Корнями многочлена (1) называются решения уравнения

Боевая готовность (время перевода аппаратуры в режим боевой работы)
после совершения марша (с вводом данных топопривязки в ЦВМ)	не более 3 мин
при переводе из дежурного режима в боевой (при нахождении на позиции с включенной аппаратурой без излучения АПД)	до 20 с
при смене позиции (без выключения напряжения питания, при времени перемещения до 10 мин)	до 20 с
время проведения контроля функционирования основных систем ПБУ	не более 2 мин
Оперативность
время сбора, обработки и отображения РЛИ	до 15 с
время сбора инф. о подчин.	до 6 с
время. решения задач целераспределения	1,5...4,5 с
время доведения команд	до 5 с
время решения триангуляционной задачи при сопровождении ПАП	не более 6 с
длительность цикла решения задач управления по данным СОЦ (СОУ)	21(14) с
Емкость по обработке
количество отметок ВО, обрабатываемых по данным СОЦ за цикл обзора	до 75
количество траекторий целей, сопровождаемых по данным СОУ	до 6
максимальное количество сопровождаемых траекторий ВО (от всех источников)	до 15
Емкость по управлению
кол-во объектов упр.	до 6
кол-во ЦУ на один канал	ЦУ или ЗАПРЕТ
кол-во ВО на оповещ.	до 6

Пределы работы аппаратуры
по дальности	до 204 км
по высоте	до 51 км
по скорости	до 1260м/с
Дальность передачи данных
ПБУ и СОЦ	до 10 км
ПБУ и СОУ	до 5 км
Размеры области автоматической обработки информации
по азимуту	0...360о
по дальности	до 100 км
по высоте	0...20км
Мобильность
время подготовки к маршу из развернутого положения (без включения аппаратуры топопривязки)	до 5 мин
максимальная скорость передвижения по шоссе (по грунтовым дорогам)	65 км/ч (до 45 км/час)
преодолеваемый уклон при подъеме и спуске	до 35о
максимальный боковой крен	не более 20о
ширина преодолеваемого рва	до 1,5 м
глубина преодолеваемого брода	до 1 м
Потребляемая мощность от системы электропитания
по цепи 220 В 400 Гц	5 кВт
по цепи + 27 В	2 кВт
Масса полностью заправленного ПБУ с боевым расчетом не более	28 000 кг
Запас хода по топливу (с учетом 2 часов работы ГТД)	до 500 км
Время непрерывной работы	24 ч
Расчет	6 чел
Габаритные размеры
длина	8371мм
ширина	3250мм
высота	2975мм
Высота с развернутой антенной СТС	8785мм

3. Структурная схема аппаратуры ПБУ 9С470М1

По функциональному назначению аппаратура пункта боевого управления разделяется на несколько подсистем:

вычислительная система, система отображения информации, система передачи данных, средства оперативно-командной связи, аппаратура автоматической топопривязки, средства документирования и тренажа, система электропитания, система жизнеобеспечения, вспомогательное оборудование.

Вычислительная система ПБУ является основным средством автоматизации управления боевыми средствами дивизиона. Она осуществляет автоматизацию процессов обработки информации о воздушной обстановке и состоянии боевых средств, информационной подготовки и оптимизации решения задачи целераспределения, доведения решения командира до самоходных огневых установок. Вычислительная система управляет обменом данными между ПБУ и боевыми средствами ЗРК, а также обеспечивает проведение обучения и тренировок боевого расчета ПБУ и контроля работоспособности аппаратуры, для чего на средствах отображения информации создается имитируемая воздушная обстановка и контрольное изображение.

Вычислительная система ПБУ включает цифровой вычислительный комплекс (рис.3.24) из двух ЦВМ типа «Аргон-15А» (А-15А), внешние оперативное и долговременное запоминающие устройства, каналы обмена информацией, устройства ввода-вывода данных. В состав устройства ввода-вывода данных входят блоки сопряжения, преобразователи формы информации, связывающие ЦВМ с системой отображения, аппаратурой передачи данных, средствами документирования и тренажа. Внешние запоминающие устройства, каналообразующая аппаратура, блоки сопряжения и преобразователи размещены в одном шкафу УВВ. К числу устройств ввода-вывода относятся и пульты управления, конструктивно размещенные на АРМ и обеспечивающие взаимодействие боевого расчета ПБУ с ЦВМ в процессе решения задач управления.

