![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Условие ортогональности (перпендикулярности) векторов на языке кванторов имеет вид, что означает: вектор перпендикулярен вектору тогда и только тогда, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Пример 9. Вычислить скалярное произведение векторов .
Решение. Согласно координатному выражению в случае
имеем:
.
Пример 10. Вычислить скалярное произведение векторов .
Решение. Согласно координатному выражению в случае
имеем:
.
Пример 11. Найти угол между векторами
.
Решение. .
.
Пример 12. Найти угол между векторами
.
Решение. ,
.
Пример 13. Даны векторы . При каких значениях параметра
вектор
перпендикулярен вектору
?
Решение. Используем условие ортогональности векторов. ,
.
Пример 14. Даны векторы . При каком значении параметра
векторы
перпендикулярны друг другу?
Решение. Используем условие ортогональности векторов. .
.
Пример 15. Точки являются последовательными вершинами прямоугольника
. Найти значения координат
.
Решение. Значение найдем из условия перпендикулярности векторов
.
.
.
.
Координаты найдем из условия равенства векторов
.
координаты векторов
и
совпадают.
Домашнее задание.
1. Найти координаты, длину и направляющие косинусы вектора , если
.
2. При каких значениях параметров точки
лежат на одной прямой?
3. - угол между векторами
. Найти
.
4. . При каком значении
векторы
ортогональны?
5. - вершины треугольника
. Найти величину угла при вершине
.
Формула (3) называется координатным выражением векторного произведения.
Замечание. Если требуется найти векторное произведение векторов
, то сначала векторы
переносят в пространство
:
, а затем используют формулу (3), которая в данном случае дает:
,
.
Пример 5. Найти , если
.
Решение. . Координаты вектора
найдем с помощью формулы (3).
.
Пример 6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах .
Решение. Сначала найдем векторное произведение .
.
Теперь воспользуемся геометрическим смыслом векторного произведения, по которому длина вектора равна искомой площади
параллелограмма на векторах
, т.е.
.
Пример 7. Найти площадь треугольника на плоскости
с вершинами в точках
.
Решение. Рассмотрим векторы . Найдем их векторное произведение
.
Площадь треугольника
равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах
. Следовательно,
.
Пример 8. Найти координаты орта , перпендикулярного одновременно векторам
и такого, чтобы тройка
была правой.
Решение. Сначала с помощью формулы (3) найдем вектор .
.
Согласно определению вектор перпендикулярен одновременно векторам
и тройка
- правая. Проверим перпендикулярность пар векторов:
и
, используя условие ортогональности векторов (см. Занятие 6.)
1) .
.
2) .
.
Искомый орт получается нормировкой вектора
.
.
.
Пример 9. Сформулировать условие коллинеарности векторов с помощью векторного произведения.
Решение.
1). Если , то угол
между
и
равен 0 или
. Рассмотрим
.
Согласно требованию 3 и указанным значениям угла из определения векторного произведения выводим:
.
2). Рассмотрим теперь векторное равенство . В силу определения векторного произведения (достаточно использовать требование 3) из этого векторного равенства получаем следующие три возможности: а)
; б)
; в)
, т.е.
или
. Т.к. нулевой вектор параллелен любому вектору, то все три случая а), б), в) приводят к выводу:
.
Таким образом, условие коллинеарности можно записать в виде: .
Отсюда, как следствие получаем: .
7.4. Смешанное произведение: определение; свойства; координатное выражение. Условие компланарности тройки векторов.
Смешанное произведение определено на трех векторах . Обозначим его
.
Определение. . Таким образом, смешанное произведение векторов
представляет векторное произведение векторов
, умноженное затем скалярно на вектор
. Результатом смешанного произведения векторов будет число.
Свойства смешанного произведения.
.
.
Перестановки векторов: называются циклическими.
Свойства ,
означают, что смешанное произведение векторов не меняется после циклической перестановки векторов и изменяет свое значение на противоположное при нециклических перестановках векторов.
Если векторы заданы координатами , то смешанное произведение
находится по формуле
. (4)
Эта формула дает координатное выражение смешанного произведения .
Смешанное произведение имеет следующий геометрический смысл:
1. Если тройка векторов -правая, то смешанное произведение
равно объему
параллелепипеда, построенного на векторах
;
2. Если же тройка - левая, то
, где
- объем параллелепипеда на векторах
.
Указанный геометрический смысл смешанного произведения векторов приводит к следующей формулировке условия компланарности системы из трех векторов :
. (5)
Пример 10. Вычислить , если
.
Решение. Согласно координатному выражению (4) находим
.
Заметим, что полученный результат позволяет также сказать, что
1) тройка - левая (т.к.
) и
2) объем параллелепипеда на векторах равен 19.
Пример 11. Найти объем пирамиды с вершинами
.
Решение. Рассмотрим векторы .
Найдем их смешанное произведение.
.
Следовательно, объем параллелепипеда на векторах
равен 45. Объем
пирамиды
составляет одну шестую объема
. Таким образом,
.
Пример 12. Выяснить, лежат ли точки
на одной плоскости.
Решение. Четыре произвольно выбранные точки в общем случае не лежат одной плоскости. Для того, чтобы заданные четыре точки оказались на одной плоскости нужно, чтобы тройка векторов была компланарной. Условие компланарности:
.
- не компланарны
заданные точки не лежат на одной плоскости.
____________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти координаты вектора , удовлетворяющего следующим условиям:
а) ; б)
; в)
- левая тройка, если
.
2. Вычислить площадь треугольника с вершинами
.
3. Найти объем пирамиды с вершинами
.
4. При каком значении параметра точки
лежат в одной плоскости?
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 200 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!