукання умовного екстремуму задачі зводиться до знаходження безумовного екстремуму функції Лагранжа (12). Характер оптимальності з’ясовується аналогічно, як і у випадку безумовного екстремуму.

Задачі опуклого програмування.

Означення 1. Функція f(x₁, x₂,….. x_n), що задана на опуклій множені Х, називається опуклою, якщо для будь – яких двох крапок Х₁,Х₂ є Х і довільного µє[0;1] виконується співвідношення:

f(µX₁+(1-µ) X₂) ≤ µ f(X₁) +(1-µ) f(X₂)

Означення 2. Функція f(x₁, x₂,….. x_n), що задана на опуклій множині Х, називається вгнутою, якщо для будь яких двох крапок Х₁,Х₂ є Х і довільного µє[0;1] виконується співвідношення

f(µX₁+(1-µ) X₂) ≥ µ f(X₁) +(1-µ) f(X₂).

Якщо f(x₁, x₂,….. x_n) – опукла, то - f(x₁, x₂,….. x_n) – вгнута.

Загальна постановка задачі опуклого програмування:

Z=f(x₁, x₂,….. x_n) →max (10)

за умов

g_i(x₁, x₂,….. x_n) ≤b_i, i=1,2…..m (11)

x_j ≥0 j=1,2,…..n (12)

де f – вгнута і g_i - опуклі функції

Надалі припустимо, що ОДР задачі (10) – (12) не порожня й обмежена.

Теорема 3. Довільний локальний максимум (мінімум) задачі опуклого програмування є глобальним максимумом (мінімумом).

Означення 3. Говорять, що множина ОДР задовольняє умову регулярності, якщо існує хоча б одна крапка

Означення 4. Говорять, що множина допустимих планів (10) – (12) задовольняє умові регулярності, якщо існує хоча б одна крапка х _i з області допустимих розв’язків така, що g_i(x_i)<b_i (i=1,2,….m).

Означення 5. Крапка (Х^*,Λ^*) називається сідловою крапкою функції Лагранжа, якщо L(Х,Λ^*) ≤L(Х^*,Λ^*)≤L(Х^*,Λ) для всіх x_j ≥0 (j=1,2,…n) і λ_i≥0 (i=1,2,….m).

Теорема 4. (Куна-Такера). Нехай для ОДР задачі опуклого програмування (10) – (12) виконується умова регулярності. План Х^*буде оптимальним планом цієї задачі тоді і тільки тоді, коли існує такий вектор Λ^*, λ_i≥0 (i=1,2,….m), що пара (Х^*,Λ^*) – сідлова крапка функції Лагранжа.

Зазначимо, що умови Куна-Такера мало придатні для знаходження оптимального розв’язку, вони лише характеризують розв’язок, тобто дають можливість перевірити деякий розв’язок на оптимальність.

1. Задачі опуклого програмування.

Розглянемо задачу квадратичного програмування, яка є окремим випадком задач опуклого програмування.

Означення 6. Квадратичною формою відносно змінних x₁, x₂,….. x_n називається функція Z, яка має вигляд Z=∑∑с_jix_ix_j.

Означення 7. Квадратична форма Z називається додатньо (від’ємно) – визначеною, якщо Z(Х)>0 (Z(Х)<0) для всіх значень змінних Х, окрім крапки Х=(0,0,……0).

Означення 8. Квадратична форма Z називається додатньо (від’ємно) – напіввизначеною, якщо Z(Х) ≥0 (Z(Х) ≤0) для будь якого набору значень змінних Х =(x₁, x₂,….. x_n) і, крім того, існує такий набір змінних Х^*, де не всі змінні одночасно рівні нулю, що Z(Х) =0.

Теорема 5. Квадратична форма є опуклою функцією, якщо вона додатньо-напіввизначена.

Постановка задачі квадратичного програмування має вигляд:

Z=∑∑с_jix_ix_j.+ ∑d_jx_j→max/ min (13)

за умов

∑a_ijx_j ≤b_i, (i=1,2…..m),

x_j ≥0 (j=1,2…..n),

де ∑∑с_jix_ix_j - від’ємно (додатньо) – напіввизначена квадратична форма.