В вычислительной системе ПБУ применено дублирование ЦВМ. Каждая из ЦВМ А-15А может использоваться в качестве основной или резервной. Основная ЦВМ выполняет решение всех заданных задач, а резервная находится в режиме ожидания (горячий контролируемый резерв). Переключение ЦВМ производится по команде с АРМ начальника ПБУ.

Система отображения информации предназначена для отображения данных о воздушной обстановке, состоянии, местоположении и боевых действиях боевых средств дивизиона, команд, распоряжений и донесений, поступающих с КП бригады, СОЦ и СОУ, а также для воспроизведения контрольной информации, характеризующей работоспособность аппаратуры пункта боевого управления.

В состав системы отображения входят (рис.3.25) четыре однотипных индикатора воздушной обстановки (ИВО) Д-4Т, цифровое информационное табло командира (ИТ) Д-13-1 и другие устройства, обеспечивающие их функционирование и сопряжение с источниками информации: генераторы знаков, преобразователи, блоки питания и т.д. Индикаторы воздушной обстановки, информационное табло размещаются на автоматизированных рабочих местах командира дивизиона (АРМ-К), начальника ПБУ (АРМ-НПБУ), старшего оператора (АРМ-СО) и оператора (АРМ-О).

Система передачи данных предназначена для приема от СОЦ преобразования и ввода в вычислительную систему ПБУ для дальнейшей обработки данных о воздушной обстановке – передачи на СОУ команд управления, целеуказаний и приема от них информации о сопровождаемых целях, местоположении состоянии и боевых действиях боевых средств ЗРК. Система передачи данных обеспечивает также обмен информацией ПБУ с КП зенитной ракетной бригады «Бук-М1».

В состав системы передачи данных входят два комплекта аппаратуры передачи данных АИ-О11, с помощью которых организуется телекодовая связь с СОЦ и КП бригады. Прием информации от СОЦ ведется по проводному или радиоканалу связи по радиостанции Р-123МТ.

Двухсторонний обмен информацией между ПБУ и СОУ осуществляется по АПД, состоящей из размещенной на ПБУ центральной станции телекодовой связи 9С624 и ведомых станций 9С625 самоходных огневых установок. Передача данных ведется по радио- или проводному каналу связи.

Средства оперативно-командной связи предназначены для обмена оперативно-тактической информацией между ПБУ и КП бригады, ПБУ и СОЦ, СОУ, тылом дивизиона, а также для ведения переговоров между лицами боевого расчета ПБУ. В состав средств оперативно-командной связи ПБУ входят:

- система речевой связи (СРС) 9С623;

- система внутренней телефонной связи и коммутации (ВТСК) 9С726;

- бортовые радиостанции, линии проводной связи.

Система речевой связи ПБУ с СОЦ и СОУ обеспечивает прием и передачу речевой информации по двум радиостанциям, Р-123МТ в условиях воздействия импульсных помех, прием и передачу кодированных сигналов индивидуального и циркулярного (общего) вызова, сигнала "Тревога".

Система внутренней телефонной связи и коммутации предназначена для ведения переговоров между членами экипажа ПНУ и управления работой аппаратуры СРС при обмене речевой информацией между ПБУ, СОЦ и СОУ по радио- и проводным линиям связи.

Всего на борту ПБУ размещается три радиостанции Р-123МТ. Две из которых работают в составе СРС, а одна используется для приема данных о воздушной обстановке по АПД АИ-011 от СОЦ. Для организации требуемых радиосетей и радионаправлении оперативно-командной связи, а также телекодовой связи с КП бригады в составе КП дивизиона имеются автомобильные радиостанции Р-137Б и две Р-142Н.

Аппаратура автоматической топопривязки ТНА-4-1 предназначена:

- для вычисления и отображения на топокарте масштаба 1:50000 или 1:100000 текущих прямоугольных координат ПБУ;

- определения дирекционного угла продольной оси самохода ГМ-579 и дирекционного угла па пункт назначения;

- вычисления прямоугольных составляющих параллакса ПБУ относительно заданной условной точки – начала единой системы координат АСУ боевыми средствами дивизиона (бригады).

