Output Summary 13 страница

30 < х₁₃ < 40, х₂₄ > 10, х₃₂ > 10. Задача ЛП после исключения нижних границ пропускных способностей дуг: Минимизировать г = х₁₂ + 5х₁₃ + Зх₂₄ + 4х₃₂ + 6х₃₄ при ограничениях

х₁₂ + х₁₃ = 20,

—x -4- x — x = —40

12 24 32 ^ '

~^хп + ^хш + ^х-м = ⁴⁰'

~х₂₄ - х₃₄ = —20, x„<10.

УПРАЖНЕНИЯ 6.5.3

1. Следует произвести 210 единиц продукции на первом этапе и 220 единиц — на третьем. Общая стоимость производства составит 9 895 долл.

5. Школа 1 принимает 450 учащихся из второй общины национальных мень­шинств и 1000 из первой "обычной" общины. Школа 2 принимает 500 уча­щихся из первой общины национальных меньшинств, 300 человек из треть­ей общины национальных меньшинств и 1000 из второй "обычной" общины. Значение целевой функции, определяемой как произведение количества учащихся на расстояние от их местожительства до школы, равно 24 300. За­дача имеет альтернативное решение.

Глава 7 873

УПРАЖНЕНИЯ 6.6.1

1. См. рис. Г.12.

Рис. Г.12

УПРАЖНЕНИЯ 6.6.2

1. Критический путь: 1-3-4-5-6-7, длительность проекта равна 19. 3. Длительность проекта — 38 дней.

УПРАЖНЕНИЯ 6.6.3

3. а) Максимальный сдвиг равен 10.

5. а) Критический путь 1-3-6, длительность проекта — 45 дней.

b) Необходимо пометить "красными флажками" процессы A, D и Е.

c) Начала процессов С, D, G и Н задерживаются на 5 дней. На процесс Е на­чало процесса А не влияет.

d) Минимально необходимо две единицы этого оборудования.

ГЛАВА 7

УПРАЖНЕНИЯ 7.1.1

2. Точки (1, 0) и (0, 2) принадлежат множеству Q, но точки прямой

Ml, 0) + (1 - к)(0, 2) = (Х,2- 2\) не принадлежат множеству Q при 0 < X < 1.

УПРАЖНЕНИЯ 7.1.2

2. Ь) Решение единственно (рис. Г. 13). d) Бесконечное множество решений, f)

Решения не существует.

3. а) Этот набор векторов образует базис, поскольку detB = -4.

d) Этот набор векторов не образует базис, поскольку в данном случае в базисе должно быть ровно три независимых вектора.

Приложение Г. Частичные ответы к некоторым упражнениям

. х, > 1,0 < х, < 1

УПРАЖНЕНИЯ 7.1.3

1. Базисное решение Х_в = (х₃, х₄)^т = (2, 1,5)^т допустимо. 4. Оптимальное значение целевой функции равно 34. Исходная задача ЛП: максимизировать z = 2х, + 5х₂ при ограничениях х, < 4, х₂ < 6, х, + х₂ < 8, х,, х₂ > 0.

УПРАЖНЕНИЯ 7.2.1

1. а) Необходимо исключить из базиса вектор Р,. Ь) Вектор Р₄ может быть частью

допустимого базиса В = (Р_2> Р₄).

2. Для базисного вектора Х_в имеем

{г, - с} = С_ВВ^]В - С_я - С_в1 - С_в = С_в - С_в = 0.

7. Из условия невырожденности следует, что количество смежных крайних то­чек должно быть п-т.

10. В случае вырожденности число крайних точек меньше числа базисных решений.

11. а) Новое х, = (Старое х.)/а. Ь) Новое х = (5(Старое х.)/а.

УПРАЖНЕНИЯ 7.2.2

2. Ь) (х₁,х₂,х₃) = (1,5, 2, 0),г = 5.

УПРАЖНЕНИЯ 7.3

2. (х„ х₂, х₃, х₄, х₅, х₆) = (0, 1, 0,75, 1, 0, 1), г = 22.