Алгоритм знаходження розв’язку задачі квадратичного програмування.

1. Складаємо функцію Лагранжа.

2. Записуємо необхідні і достатні умови існування сідловок точки для функції Лагранжа.

3. Використовуючи метод штучного базису, встановлюємо відсутність сідловок крапки для функції Лагранжа, або знаходимо ії координати.

4. Записуємо оптимальний план початкової задачі й обчислюємо значення цільової функції.

4. Постановка задач теорії ігор з нульовою сумою.

На практиці дуже часто виникають ситуації, коли необхідно приймати рішення в умовах невизначеності, тобто в умовах, коли дві або більш сторін мають на меті різні цілі, но результат для кожної із сторін залежить від дій супротивника. Наприклад, гра в шахи, шашки і т.д. В економіці конфліктні ситуації зустрічаються дуже часто: продавець і покупець, банк і клієнт, постачальник і споживач.

В 1944 році з’явилася математична дисципліна – теорія ігор, основою для якої стала монографія американського економіста Неймана.

Теорія ігор – це теорія математичної моделі конфліктних ситуацій, інтереси гравців котрих різні і кожний з них досягає своєї цілі (мети) різними шляхами.

Результат гри є виграшем для одних і програшем для других.

Означення 1. Модель любої конфліктної ситуації зветься грою.

Означення 2. В процесі гри кожний гравець висуває власну стратегію. Стратегія гравця – сукупність правил, по котрих при кожному ході відбувається вибір певних дій. Цей вибір залежить від сформованих обставин.

Означення 3. гра зветься парною, якщо в ній беруть участь дві сторони.

Означення 4. Кількісна оцінка результатів гри зветься платою.

Означення 5. Парна гра зветься грою з нульовою сумою, якщо програш одного є виграшем іншого.

Означення 6. Стратегія гравця називається оптимальною, якщо при повторенні гри вона забезпечує гравцю максимально можливий середній виграш (або теж само- мінімально можливий середній програш).

Задачі з сідловою точкою. Задачі в чистих стратегіях.

Розглянемо парну гру:

Приклад 1. Задана платіжна матриця А парної гри з нульовою сумою: А= . Знайти ціну гри, сідлову точку гри.

Приклад 2..Задана платіжна матриця А парної гри з нульовою сумою: А= . Знайти верхнью та нижню ціну гри.

Ігри в мішаних стратегіях. Основна теорема теорії ігор.

Якщо немає сідловок точки, то гра ведеться в мішаних стратегіях, тобто розглядається не вибір можливої стратегії, а ймовірність з котрою обирається ця стратегія. Мішана стратегія визначається сукупністю ймовірностей різних стратегій.

Нехай гравець А для визначення своєї мішаної стратегії використав метод випадкового вибіру.

Нехай х₁ – ймовірність вибору 1-ої стратегії;

х₂ - ймовірність вибору 2-ої стратегії;

…………………………………………………

x_m - ймовірність вибору m-ої стратегії.

Означення 1. Мішаною стратегією гравця А називається упорядкований набір m чисел х₁, х₂, ….., x_m, які задовольняють умовам: 0≤x_i≤1, i= =1.

Мішані стратегії гравців А та В позначають =(x₁,x₂, …, x_m), =(y₁,y₂,…,y_n).

Всяка матрична гра з нульовою сумою має оптимальне рішення в мішаних стратегіях, при цьому відхилятися гравцям від цих стратегій не вигідно.

Теорема. О методі знаходження рішення.

Для того, щоб число ν було ціною гри, а Х^* та Y^* - оптимальними стратегіями, необхідно та достатньо, щоб виконувались умови:

j=

i=

Визначення оптимальних стратегій та ціни гри створюють процес знаходження рішення гри.

Теорема 2. Якщо один з гравців використовує мішану оптимальну стратегію, то його виграш дорівнює ціні гри ν незалежно від того, з якими частотами буде використовувати другий гравець стратегії, які вийшли до оптимальної стратегії(в тому числі і чисті стратегії).