Основными элементами ТНА-4-1 являются курсовая система «Маяк-2» в составе гирокурсоуказателя, пульта управления и преобразователя тока, координатор, планшет индикаторный, курсоуказатель, механический датчик скорости. В комплект аппаратуры топопривязки ПБУ входят также оптические приборы – визир ориентирования перископический ВОП-3 и буссоль ПАБ-2А.

Аппаратура топопривязки обеспечивает высокую точность вычисления текущих координат и определения курсового угла ПБУ и при его движении без переориентирования в течение длительного времени.

Средства документирования и тренажа обеспечивают документирование процесса боевой работы ЗРК, обучение и тренировку боевого расчета ПБУ. Имеют в своем составе аппаратуру документирования и регистрации и средства тренажа.

Аппаратура документирования и регистрации предназначена:

- для записи на магнитную ленту и воспроизведения оперативно-командной информации в сетях управления, данных о воздушной обстановке и состоянии боевых средств дивизиона;

- для регистрации на рулонной бумаге информации о сопровождаемых целях, координатах местоположения СОЦ. и СОУ, состоянии СОУ, боевой работе ПБУ и ЗРК с привязкой этих данных к реальному астрономическому времени.

В состав аппаратуры документирования входят комплект многоканальной аппаратуры магнитной записи и воспроизведения цифровой информации АМЗ-92РК;

два самолетных магнитофона МС-61М для записи и воспроизведения речевой информации, циркулирующей в системе речевой связи;

аппарат телеграфный буквопечатающий АТБ «Боек-2С».

АТБ «Боек-2С» представляет собой специализированный электромеханический аппарат-телетайп. Предназначен для приема из ЦВМ ПБУ и печати на рулонной бумаге цифровой информации о воздушной обстановке, состоянии, местоположении и боевой работе СОУ, СОЦ, результатах контроля аппаратуры ПБУ.

Система электропитания вырабатывает напряжения переменного тока 220 В частоты 400 Гц и постоянного тока 27 В, необходимые для питания бортовой аппаратуры и оборудования ПБУ. В состав системы электропитания входят:

- два блока генераторов переменного тока БГ-31 (основной и резервный);

- генератор постоянного тока СГ-10;

- выпрямительное устройство ВУ-32;

- аппаратура дистанционного управления, переключения и зашиты СЭП;

- четыре АКБ напряжения 24 В емкостью 70 ампер-часов;

- приводной газотурбинный двигатель 9И56.

Генераторы СЭП могут работать как от газотурбинного двигателя (ГТД), так и с приводом от ходового двигателя гусеничной машины. Предусмотрено также питание от внешнего источника электроэнергии.

ГТД, генераторы, аппаратура управления, переключения и защиты СЭП размещены в отдельном отсеке в кормовой части самохода. Включение, управление работой СЭП производится дистанционно из отсека экипажа.

В кормовой части располагается силовая установка гусеничной машины (ГМ): двенадцати цилиндровый V-образный четырехтактный многотопливный дизель А-24-2 с жидкостным охлаждением мощностью 720 л.с, гидромеханическая трансмиссия ГМТ, топливные баки, масляный бак, подогреватель, компрессор, гидрообъемный механизм поворота ГОМП и др. ГМ оснащена противопожарным и инженерным оборудованием, наружными внутренними приборами освещения и сигнализации. Для наблюдения за местностью при движении с закрытыми передними люками и в ночное время ПБУ укомплектован приборами дневного наблюдения ТНПО-168В и приборами ночного видения ТВНЕ-4ПА с фарой ФТ-125, снабженной инфракрасным фильтром.

Система жизнеобеспечения предназначена для поддержания в отсеке экипажа ПБУ требуемых для жизнедеятельности боевого расчета температуры, чистоты и влажности воздуха. Улучшение условий обитаемости достигается за счет размещения в ПБУ двух кондиционеров МК-5, фильтро-вентиляционной установки ОВ-65, герметизации и теплозвукоизоляции отсека экипажа. В состав системы входит также прибор радиационной и химической разведки "Электрон-2".

4. Взаимодействие ПБУ с КП зрбр и боевыми средствами озрдн.