УПРАЖНЕНИЯ 7.4

1. с) Добавляется искусственное ограничение х₂ < М. Тогда

(х_р х₂) = аДО, 0) + а₂(10, 0) + а₃(20, 10) + а₄(20, М) + а₅(0, М), а, + а₂ + а₃ + а₄ + а₅ = 1, а > 0, i = 1, 2, 5.

2. Подзадача 1: (х„ х₂) = аДО, 0) + а₂(12/5, 0) + а₃(0, 12). Подзадача 2: (х₃, х₄) = (5,(5, 0) + р₂(50, 0) + р₃(0, 10) + р₄(0, 5). Оптимальное решение: а, = а₂ = 0, а₃ = 1 => х, = 0, х₂ = 12,

р, = 0,4889, Р₂ = 0,5111, рз = Р₄ = 0 х₃ = 28, х₄ = 0.

Глава 8

6. Поскольку исходная задача является задачей минимизации, каждая подза­дача должна быть задачей максимизации. Оптимальное решение: (ас,, х₂, х₃, х₄) = (5/3, 10/3, 0, 20), z = -245/3.

УПРАЖНЕНИЯ 7.5.1

2. Максимизировать w = Yb при ограничениях YA < С, Y > 0.

УПРАЖНЕНИЯ 7.5.2

5. Первый способ: если Х_в = (2, 6, 2)^т, тогда (6_Р Ь₂, Ь_г) = (4, 6, 8) => оптимальное значение целевой функции двойственной задачи = 34.

Второй способ: если Y ^ (0, 3, 2), тогда (с,, с₂) = (2, 5) => оптимальное значе­ние целевой функции прямой задачи = 34.

7. Минимизировать w = Yb при ограничениях YA = С, переменные Y произ­вольного знака.

УПРАЖНЕНИЯ 7.6.1

1. -2/7<<<1.

2. а)

Базисное решение	Интервал применимости
(хз. хз, хв) = (5, 30,10)	0</< 1/3
(х2, Хз, х,) = (25/4, 90/4, 5)	1/3 < 1< 5/12
(х2, Xi, Xi) = (5/2, 15, 20)	5/12<<<°°

5. {г. - С;}_у.₁₄₅ = (4 - St/2 - 3t²/2, 1 - t², 2 - t/2 + t"/2). Базис остается оптималь­ным при 0 < t < 1.

УПРАЖНЕНИЯ 7.6.2

1. a) t_L = 10, В, = (Р₂, Р₃, Р₄).

2. Для (= 0 имеем (x_v х₂, х₆) =(0,4,1,8,1). Этот базис сохраняется при 0 < (< 1,5. При t > 1,5 это решение становится недопустимым.

ГЛАВА8

УПРАЖНЕНИЯ 8.1

1. Вводится еще одна целевая функция: минимизировать G₅ = sl при дополни­тельном ограничении 55л; „ + 3,5х_р + 5,ох₀ - 0,0675х₅ + - s< = 0.

3. Обозначим через ас, количество первокурсников — жителей данного штата, через х₂ — число первокурсников — жителей других штатов, через х_а — ко­личество первокурсников-неамериканцев. Частные целевые функции:

минимизировать G, =.v,⁺, i = 1, 2, 5, при ограничениях

х, + х₂ + х₃ + s; - s; = 1200,

Приложение Г. Частичные ответы к некоторым упражнениям

2х, + х₂ - 2х₃ + s₂ - s₂ = О, -ОЛх^-0,lx₂ + 0,9x₃+ s*_} - s; = 0,

одгб^-о.обх;,- 0,556*3+ _s; - s_t =о,

-0.2х₁+0,8х₂-0,2х₃-г- s; - s~₅ =0, все переменные неотрицательны.

5. Обозначим через х. количество партий изделий, изготовленных в у-ю смену, j = 1, 2, 3. Получаем задачу:

минимизировать s* + s~ при ограничениях -100х₁ + 40х₂ - 80л:₃ + _s; - s; = О, 4 < х, < 5, 10 < х₂ < 20, 3 < х₃ < 5.