Розглянемо гру з платіжною матрицею 2х2: A= .

Якщо сідлової точки нема, рішення гри є мішані стратегії =(х₁,х₂) та =(y₁,y₂) стратегії гравців А та В, для котрих ймовірністі x_i y_i відмінні від нуля, звуться активними.

Стратегію гравця А шукаємо по формулі ХА= , де Х=(х₁,х₂), =(ν, ν).

До даної системи рівнянь додаємо норміровочне рівняння х₁+х₂=1.

Для гравця В:

де Y= , = .

Розв’язавши систему рівнянь знайдемо оптимальні стратегії гравців та ціну гри ν.

Наслідок. Для того, щоб х^*, була оптимальною мішаною стратегією матричнох гри з матрицею А та ціною гри ν, необхідно та достатньо, щоб виконувались наступні нерівності:

j=

Аналогічно для гравця В: Для того, щоб у^* була оптимальною мішаною стратегією матричної гри з матрицею А та ціною гри ν, необхідно та достатньо, щоб виконувались наступні нерівності:

i=

Таким чином, для розв’язування гри необхідно визначити стратегії, що задовольняють вишенаведані системи обмежень та умови нормування:

0, =1, i= , , =1, j= .

Цей наслідок дозволяє сформулювати для розв’язання гри пару задач лінійного програмування.

Зведення задач теорії ігор до задач ЛП.

Якщо один з гравців застосовує свою оптимальну стратегію х^*, то інший не може покращити своє становище, тобто для оптимальної стратегії справедливі співвідношення:

j= , x_i≥0, =1, i= за умов ν→Мах.

Перетворимо цю задачу, здійснивши підстановку p_i= , і отримаємо

→Min,тому що ν→Мах.

Таким чином, маємо задачу ЛП, розв’язуючи яку, отримаємо значення p_i, за допомогою яких шляхом оберної підстановки визначимо оптимальні значення ймовірностей, що складають оптимальну мішану стратегію.

А здійснивши підстановку q_j= і враховуючи, що гравець В прагне мінімізувати програш, отримаємо пару двоїстих задач ЛП, розв’язання яких дозволить визначити оптимальні стратегії гравців А та В:

.

Таким чином, процедура розв’язування гри двох осіб є наступною:

1. Розраховуємо нижню та верхню ціну гри; якщо вони рівні між собою, то гра розв’язана.

2. Спрощуємо гру шляхом виключення домінованих стратегій.

3. Формулюємо пару задач ЛП, розв’язавши одну з яких, встановлюємо оптимальну мішану стратегію одного з гравців (зручніше гравця В).

4. За розв’язком прямої задачі знаходимо розвязок двоїстої задачі.

5. Шляхом оберненої підстановки визначемо оптимальні стратегії для спрощеної гри та доповнюємо їх домінованими чистими стратегіями з ймовірністю використання, що рівні нулю.

5.Кількісні методи оцінки ризику. Статистичні ігри.

Для прийняття рішення потрібно знати величину (ступінь) ризику, що вимірюється двома критеріями:

1.середне очікуване значення МХ= ΣР_i х_i

2. коливання (мінливість) можливого результату σ(х)= D^1/2(x)=(MX²- (Mx)²)^1/2

Приклад. Якщо відомо, що при вкладенні капіталу у захід А із 120 випадків прибуток у 12,5 тис. був отриманий 48 випадках (ймовірність 0,4=48/120), прибуток у 20 тис. у 42 випадках (ймовірність 0,35=42/120), і прибуток у 12 тис. у 30 випадках (ймовірність 0,25=30/120), то середне очікуване значення виразиться в 15тис.

МХ= ΣР_i х_i= 15.

Аналогічно буде знайдено, що при вкладенні капіталу в захід В середній прибуток становив 20 тис. (15х0,3+20х0,5+27,5х0,2=20).

Порівнюючи дві суми очікуваного прибутку при вкладенні капіталу у заходи А і В можна зробити висновки,що при вкладенні в захід А величина прибутку коливається від 12,5 до 20 тис. і середня величина становить 15 тис.