Автоматизированное управление является основным способом управления огнем зенитного ракетного дивизиона «Бук-М1». Оно осуществляется с ПБУ 9С470М1 и базируется на использовании для автоматизации решения задач сбора, отображения, обработки и передачи информации цифровых вычислительных машин, входящих в состав аппаратуры ПБУ, СОЦ и СОУ и объединенных в единую вычислительную систему (рис. 3.27).

Боевые средства ЗРК в зависимости от обстановки могут находиться в одном из трех режимов: дежурном, режиме контроля и режиме боевой работы. Перевод СОУ в требуемый режим производится по командам «Дежурный режим», «Боевой режим», «Контроль», вводимым с АРМ командира в ЦВМ. ЦВМ формирует и выдает в АПД 9С624 соответствующие сообщения для передачи на СОУ. При переводе СОУ в режим боевой работы (задается кнопками БР на пульте управления АРМ командира) на СОУ передаются также заданные секторы ответственности и номера литеров передатчиков подсвета СОУ. Управление режимами работы СОЦ ведется путем передачи команд голосом или установленным кодом по СРС 9С623.

Основным источником информации о воздушной обстановке для ПБУ является СОЦ 9С18М1, развертываемая на удалении от ПБУ, как правило, до 5 км.

На СОЦ с помощью ЦВМ А-15А проводится первичная обработка радиолокационной информации: обнаружение и опознавание целей, определение прямоугольных координат – и характеристик целей. Кроме того, определяются азимут и угол места пеленгов постановщиков помех. ЦВМ СОЦ выдает координаты и характеристики целей в систему передачи данных 17 раз в секунду. За один цикл обзора с СОЦ передаются 2-3 сообщения о координатах пеленгов постановщиков помех, одно сообщение о координатах местоположения СОЦ в единой системе координат АСУ зенитного ракетного дивизиона (бригады), а также метка «Север». Передача данных из СОЦ на ПБУ ведется по АПД АИ-011 с использованием в канале связи радиостанции Р-111 (Р-123МТ) или двухпроводной линии.

Рис.3.27. Структурная схема АСУ БС зрдн “Бук-М1”

Принятая от СОЦ информация о воздушной обстановке отображается на индикаторах автоматизированных рабочих мест ПБУ в виде отметок целей – координат их мгновенного положения в текущем цикле обзора РЛС, «расцвеченных» характеристиками (рис. 3.28). Характеристики отображаются условными знаками, которым заранее предписывается определенное смысловое содержание («цель групповая», «свой самолет» и т.д.).

5. Режимы работы ПБУ 9С470М1.

В ПБУ производится вторичная обработка принятой от СОЦ информации, основным содержанием которой является обнаружение траекторий целей по их отметкам, полученным за несколько соседних циклов обзора СОЦ, и непрерывное слежение (сопровождение) за траекториями.

В зависимости от обстановки основные задачи вторичной обработки решаются автоматическим (автозахват, автосопровождение траекторий) или полуавтоматическим способом с использованием критериев захвата и сопровождения вида n/m. При этом автозахват и автосопровождение целей ведется ЦВМ только в пределах заранее установленной области автоматической обработки информации. При использовании полуавтоматического способа обработки информации захват и сопровождение целей осуществляются операторами ПБУ с помощью ЦВМ в любой области индикатора воздушной обстановки.

В ходе вторичной обработки информации непрерывно ведется распределение вновь полученных от СОЦ отметок целей по сопровождаемым траекториям, сглаживание параметров траекторий, вычисление текущих координат и скорости полета целей. Результаты вторичной обработки выдаются ЦВМ на индикаторы АРМ ПБУ в виде координат текущего положения целей, векторов скорости и формуляров (рис. 3.28).

Вектор скорости представляется на ИВО семью градациями длины, что соответствует диапазону скоростей полета целей от 50 до 850 и более метров в секунду. Формуляр цели формируется у основания вектора скорости и содержит четыре знакоместа, где отображаются эшелон высоты полета цели, тип цепи и упрежденная дальность в километрах. Всего индицируется шесть эшелонов высоты в диапазоне от 0 до 12800 и более метров с дискретностью 1600 м для первого и 3200 м для остальных эшелонов. Тип цели отображается буквами: Г – групповая, М – маневрирующая, Б – баллистическая и др.