УПРАЖНЕНИЯ 8.2.1

1. Целевая функция: минимизировать z = sf + s₂ + + s~ +.

Решение: х_н = 0,0201, x_p = 0,0457, x_o = 0,0582, х_в = 2 цента, s~₅ = 1,45, все ос­тальные s, равны нулю. Сумма налога на бензин составляет 1,45 млн. долл. вместо желаемых 1,6 млн.

4. Пусть х, — количество известняка (фунты), потребляемого в день для приго­товления кормовой смеси, х₂ — количество зерна (фунты), потребляемого в день, х₃ — количество соевой муки (фунты), потребляемого в день.

Целевая функция: минимизировать z = sf +s₂ +s₃⁺ +sl.

Решение: x, = 166,08, x₂ = 2778,56, x₃ = 3055,36, 2 = 0. Все цели удовлетво­ряются.

7. Для производства 80 единиц первого изделия и 60 единиц второго необходи­мо использование сверхурочных работ: 100 минут для первой операции и 120 минут — для второй.

УПРАЖНЕНИЯ 8.2.2

2. Оптимизация целевой функции G, дает х_я = 0,0204, х = 0,0457, х_о = 0,0582, х„ = 2, другие переменные равны 0. Цели G_v G₂, G₃ и G₄ удовлетворяются, цель G_s — нет. Оптимизация целевой функции G_b дает такое же решение, что и оптимизация целевой функции G_v плюс =1,45. Это указывает на то, что цель G_s удовлетворить невозможно.

ГЛАВА 9

УПРАЖНЕНИЯ 9.1.1

3. Обозначим через х,_у количество бутылок типа i, полученных индивидуумом j, при этом i = 1 (полная бутылка), 2 (заполненная наполовину), 3 (пустая),; = 1, 2,3. Возможное решение: х_п = 3, х₂₁ = 1, х₃₁ = 3, х₁₂ = 3, х₂₂=1, х₃₂ = 3, х₁₃ = 1, х₂₃ = 5, х₃₃ = 1. Задача имеет и другие решения.

Глава 9

6. Пусть у — исходная сумма денег, х_у — сумма, взятая в ночь j, j = 1, 2, 3, х₄ — конечная сумма, полученная каждым моряком. Задача ЦЛП:

минимизировать г — у при ограничениях

Зх, -y = 2,x_t + Зх₂ - у = 2, х, + х₂ + Зх₃ - у = 2, у - х, - х₂ - х₃ - Зх₄ = 1.

Все переменные неотрицательные целые.

Решение: у = 79 + 81п, п = 0, 1, 2.....

8. На первой стороне кассеты записываются песни 5, 6 и 8, на второй — 1, 2, 3, 4 и 7. Емкость кассеты должна быть не менее 28 минут на каждой стороне. Задача имеет и другие решения.

УПРАЖНЕНИЯ 9.1.2

1. Пусть х — количество продукции, произведенной на станке j = 1, 2, 3; y_t = 1, если станок j используется, и y_i = 0 в противном случае. Задача ЦЛП:

минимизировать z = 2х, + 10х₂ + 5х₃ + ЗООу, + 100j/₂ + 200i/₃

при ограничениях

х, + х₂ + х₃ > 2000, х, - 6001/, < 0, х₂ - 800у₂ < 0, х₃ - 1200i/₃ < 0,

х,, х₂, х₃ > 500 и целые, </,, у₂, у₃ = 0 или 1.

Решение: х, = 600, х₂ = 500, х₃ = 900, z = 11 300 долл.

2. Решение: на участке 1 следует бурить скважины 1 и 2, на участке 2 — сква­жины 3 и 4, z = 18.

