Лекция 6. Математическая статистика

Лекция 6. Математическая статистика

План лекции

6.1. Основные понятия математической статистики

6.2. Точечные оценки параметров

6.3. Примеры некоторых распределений

6.1. Основные понятия математической статистики

Математическая статистика – это раздел математики, посвящённый анализу статистических данных самой разнообразной природы. Есть определённая связь математической статистики с теорией вероятностей, которая не случайно изучается раньше. В теории вероятностей имеют дело с вероятностями случайных событий, а также со случайными величинами и их характеристиками. При этом предполагается, что интересующие нас вероятности либо известны, либо их можно рассчитать. Но в практических задачах положение иное. Во время проведения опытов фиксируются конкретные значения случайной величины, по которым затем нужно определить её числовые характеристики и закон распределения вероятностей. Особенностью задачи в подавляющем числе случаев является невозможность обследовать все объекты наблюдения, а значит, имея в наличие только ограниченное количество измерений, нам необходимо сделать вывод о поведении всей совокупности объектов.

Всё множество исследуемых объектов называется генеральной совокупностью. Число объектов называется объёмом генеральной совокупности. Объём генеральной совокупности является конечным в отличие от теоретических рассмотрений, где он предполагается бесконечным.

Множество случайным образом отобранных объектов исследования называется выборочной совокупностью или выборкой, а число объектов в выборке – её объёмом. Произведённая выборка должна достаточно полно отражать свойства всех объектов генеральной совокупности. Особенно это важно, когда генеральная совокупность имеет некоторую неоднородность объектов. Такое требование к выборке формулируется так: выборка должна быть репрезентативной (представительной). Репрезентативность выборки обеспечивается случайностью отбора при одинаковой вероятности любого объекта попасть в выборку.

Проиллюстрируем это понятие на примере. Допустим, что население города составляет 100 000 человек, среди которых 60% - бедняки, 30% - средний класс, а остальные - богачи. Требуется оценить среднегодовой доход на душу населения. Поскольку нет ни финансовых, ни физических возможностей опросить всех жителей города, то решили сделать выборку из 1000 человек, и по результатам опроса оценить среднегодовой доход. Чтобы выборка была репрезентативной, следует случайным образом выбрать для опроса приблизительно 600 бедняков, 300 человек со средним достатком и 100 богачей. Только в этом случае среднее арифметическое их годовых доходов будет хорошей оценкой среднегодового дохода жителей этого города.

Теперь перейдем к формальной стороне математической статистики, которая, как уже говорилось, определяется как раздел математики, посвящённый математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов вне зависимости от природы изучаемых объектов.

Пусть имеется генеральная совокупность случайной величины Х (в приведённом выше примере - индивидуальные доходы 100 000 горожан), функция распределения F(x) которой нам неизвестна, либо известна с точностью до нескольких параметров. Тогда выборкой объёма n будет являться случайный n - мерный вектор, имеющий “координаты” { х₁, х₂,..., х_n } (в примере – доходы случайным образом отобранных n горожан). Ставится задача: по имеющейся выборке оценить основные числовые характеристики случайной величины Х (математическое ожидание, дисперсию) или сделать вывод о виде функции распределения.

Поскольку выборка случайна, то координаты n - мерного вектора х_i неупорядочены, т.е., во-первых, среди них могут встретиться одинаковые величины (равные доходы), а во-вторых, может выполняться любое из неравенств: х_i+1 > > x_i или х_i+1 < x_i. Для удобства работы с выборкой значения x_i переставляют так, чтобы выполнялись нестрогие неравенства: х₁ £ х₂ £ х₃ £ ... £ х_n. Такая перестановка не приведет ни к потере информации, ни к её приобретению (просто опрос тех же горожан проводился бы в ином порядке).

Некоторые значения в выборке могут совпадать. Допустим, всего имеется k (1 £ k £ n) разных и расположенных в порядке возрастания значений ; их называют вариантами, а такую последовательность чисел – вариационным рядом. Разность - между наибольшим и наименьшим значениями выборки называют размахом выборки. Допустим, значение повторяется n_i раз (1 £ i £ k) при соблюдении равенства . Величину n_i называют частотой варианты , а отношение n_i / n относительной частотой W_i. Легко убедиться, что сумма относительных частот равна единице: .