Алгоритмом вычислительной системы ПБУ предусмотрено решение ряда задач третичной обработки информации (ТОИ).

Основное предназначение алгоритма ТОИ: повышение полноты, наглядности и достоверности информационной модели воздушной обстановки, представляемой командиру зенитного ракетного дивизиона для оценки обстановки и принятия решения;

- укрупнение информации при сопровождении групповых целей;

- отождествление целей по данным СОЦ и СОУ;

- определение координат постановщиков помех триангуляционным методом и их сопровождение.

При укрупнении информации проводится группирование отметок целей и построение обобщенных траекторий групповых целей, которые и выдаются на ИВО АРМ с признаком «групповая» в формуляре. Включение программы автоматического группирования производится переключателем ОГР («обработка групповых»).

В алгоритмах отождествления целей и решения триангуляционной задачи используется информация о целях, сопровождаемых ЦВМ ПБУ по данный СОЦ, а также принимаемая от СОУ: – текущие координаты цели, взятой СОУ на сопровождение; – составляющие скорости цели; – азимут и угол места пеленга на постановщик помех и составляющие скорости перемещения пеленга; – точка стояния СОУ.

Отождествление целей, данные о которых поступают на ПБУ от СОЦ СОУ, проводится путем сопоставления параметров траекторий и оценки величин их относительных отклонений по допусковым критериям. Если взаимные отклонения траекторий по сравнительным координатам и параметрам движения не превышают допустимых значений, то полагается, что эти траектории принадлежат одной и той же цели. В дальнейшем информация, принимаемая от СОУ как более точного источника, используется в ЦВМ ПБУ при решении задачи целераспределения.

6. Специальные режимы работы ПБУ 9С470М1.

При постановке помех радиолокационным станциям ЗРК, от которых не удается отстроиться штатными для РЛС способами защиты, пункт боевого управления организует работу СОЦ и СОУ в режиме решения триангуляционной задачи. В этом режиме по азимутальным и угломестным пеленгам постановщиков помех, поступающим от СОЦ и одной из СОУ или объединенных в триангуляционную пару двух СОУ, ЦВМ ПБУ определяет параметры траектории постановщика помех и выдает целеуказание СОУ.

По результатам вторичной и третичной обработка информации на ИВО АРМ ПБУ формируется информационная модель воздушной обстановки в зоне ответственности зенитного ракетного дивизиона, на основании оценки которой решается задача целераспределения. С целью улучшения наглядности модели обстановки, выдача ее из ЦВМ на отображение производится по нескольким программам по запросу с АРМ, с помощью переключателя ИНДИКАЦИЯ, имеющего позиции ВО, СЦ, ЦР, ТР, ЗУ.

Программой ВО («Воздушная обстановка») предусматривается отображение общей воздушной обстановки и других данных, используемых при ее оценке (рис. 3.28):

Рис.3.28. Вид индикатора в режиме ВО

- отметок и характеристик целей, поступающих в каждом цикле обзора от СОЦ;

- траекторий целей, сопровождаемых по данным СОЦ и СОУ, с «векторами сопровождения», которые, указывая направление полета целей, являются одновременно признаками взятия целей на сопровождение ЦВМ ПБУ, а также их принадлежности (цели сопровождаются сплошными отрезками линии, свои самолеты – пунктиром);

- формуляров с указанием эшелона высоты, типа цели, номера СОУ, сопровождающей данную цель, с признаками выдачи целеуказания по цели на СОУ и взятия цели на сопровождение СОУ;

- точки стояния СОЦ;

- границ сектора ответственности дивизиона, индицируемых отрезками прямых на краю ИВО;

- маркеров командира, начальника ПБУ, старшего оператора и оператора с признаками эшелонов высоты, к которым "привязаны" маркеры (цифры 1, 2...6 над знаком маркера);

- дополнительного формуляра, высвечиваемого в нижней части экрана индикатора и отображающего значения координат маркера данного АРМ в прямоугольной или сферической системе координат.

Корнями многочлена (1) называются решения уравнения

. (2)

Например,

1) многочлен имеет один действительный корень , т.к. уравнение имеет только одно решение ,

2) многочлен имеет два комплексных корня , являющихся решениями квадратного уравнения .