При вкладенні капіталу у захід В величина одержаного прибутку коливається від 15 тис. до 27,5 тис. і середня величина становить 20 тис.

Однак, для прийняття рішення необхідно так само виміряти коливання показників, тобто визначити міру мінливості можливого результату.

Коливання можливого результату являє собою ступінь відхилення очікуваного значення від середньої величини.

Для цього на практиці звичайно застосовують σ(х).

Коефіцієнт варіації γ=(σ/М)х100%.

Коефіцієнт варіації відносна величина. Чим більше коефіцієнт, тим сильніше коливання.

В економічній статистиці встановлена така оцінка різних значень коефіцієнта варіації:

до 10% - слабке коливання;

10-25% - помірне коливання;

понад 25% - високе коливання.

Розглянемо як ілюстрацію вибір певною особою одного з двох вариантів інвестицій в умовах ризику.

Можливі такі випадки:

- M_a=M_b, σ_a< σ_b, слід обрати проект А

- M_a>M_b, σ_a< σ_b, слід обрати проект А

- M_a>M_b, σ_a= σ_b, слід обрати проект А

- M_a>M_b, σ_a> σ_b

- M_a<M_b, σ_a< σ_b.

В останніх двох випадках рішення про вибір проекту А чи в залежатиме від становлення до ризику, особи яка приймає рішення (ОПР).

Що стосується моделювання ризику, то тут використовується кілька класів математичних моделей і методів, зокрема: лінійне програмування; стохастичне програмування; теорія ігор; теорія нечітких множин і т.п.

Означення 1. Статистична гра – це матрична гра, один із гравців якої є природа.

Дії природи не носять характер свідомості проти водії. Природа розглядається як деяка незацікавлена сторона, стан якої заздалегідь невідомий. Гравцю необхідно прийняти рішення в умовах невизначеності. Ця невизначеність обумовлена відсутністю інформації о можливих станах природи. Аналіз статичної гри починається з формування платіжної матриці, в котрій з одного боку гравець А виступає як активна сторона, а гравцем В є природа. Тоді елемент платіжної матриці a_ij – це виграш гравця А при використанні їм стратегії A_i, коли природа знаходиться в стані S_j.

Задача аналізу статистичної гри полягає у тому, щоб вибрати таку стратегію, котра забезпечила би максимальний виграш гравцю А.

В деяких випадках від матриці виграшем слід переходити до матриці ризиків.

Означення 2. Ризик r_ij гравця А при використанні стратегії A_j, при умовах знаходження природи у стані S_j є різниця між виграшем котрий він би отримав якби він знав стан природи S_j та виграшем, котрий він отримає застосувавши стратегію A_j в умовах відсутності інформації о стані природи:

r_ij = β_j- a_ij, r_ij≥0,

де β_j=max a_ij

_{1 ≤i≤m}

Матриця ризиків дає більш наглядову картину невизначеності ситуації, так як із матриці ризиків R=(r_ij) видно, чим ризикує гравець А прийнявши ту чи іншу стратегію. Інакше, величина ризику – це розмір платні за відсутність інформації о стані природи.

Можливі три ступені невизначеності стану природи:

1. Задані q_j (j=1,2,3,….,n) ймовірності знаходження природи в кожному стані

2. Ймовірності станів природи q_j невідомі, однак можливо зробити припущення відносно іх значень.

3. Ймовірності q_j невідомі і зробити припущення відносно іх розподілу немає можливості.

Випадок 1. Рішення гравцем А приймається виходячі з принципу оптимальності у середньому. В якості оптимальної стратегії гравець А повинен вибрати таку стратегію, яка забеспечує йому максимальний середній виграш або мінімальний середній ризик:

S_ср=max () – максимальний середній виграш (1)

R_ср=min() – мінімальний середній ризик (2)

Умова (1) еквівалентна умові (2).

Випадок 2. Включає три підходи.