Данные вариационного ряда заносим в таблицу, верхнюю строку которой заполним вариантами , ,..., , а нижнюю - соответствующими относительными частотами . Такая таблица называется таблицей статистического распределения выборки или просто статистической таблицей. Статистическая таблица в случае отсутствия повторяющихся значений в вариационном ряду имеет вид табл. 6.1, а для выборки с повторяющимися значениями - табл. 6.2.

…

W_i 1/n 1/n 1/n … 1/n 1/n

Табл. 6.1

…

W_i …

Табл.6.2

Заметим, что таблицу статистического распределения выборки можно считать таблицей распределения некоторой гипотетической случайной дискретной величины, принимающей значения , ,..., с вероятностями . В силу этой аналогии можно по тем же формулам, которые использовались для дискретного распределения в теории вероятностей, по известному эмпирическому распределению найти выборочные аналоги математического ожидания, дисперсии и эмпирической функции распределения.

Если объём выборки из генеральной совокупности некоторой случайной непрерывной величины велик, то прибегают к предварительной группировке данных: интервал значений этой величины разбивают на k интервалов (при этом их длины не обязательно должны быть одинаковы). При выборе количества интервалов руководствуются формулой k = log₂ n + 1. Подсчитывают, сколько значений n₁, n₂,..., n_k попало в каждый из k интервалов (n₁ + n₂ +... + n_k = = n). Вариантами для группированной выборки считают середины этих интервалов , ,..., . Эти данные заносят в статистическую таблицу распределения выборки (табл. 6.2).

Для наглядного представления статистического распределения пользуются графическими изображениями вариационных рядов: полигоном (для случайной дискретной величины) и гистограммой (для непрерывной). Полигон получают, соединяя отрезками прямых точки с координатами (, ), i = 1 ,..., k. Он является аналогом многоугольника распределения случайной дискретной величины в теории вероятностей. Гистограмма - это ряд прямоугольников, основаниями которых являются отрезки длиной - , а их высоты равны . При таком выборе сторон прямоугольников достигается равенство единице площади всей этой ступенчатой фигуры. Гистограмма является аналогом плотности вероятностей случайной непрерывной величины. Примеры полигона и гистограммы приведены соответственно на рис. 5.1 и 5.2.

W_i

x₁x₂x₃x₄х₅x₆x₇ x

Рис. 6.1

W_i

Рис. 6.2

Рассматривая эти графики, можно высказать предположение, что в первом случае случайная величина имеет равномерное распределение, а во втором - нормальное. Оценка правомерности этих гипотез составляет отдельную главу математической статистики.

П р и м е р № 1. На приёмных экзаменах случайная выборка среди абитуриентов дала следующие набранные ими баллы: 12. 11, 12, 10, 10, 9, 14, 12, 13, 10, 11, 11, 15, 9, 12, 12, 11, 9, 9, 10, 11, 11, 14, 13, 9, 11, 12, 9, 11, 13. Построить для данной выборки вариационный ряд, полигон и эмпирическую функцию распределения, найти моду и медиану.

Р е ш е н и е. Расположим данные выборки в порядке их возрастания, или другими словами, составим вариационный ряд: 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 1, 13, 13, 14, 14, 15. Числа являются вариантами с числом повторений соответственно n₁ = 6, n₂ = 4, n₃ = 8, n₄ = 6, n₅ = 3, n₆ = 2, n₇ = 1. Объём выборки равен n = . Данные занесём в статистическую таблицу распределения выборки (табл. 6.3).

W_i 6/30 4/30 8/30 6/30 3/30 2/30 1/30

Табл. 6.3

Построим полигон выборочного распределения (рис. 6.3).

W_i

… x

0 1 8 9 10 11 12 13 14 15

Рис. 6.3

Модой распределения М_о является варианта 11, для которой относительная частота наибольшая. Медиана М_е вычисляется по формуле:

М_е = .

0,5

....

0 1 8 9 10 11 12 13 14 15 x

Рис. 6.4

Эмпирическая функция распределения (рис. 6.4), соответствующая полученной статистической таблице распределения, строится по той же методике, что и в теории вероятностей. Она имеет ступенчатый вид: в точках (i = 1, 2,..., 7) имеются ”скачки” величиной W_i, причём = 0 для x < и = 1 для x > .