Эти примеры показывают, что многочлен с действительными коэффициентами может иметь как действительные, так и комплексные корни.

Корень многочлена (1) является корнем кратности , если он встречается раз среди всех корней уравнения (2). Например,

1) многочлен имеет один корень . Это означает, что является однократным корнем (или корнем кратности 1).

2) , - корни кратности 1 многочлена .

3) многочлен можно переписать следующим образом:

. Следовательно, многочлен имеет пять корней: . И значит,

- корень кратности 2, и - корень кратности 3 многочлена .

Пример 1. Найти корни многочлена и указать их кратность.

Решение.

- корень кратности 2, и - корень кратности 3 многочлена .

- корень кратности 5, и - корни кратности 2 многочлена .

Опять отметим, что многочлен с действительными коэффициентами из примера 1 наряду с действительным корнем имеет также комплексные корни .

Нахождение всех корней произвольно заданного многочлена часто бывает проблематичным. Если корни многочленов 1-го и 2-го порядка находятся достаточно просто, то поиск корней многочленов 3-го и 4-го порядка алгебраическими методами хотя и возможен, но уже не так прост: громоздкие аналитические выкладки (см., например, Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике, пункты: 1.8-3, …, 1.8.-6.) препятствуют широкому практическому применению аналитических методов нахождения корней этих многочленов. Для многочленов 5-го и более высокого порядков нахождение корней алгебраическими методами (т.е. с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень действительных чисел), в общем случае, невозможно. Поэтому, обычно корни многочленов выше 2-го порядка находят в приближенном виде вычислительными методами (эти методы изучаются в курсе математического анализа и численных методов). Далее рассматриваются примеры, в которых нахождение корней многочлена либо сводится к решению квадратных уравнений, либо не потребуется.

Деление многочлена на многочлен (алгоритм Евклида). Целая и дробная части отношения двух многочленов.

Рассмотрим отношение двух многочленов , называемое дробно рациональной функцией: - многочлены степени соответственно. Если , то называется правильной дробно рациональной функцией (или проще, правильной дробью). Если же , то называется неправильной дробно рациональной функцией (или неправильной дробью). Для неправильной дроби справедлива следующая теорема.

Теорема. Неправильную дробь можно разложить в сумму многочлена и правильной дроби: , где - многочлен степени , и - многочлен степени . Такое разложение единственно. Многочлен называется целой частью, правильная дробь - дробной частью, многочлен - остатком от деления многочлена на многочлен .

Нахождение целой части и остатка от деления многочлена на многочлен производится по алгоритму Евклида. Приведем применение этого алгоритма на конкретных примерах.

Пример 2. Найти целую часть и остаток от деления многочлена на многочлен .

Решение. 1-й шаг алгоритма Евклида.

Начало схемы алгоритма.

Подбираем постоянные так, чтобы при умножении на старший член делителя получился старший член многочлена . Очевидно, следует взять . Подставляем и умножаем его на делитель . В результате получим многочлен . Записываем его слева под многочленом . Находим разность и записываем этот многочлен слева под чертой под многочленом . Степень многочлена больше степени делителя (многочлена ), поэтому алгоритм Эвклида имеет продолжение.

2-й шаг. Записываем итоги вычислений 1-го шага. Прибавим слева к слагаемому новый член .

Продолжение схемы алгоритма.

Константы подбираем так, чтобы при умножении на старший член делителя получилось . Очевидно, . Подставляем и умножаем его на делитель , в результате получим многочлен . Записываем этот многочлен слева под многочленом . Находим разность , где и записываем этот многочлен слева под чертой под . Степень многочлена равна степени делителя (многочлена ), поэтому алгоритм Эвклида продолжается.

3-й шаг. Записываем итоги вычислений 2-го шага. Прибавим слева к слагаемым новый член .

Продолжение схемы алгоритма.

Константы подбираем так, чтобы при умножении на старший член делителя было равно . Очевидно, . Подставляем и умножаем его на делитель , в результате получим многочлен . Записываем этот многочлен слева под . Находим разность и записываем ее слева под чертой под . Степень многочлена меньше степени делителя , поэтому алгоритм Евклида закончился. Ответы таковы: целая часть и остаток от деления многочлена на многочлен соответственно равны и .