1 підхід. Всі стани рівно ймовірні q₁ = q₂ = q₃ = q₄= …… =q_n

2 підхід. Всі стани природи розподіляються в порядку убутній степені правдоподібності. Таким чином получаємо ряд із станів, а потім цьому ряду ставиться в відповідності убутна послідовність чисел.

Наприклад, можна назначити ймовірності станів природи пропорційно членам убутної арифметичної послідовності: q_j = , де n – максимальний індекс стану.

3 підхід.. Для зниження впливу суб’єктивності при призначенні ймовірностей прибігають до методів експертної оцінки.

Випадок 3. При прийнятті рішення приходиться обмежитись інформацією, яка міститься у матриці виграшу. При виборі оптимальної стратегії виходять з того, що прагнуть отримати гарантований виграш.

Дамо декілька критеріїв оптимальності при виборі стратегії: максімакса, максимальний критерій Вальда, критерій мінімального ризику Севіджа, компромісний критерій Гурвіца.

Критерій максімакса:

: W()= maxmax a_ij

A_i S_j

Це критерій крайнього оптимізму.

Критерій Вальда:

: W()= maxmin a_ij

A_i S_j

Це критерій крайнього песимізму.

Критерій мінімального ризику Севіджа:

: R()= minmax a_ij

A_i S_j

Критерій Севіджа, як і критерій Вальда – критерій крайнього песимізму. Однак, при використанні цього критерію песиміз проявляється в тому, що понижується не мінімальний виграш, а максимальна втрата виграшу.

Критерій песимізму – оптимізму Гурвіца:

: H()= max{αmin a_ij + (1-α)max a_ij},

A_i S_j S_j

де 0≤α≤1. α- вибирається суб’єктивно в залежності від лиця, що приймає рішення (від його відношення до ризику). Чим блище α до 1, тим менший ризик, тобто α – міра песимізму.

При α=1 критерій Гурвіца співпадає з критерієм Вальда, при α=0 з критерієм крайнього оптимізму.

Вибір критерію базується на суб’єктивних оцінках. Перед прийняттям рішення необхідно проаналізувати статистичну гру по кількох критеріях. Якщо рекомендації по різних критеріях співпадають, то можна впевнено приймати рішення. У протилежному випадку по різних критеріях необхідно більш детальніше проаналізувати становище.

Питання для самоконтролю.

· Сформулюйте задачу цілочисельного програмування.

· Напішить рівняння Гоморі.

· Сформулюйте загальну задачу НП.

· Сформулюйте задачу сепарабельного програмування.

· Сформулюйте задачу квадратичного програмування.

· Сформулюйте задачу опуклого програмування.

· Поясніть метод множників Лагранжа.

· Сформулюйте означення сідловок точки функції Лагранжа.

· Сформулюйте теорему Куна-Такера.

· Сформулюйте означення додатньо-визначеної квадратичної форми.

· Сформулюйте означення додатньо-напіввизначеної квадратичної форми.

· Сформулюйте параметричну задачу, параметр якої присутній у функції цілі.

· Сформулюйте параметричну задачу, параметр якої присутній у системі обмежень.

· Вкажіть на взаємозв’язок параметричної задачі та стійкості рішень задачі ЛП.

· Вкажіть взаємозв’язок параметричної задачі на чутливість рішень задачі ЛП.

· Дайте визначення гри двох осіб з нульовою сумою.

· Дайте визначення сідловок точки.

· Дайте визначення середнього виграшу.

· Що таке чиста стратегія?

· що таке мішана стратегія?

· Що таке домінована стратегія?

· Сформулюйте основну теорему теорії ігор для двох осіб.

· Як звести задачу теорії ігор до задачі ЛП?

· В чому полягає ситуація невизначеності?

· В чому полягае ситуація ризику?

· Дайте означення економічного ризику.

· Дайте класифікацію ризиків.

· Дайте означення статистичної гри.

· Сформулюйте критерій максіміна.

· Сформулюйте критерій Вальда.

· Сформулюйте критерій мінімального ризику Севіджа.

· Сформулюйте критерій песимізму – оптимізму Гурвіца.