П р и м е р № 2. Измерения толщины (в мм) слюдяных прокладок дали следующие результаты: 0,042; 0,030; 0,039; 0,031; 0,042; 0,034; 0,036; 0,030; 0,033; 0,024; 0,031; 0,040; 0,031; 0,033; 0,031; 0,022; 0,031; 0,034; 0,027; 0,032; 0,048; 0,030; 0,026; 0,031; 0,043; 0,030; 0,033; 0,028; 0,028; 0,032; 0,039; 0,031; 0,034; 0,031; 0,035; 0,037; 0,025; 0,029; 0,027; 0,031; 0,028; 0,030; 0,029; 0,045; 0,033; 0.046; 0,036; 0,049; 0,021; 0,037. Построить гистограмму.

Р е ш е н и е. Объём выборки равен n = 50. Сгруппируем данные в интервалы, число которых найдём по формуле: k = log ₂50 + 1 = 6,6. Округлим это число до ближайшего целого, превышающего полученное: k = 7. Поскольку размах выборки равен x_max – x_min = 0,049 – 0,021 = 0,028 мм, то каждый из интервалов составляет 0,004 мм. Посчитаем, сколько измеренных значений попало в соответствующие интервалы, и составим статистическую таблицу распределения группированных данных (табл. 6.4), дополнив её необходимой для построения гистограммы строкой, содержащей значения (по условию Dx = 0,004).

Заметим, что объем выборки .

В качестве вариант возьмём середины промежутков:

Dх_i [0.021- 0.025) [0.025-0.029) [0.029-0.033) [0.033-0.037) [0.037-0.041) [0.041-0.045) [0.045-0.049]

W_i 3/50 7/50 18/50 10/50 5/50 3/50 4/50

W_i/Dx

Табл. 6.4

W_i /Dx

0,021 0,025 … 0,049 х

Рис. 6.5

Гистограмма, соответствующая полученной статистической таблице, изображена на рис. 6.5. Она является аналогом плотности вероятности случайной непрерывной величины Х - толщины слюдяной прокладки.

6.2. Точечные оценки параметров

Пусть имеется выборка (x₁, x₂,..., x_n) из некоторой генеральной совокупности. Записав некое математическое выражение, содержащее эти значения, получим функцию выборки Z_n (x₁, x₂,..., x_n), которая сама будет случайной величиной в силу того, что в выборку отбираются случайные элементы из генеральной совокупности. Например, можно рассмотреть среднее арифметическое значение выборки (аналог математического ожидания в теории вероятностей), которое называется выборочным средним: (x₁+ x₂+...+ x_n) / n. Разброс же значений в выборке можно характеризовать исправленной выборочной дисперсией: .

Задача оценки неизвестного параметра l (например, М(Х) или D(Х)), который как-либо связан с генеральной совокупностью, порождённой функцией распределения случайной величины Х, на основании полученной выборки (х₁, х₂,..., х_n), означает следующее. Надо задать (придумать!) такую функцию выборки Z_n, реализация которой Z_n = Z (х₁, х₂,..., х_n) в некотором смысле могла бы рассматриваться как «хорошее» приближенное значение параметра l, т.е. должно выполняться условие l» Z_n.

Такая функция выборки Z_n = Z (х₁, х₂,..., х_n) называется точечной оценкой параметра l. Реализовавшееся значение функции выборки Z_n будем называть выборочным (или эмпирическим) значением параметра l.

Точечная оценка Z_n = Z (х₁, х₂,..., х_n) параметра l называется несмещенной, если М (Z_n) = l.

Точечная оценка Z_n параметра l называется состоятельной, если Р (| Z_n - l| < e) ® 1, при n ® ¥, где e - сколь угодно малое положительное число. То есть состоятельность оценки означает, что при очень большой выборке и сколь угодно малом e > 0, вероятность события (| Z_n - l| < e) сколь угодно близка к 1.

Нас будут интересовать оценки Р (Х = А) - вероятности события А, математического ожидания М(Х), дисперсии D(Х) и коэффициента корреляции G_xy. Основные требования, предъявляемые к их оценкам, состоят в несмещённости и состоятельности.

