Графический способ

Общая задача (I)-(III) содержит 2 неизвестных, поэтому может быть решена графически.

Введем систему декартовых координат на плоскости x₁Ox₂и построим множество планов задача (I)-(III). Каждое линейное неравенство системы определяет полуплоскость по одну сторону от граничной прямой, заданной соответствующим равенством. Множество планов задачи есть пересечение полуплоскостей, представляющих собой выпуклый многоугольник.

Построим каждую из граничных прямых:

Определим направление полуплоскостей: так как каждое из неравенств (I) содержит точку О(0,0):

Поэтому полуплоскости обращены к началу координат. Так как, то множество планов задачи (I)-(III) представляет собой пересечение трех полуплоскостей, попавшее в I-ую координатную четверть, т.е многоугольник.

Определим теперь вектор нормали n. Его координаты берем из целевой функции n=(4,2). Строим перпендикуляр к нормали n– получим график целевой функции (на рисунке f₄). Далее мысленно двигаем целевую функцию вдоль вектора нормали внутри многоугольника. Последняя точка, которой коснется целевая функция в многоугольнике будет точка с координатой (2,0). Она получена пересечением целевой функции с прямой f₃.

Максимальное значение целевой функции мы найдем, подставив координаты точки (2,0) в уравнение целевой функции: f(X*)=4*2+2*0=8.

Значит, X*=(2,0) – оптимальный план и f(X*)=8 – максимальное значение целевой функции, что совпадает с ответом, полученным симплекс-методом.