УПРАЖНЕНИЯ 9.1.3

1. Пусть переменные х^ равны 1, если выбран маршрут у, и равны 0 в противном случае. Задача ЦЛП:

минимизировать z = 80х, + 50х₂ + 70х₃ + 52х₄ + 60х₅ + 44х₆

при ограничениях

х, + х₃ + х₅ + х₆ > 1, х, + х₃ + х₄ + х₅ > 1, х, + х₂ + х₄ + х₆ > 1,

х, + х₂ + х₅ > 1, х₂ + х₃ + х₄ + х₆ > 1, x_t = 0 или 1 для всех у.

Решение: х₅ = х₆ = 1. Следует выбрать маршруты (1, 4, 2) и (1, 3, 5), z = 104.

2. Решение: в комитет должны войти кандидатуры a, d, f. Задача имеет и дру­гие решения.

УПРАЖНЕНИЯ 9.1.4

1. а) Задача имеет несколько решений, среди которых следующие.

6 4 5

4 5 6

5 6 4

3. Производство следует организовать во втором цехе, при этом продукции 1 следует производить 26 единиц, продукции 2 — 3 единицы, продукции 3 — 0.

Приложение Г. Частичные ответы к некоторым упражнениям

УПРАЖНЕНИЯ 9.2.1

1. а) г = 23, дс, = 3, х₂ = 2.

е) г = 37, х, = 6, х₂ = 1. 1. a) z = 7,25, = 1,75, х₂= 1.

е) г = 37, (х, = 4,6, х₂ = 2) или (х, = 6, х₂ = 1).

УПРАЖНЕНИЯ 9.2.2

1. а) 9 подзадач.

Ь) 25,739 подзадач.

3. Задача ЦЛП с двоичными переменными:

максимизировать z = 18</_n + 36</₁₂ + 14t/_2] + 28y₂₂ + 8y₃₁ + 16i/₃₂ + 32t/₃₃ при ограничении 15y_n + S0y₁₂ + 12y₂₁ + 24y₂₂ + 7y_3l + Uy₃₂ + 28y₃₃ < 43.

Все переменные двоичные. Решение: z = 50, y_i2 = 1, j/_2] = 1, остальные переменные равны 0.

УПРАЖНЕНИЯ 9.2.3

1. а) Да, поскольку это отсечение проходит через целочисленные точки (допустимые и недопустимые) и при этом не исключает ни одной допус­тимой целочисленной точки.

6. Ь) Оптимальное целочисленное решение: (х,, х₂, х₃) = (5, 2, 3), 2 = 23.

Решение, полученное путем округления соответствующего оптимального непрерывного решения: (л:,, х₂, х₃) = (5, 3, 3). Это решение недопустимо.

УПРАЖНЕНИЯ 9.3.1

1. Количество сотрудников, входящих в комнату для совещаний и выходящих из нее, а также работающих над соответствующими проектами, показано в следующей таблице.

Проект

				Проект 4
	—
		—
			—
				—
					—
						—

ГЛАВА 10

УПРАЖНЕНИЯ 10.1

1. Маршрут 1-3-5-7, длина маршрута 21 миля.

Глава 10

УПРАЖНЕНИЯ 10.2

3. Маршрут 1-2-3-5-7, длина маршрута 17 миль.

УПРАЖНЕНИЯ 10.3.1

2. а) Решение: прибыль равна 120, (иг,, т₂, т_ъ) = (0, 0, 3) или (0, 2, 2) или

(0, 4, 1)или(0, 6, 0).

4. Решение: общая сумма баллов 250. Выбор курсов: на факультете I курс 2, на факультете II курс 3, на факультете III курс 4, на факультете IV курс 1.

6. Пусть х. = 1, если принимается заявка j, и x_i = 0 в противном случае. Задача о загрузке:

максимизировать г = 78х, + 64х₂ + 68х₃ + 62х₄ + 85х₅ при ограничении

7х, + 4х₂ + 6лг₃ + ох₄ + 8х₅ < 23, x_t = 0 или 1 для всех j. Решение: принять все заявки, кроме первой. Общая оценка = 279.