В окончательном виде схема алгоритма Евклида выглядит так.

Если остаток от деления многочлена на многочлен равен нулю, то многочлен нацело делится на многочлен . В этом случае многочлен называется делителем многочлена , и многочлен можно записать в виде произведения .

Пример 3. Разложить в произведение многочлен , если известно, что многочлен нацело делит многочлен .

Решение. С помощью алгоритма Евклида найдем целую часть от деления на .

Следовательно, и многочлен можно разложить в произведение: .

2. Особую роль играет деление многочлена на многочлен .

Справедлива следующая теорема Безу. Остаток от деления многочлена на многочлен равен .

Следствие теоремы Безу. Если - корень многочлена степени , то многочлен нацело делится на многочлен , т.е. , где - многочлен степени .

Основная теорема алгебры многочленов: любой многочлен степени имеет ровно корней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

Согласно этой теореме любой многочлен с комплексными коэффициентами разлагается в следующее произведение

, (1)

где - все корни многочлена , имеющие кратности соответственно. Такое разложение называется разложением многочлена над множеством комплексных чисел (над полем ). При разложении многочлена над полем автоматически считается, что может принимать любые комплексные значения.

Линейные многочлены являются неприводимыми многочленами над полем . Многочлен называется неприводимым над заданным множеством чисел, если его нельзя разложить в произведение двух многочленов со степенями один и выше. Очевидно, что любой многочлен степени 1 неприводим над полем , а любой многочлен степени 2 и выше приводим над полем , т.к. согласно основной теореме его можно разложить в произведение многочленов.

Пример 4. Разложить над полем многочлен .

Решение. Согласно примеру 3 заданный многочлен разлагается в произведение . Первый множитель – многочлен имеет корень , т.к. . Следовательно, нацело делится на многочлен . По алгоритму Евклида находим результат деления на .

Значит, .

Поскольку, , получим такое разложение многочлена над полем .

Если многочлен имеет действительные коэффициенты, то наряду с его разложением над полем (когда считается комплексной величиной) возможно также разложение этого многочлена на множестве действительных чисел (над полем ), когда переменная принимает только действительные значения, и соответственно принимает только действительные значения. При разложении многочлена с действительными коэффициентами над полем следует помнить, что не все многочлены второго порядка приводимы над полем .

Например, многочлен приводим над полем , он допускает разложение и неприводим над полем , т.к. каждый из множителей в квадратных скобках принимает комплексные значения при действительных значениях переменной . Поэтому, разложение многочлена из примера 4 над полем будет иметь следующий вид: . Здесь каждый из множителей принимает только действительные значения при действительных . Чтобы получить это разложение, нужно перемножить квадратные скобки в найденном выше разложении многочлена над полем .

Следует помнить также следующий факт: если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то комплексное сопряжение этого корня также является корнем этого многочлена. Согласно этому факту и основной теореме алгебры многочленов разложение многочлена с действительными коэффициентами над полем в общем случае имеет следующий вид

, (2)

где - действительные корни кратности соответственно, а квадратные многочлены имеют комплексно сопряженные корни.

Пример 5. Найти разложения многочлена на множестве комплексных (над полем ) и на множестве действительных (над полем ) чисел, если известно, что - корень кратности 2 этого многочлена.

Решение.

1) - действительный корень кратности 2 многочлена .

2) - многочлен с действительными коэффициентами вместе с комплексным корнем кратности 2 этот многочлен имеет корень тоже кратности 2 в разложении многочлена над полем (см. формулу (1)) будет присутствовать множитель

многочлен , и значит, многочлен нацело делится на многочлен .

3) Найдем результат деления на по алгоритму Евклида.

.

4) Теперь найдем корни квадратного трехчлена .

.

Следовательно, разложение заданного многочлена над полем имеет вид

.

Из этого разложения видно, что имеет корни кратности 2 и корни кратности 1.

Чтобы найти разложение многочлена над полем нужно перемножить скобки с сопряженными комплексными корнями. Т.к. и , получаем следующее разложение многочлена над полем : .

_______________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Найти все корни многочлена и указать их кратность.

2. Найти целую и дробную части отношения , где , .

3. Найти разложения многочлена на множестве комплексных и на множестве действительных чисел.