Мы будем использовать следующие оценки четырех, перечисленных выше параметров М (Х), D(Х), Р(Х = А), G _ху:

1) - выборочное среднее;

2) - исправленная выборочная дисперсия;

3) - частота события А, где , если событие А произошло в i - ом опыте, и , если оно не произошло. Величину можно рассматривать как оценку вероятности Р в схеме испытаний Бернулли.

Если в генеральной совокупности содержится две интересующие нас случайные величины Х и Y, то выборка объема n состоит из последовательности пар В этом случае оценка коэффициента корреляции случайных величин Х и Y производится по формуле:

где

Можно доказать, что приведенные выше оценки являются несмещёнными и состоятельными точечными оценками.

Приведенные формулы для вычисления соответствуют не группированным выборкам. Если проведена группировка выборки объема n и получена статистическая таблица в виде табл. 6.2, то расчет проводят по формулам:

З а м е ч а н и е. На практике часто пользуются для оценки дисперсии D (X) выборочной дисперсией . Но оказывается оценкой смещённой, т.е. М () ¹ D (X). При больших значениях n значения исправленной выборочной дисперсии и выборочной дисперсии практически совпадают . Поэтому при небольших объемах выборки лучше использовать оценку , которую получают по формуле . А про точечную оценку можно сказать, что она является несмещенной только асимптотически (при n >> 1).

З а д а ч а. Вернёмся к выборке для толщины слюдяных прокладок, приведенной в примере № 2 п.6.1. Необходимо найти оценки параметров М (Х), D (Х) и - математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения для толщины слюдяной прокладки.

Р е ш е н и е. Вначале вычисляем выборочное среднее:

= (0,023 × 3 + 0,027 × 7 + 0,031 × 18 + 0,035 × 10 + 0,039 × 5 + 0,043 × 3 + 0,047 × 4)/50 =

= 0,03356 мм.

Теперь находим выборочную дисперсию: =

= (0,023² × 3 + 0,027² × 7 + 0,031² × 18 + 0,035² × 10 + 0,039² × 5 + 0.043² × 3 +

+ 0,047² × 4) / 50 – 0,03356² = 3,82464 × 10^-5 мм ².

Исправленная выборочная дисперсия легко находится:

= × 3,82464 × 10^-5 = 3,9027 × 10^{-5 мм 2}.

Выборочное среднеквадратическое отклонение толщины прокладки равно

Из-за того, что в группированной выборке участвуют уже только середины интервалов разбиения, группировка выборки приводит к некоторой потере информации, содержащейся в исходной выборке. Поэтому, исходя из опыта, объем выборки n берут достаточно большим (не менее нескольких десятков), а число интервалов разбиения k – в пределах от 5 до 15. В этом случае разница в оценках параметров распределения, полученных по группированной и не группированной выборкам, оказывается незначительной. Так, в только что рассмотренном примере оценки М (Х) и s, вычисленные по группированной выборке, оказались равными: А если выборку не группировать, то для оценок М (Х) и s получатся соответственно значения 0,0331 мм и 6,25 мк, что весьма незначительно отличается от значений оценок по группированной выборке.

З а м е ч а н и е. В случае малых или, наоборот, больших значений для упрощения вычисления полезно использовать формулу, позволяющую оперировать с привычными числами:

где числа C ₁ и C выбираются, исходя из удобств вычислений.

Например, вычисление в предыдущем примере проще осуществить по формуле: .

В заключение отметим, что возможность вычисления значений предусмотрена в “инженерных” и “научных” калькуляторах.

6.3. Примеры некоторых распределений

В лекции 2 описано нормальное распределение случайной непрерывной величины. Плотность вероятности нормального распределения величины Х, имеющей математическое ожидание М (Х) = а и дисперсию D (Х) = s² имеет вид

Множество нормально распределенных случайных величин с параметрами а и s² обозначается N (а, s²). В теории вероятностей доказывается, что сумма нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение. Поэтому случайная величина , где - независимые случайные величины, будет нормально распределена с параметрами а и . Иными словами,

З а м е ч а н и е. Равенства были получены в конце п. 6.3 (задача № 2).

Пусть (х₁, х₂,..., х_n) - математическая выборка из генеральной совокупности, порожденной распределением или из генеральной совокупности, образованной независимыми случайными величинами с математическим ожиданием а и дисперсией . Тогда можно доказать несколько следующих утверждений.