УПРАЖНЕНИЯ 10.3.2

1. а) Решение: на 1-й неделе принять 6 человек, на 2-й неделе уволить 1 чело-

века, на 3-й неделе уволить 2 человека, на 4-й неделе принять 3 человека, на 5-й неделе принять 2 человека.

3. На каждую из четырех недель следует арендовать 7, 4, 8 и 8 автомобилей со­ответственно.

УПРАЖНЕНИЯ 10.3.3

2. а) С—> С—>3—> С, затраты = 458 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 10.3.4

1. Первый год: инвестировать 5000 долл. в первый банк. Второй год: инвести­ровать 4090 долл. во второй банк. Третий год: 3090 долл. в первый банк. Четвертый год: инвестировать 2065 долл. в любой банк.

ГЛАВА 11

УПРАЖНЕНИЯ 11.2.1

2. а) Суммарные затраты в неделю составляют 51,50 долл.

Ь) Оптимальная стратегия: заказывать 239,05 фунта фарша, как только его запас опустится до нулевого уровня. Суммарные затраты в неделю соста­вят 50,20 долл.

1. а) Необходимо сделать заказ на 200 единиц продукции в том случае, когда уровень запаса опустится до 150 единиц.

Ь) Приблизительно 91 заказов.

Приложение Г. Частичные ответы к некоторым упражнениям

УПРАЖНЕНИЯ 11.2.2

1. Отелю следует воспользоваться скидкой, поскольку стоимость стирки пар­тии из 1800 полотенец составит 414 долл., а партии из 2500 — 356,94 долл.

3. Да, для заказа партии в 150 единиц при нулевом уровне запаса. Затраты в день составят 479,17 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 11.2.3

1. Оптимальное решение, найденное с помощью Excel: у_х = 4,41, j/₂=6,87, у₃ = 4,12, у₄ = 7,2, у_ъ = 5,8.

	(K,D, А И	( -к
	{у, 2 J	v

Y^i-150

4г у,)

ft.

Решение, найденное с помощью Excel: i/, = 155,3, у_г= 118,82, у₃ = 74,36, у, = 90,10, X = -0,0564.

УПРАЖНЕНИЯ 11.3.1

1. а) 500 единиц комплектующих в кварталы 1,4, 7 и 10.

УПРАЖНЕНИЯ 11.3.2

3. Первый этап: 100 единиц продукции произведено в обычном режиме, 50 — за счет сверхурочных работ и 23 единицы — на условиях субподряда. Второй этап: 40 единиц продукции произведено в обычном режиме, 60 единиц — за счет сверхурочных работ и 80 — на условиях субподряда. Третий этап: 90 единиц продукции в обычном режиме, 80 единиц — за счет сверхурочных работ и 70 — на условиях субподряда. Четвертый этап: 60 единиц продукции в обычном режиме и 50 единиц — за счет сверхурочных работ. Пятый этап: 60 единиц продукции в обычном режиме, 50 — за счет сверхурочных работ и 83 — на условиях субподряда.

УПРАЖНЕНИЯ 11.3.3

1. а) Нет, поскольку нет необходимости в запасах после окончания периодов планирования.

b) i) 0 < z, < 5, 1 < г₂ < 5, 0 < г₃ < 4, х, = 4, 1 < х₂ < 6, 0 < х₃ < 4.

1. а) г, = 7, г₂ = 0, г₃ = 6, г₄ = 0. Общие затраты составляют 33 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 11.3.4

1. В первый период нет заказа, во второй — заказ на 112 единиц, в третий нет заказа, в четвертый период заказ на 67 единиц; стоимость = 632 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 11.3.5

1. В январе необходимо произвести 210 единиц изделия, 255 единиц изделия в апреле, 210 — в июле и 165 — в октябре. Общая стоимость = 1930 долл.

Глава 12

ГЛАВА 12

УПРАЖНЕНИЯ 12.1.1

1. а) 0,15, 0,25. Ь)0,571. с)0,821.

2. п>23.

3. /г>253.