1. Случайная величина имеет стандартизированное нормальное распределение N (0; 1) или асимптотически стандартизированное нормальное распределение, плотность вероятности которого .

В п. 2.6.2.2 было показано, что если x > 0, то , где - функция Лапласа. Для любого имеем

Заметим, что функция - чётная: , а функция Лапласа – нечётная: .

Таблицы значений функций и для x > 0 приводятся в Приложении (табл. 1 и 2).

2. Рассмотрим схему испытаний Бернулли, где в каждом из n опытов событие А реализуется с вероятностью р. Введём случайные величины: х_i = 1, если в i -ом опыте произошло событие А, и х_i = 0, если в i -ом опыте событие А не произошло. Образуем случайную величину .

Доказывается, что случайная величина имеет асимптотически стандартизированное распределение, т.е. при достаточно большом числе опытов .

3. Случайная величина , где , называется отношением Стьюдента с (n - 1) степенью свободы. Поясним последнее обстоятельство. Величина Т зависит от случайных величин (в силу того, что ) и S, т.е. Т зависит от (n + 1) случайной величины. Но среди этих случайных величин есть две функциональные связи: и . Поэтому независимых случайных величин, участвующих в формировании случайной величины Т, будет , что и является её числом степеней свободы.

Заметим, что в теории вероятностей доказывается, что и S - независимые случайные величины.

Обозначим плотность вероятности случайной величины Т с степенями свободы через . Распределение величины Т называется распределением Стьюдента с k степенями свободы. Известно, что эта плотность вероятности – функция чётная: , а также, что .

Таблицы при заданных значениях m, g, a для определения значений x > 0, удовлетворяющих равенствам

и ,

приводятся в Приложении (табл.4).

4. Случайная величина имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы m = n - 2, если . Здесь - коэффициент корреляции случайных величин X и Y, а - его выборочное значение, равное .

5. Случайная величина имеет распределениехи-квадрат с m = n - 1 степенью свободы. Обозначим плотность вероятности величины c² как . Тогда для x > 0 имеем

Если , то вероятность случайной величине принять значение между х ₁ и х ₂ равна

Таблица при заданных параметрах m = n – 1, 0 < a < 1 для значений х, удовлетворяющих равенству , приводится в Приложении (табл. 5).

Математическое ожидание и дисперсия для хи-квадрат распределения равны ; мода распределения, т.е. значение варианты, для которой плотность вероятности максимальна, равна x_о = m – 2.

Таблицы для определения х, удовлетворяющего уравнению , обычно приводятся для числа степеней свободы m в диапазоне: . Если же m > 30, то используется тот факт, что случайная величина распределена асимптотически нормально, т.е. Î , m >> 1. Это позволяет получить приближенное решение уравнения в виде , где K_a - квантиль порядка a нормального стандартизированного распределения (квантиль порядка a случайной величины Х определяется как корень уравнения F (K _a) = , что нормальной случайной величины выглядит так: , где - функция Лапласа). Если величина a близка к 0 или 1, то следует пользоваться приближением .

З а д а ч а № 1. Найти значение х, удовлетворяющее уравнению

, где m = 100, a = 0,01.

Р е ш е н и е. Т.к. число степеней свободы m = 100 > 30, то использовать табл. 5 нельзя. Воспользуемся формулой , где К _a - корень уравнения , т.е. . По табл. 2 значений функции Лапласа Ф (х) получим: (- К_a) = 2,33, т.е. К _a = -2,33. Затем вычисляем .

Если же воспользоваться формулой , то получим . Т.е. оба приближения дают практически одинаковые значения х: 69,3 и 70.

З а д а ч а № 2. В предыдущем примере возьмём a = 0,001 и найдём х.

Р е ш е н и е. Значение х следующее: , где величина К _a удовлетворяет уравнению . По табл.2 находим: (- К_a) = 3,08, т.е. К_a = - 3,08, и поэтому

	Главная \| Случайная страница \| Контакты \| Мы поможем в написании вашей работы!

Dх_i	[0.021- 0.025)	[0.025-0.029)	[0.029-0.033)	[0.033-0.037)	[0.037-0.041)	[0.041-0.045)	[0.045-0.049]
W_i	3/50	7/50	18/50	10/50	5/50	3/50	4/50
W_i/Dx