УПРАЖНЕНИЯ 12.1.2

4. Обозначим через р вероятность победы Лизы. Тогда вероятность победы Джона равна Зр, что совпадает с вероятностью победы Джима. Вероятность победы Анны равна 6р. Вероятностьр находится из равенства р + Зр + Зр + 6р = 1.

УПРАЖНЕНИЯ 12.1.3

1. а) 0,4.

5. 0,9545.

УПРАЖНЕНИЯ 12.2.1

2. К = 20.

3. Р{потребность> 1100} = 0,3.

УПРАЖНЕНИЯ 12.3.1

3. а) Р{х>50} = 2/3.

Ь) Ожидаемое число непроданных газет — 2,67.

УПРАЖНЕНИЯ 12.3.2

1. Математическое ожидание — 3,667, дисперсия— 1,556.

УПРАЖНЕНИЯ 12.3.3

1. a) P{x_l = l,2, 3}=Р{х₂= 1, 2, 3} = (0,4, 0,2, 0,4). b) Нет.

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.1

1. (0,5)¹⁰.

3. Вероятность этого события равна 0,0547 при условии, что все предсказания будут случайными (т.е. все исходы будут равновероятными).

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.2

1. 0,8646.

3. а) Р₀»0.Ь)Р„_г,=.1.

Приложение Г. Частичные ответы к некоторым упражнениям

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.3

1. X = 12 посетителей в минуту. P{t < 5 сек.} = 0,63.

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.4

2. 0,0014.

ГЛАВА 14

УПРАЖНЕНИЯ 14.1.1

1. w_A = 0,44214, w_B = 0,25184, w_c = 0,30602.

УПРАЖНЕНИЯ 14.1.2

1. w_s = 0,331, Wj = 0,292, w_M = 0,377. На работу следует принять Маиса. 3. w_p = 0,502, w_H = 0,498, CR_A = 0,0072 < 0,1.

УПРАЖНЕНИЯ 14.2.1

2. а) См. рис. Г.14.

b) МУ(Кукуруза) = -8250 долл., МУ(Бобы) = 250 долл. Следует выбрать со­евые бобы.

6. а) См. рис. Г.15.

Ь) МУ(Игра) = -0,025 долл. В эту игру не следует играть.

0,125 (ГГТ)

Кукуруза

Соевые бобы

U 0,25

0,30

D 0,45 U 0,25

0,30

D 0,45

30 000

-35 ООО

10 000

-5 000

Играть

3,5

0,125 (ГГР)

0,125 (ГРГ)

1,1

0,9

0,125 (ГРР)

О о,

125 (PIT)

1,1

0,125 (РГР)

0,125 (РРГ)

0,125 (РРР)

Не играть

Рис. Г.14

Рис. Г.15

Глава 14

УПРАЖНЕНИЯ 14.2.2

2. Пусть 2 обозначает событие, что в партии из 5-ти деталей обнаружена одна дефектная. Тогда Р{А\г) = 0,6097, Р{В\г) = 0,3903.

4. а) Если публиковать самостоятельно, то ожидаемый доход составит 196 тыс. долл. Если роман отдать издателю, то ожидаемый доход составит 163 тыс. долл.

Ь) Если исследование предсказывает успех романа, то его следует публико­вать самостоятельно, иначе его надо отдать издателю.

7. Ь) Если в результате проверки оба изделия являются качественными, то пар­тия изделий отправляется потребителю А.

УПРАЖНЕНИЯ 14.2.3

1. а) Нет смысла, так как МУ(возврат) = 5 долл.

b) Для 0 < х < 10 Щх) = 0, U(x) = 100 при х = 10.

c) Да, надо играть.

2. Лотерея: Щх) = 100 - 100р.

УПРАЖНЕНИЯ 14.3

1. а) По всем критериям следует выбрать альтернативу а₃. Ь) Все критерии указывают или на альтернативу а₂ или а₃.

УПРАЖНЕНИЯ 14.4.1

1. а) Седловая точка (2, 3). Цена игры равна 4.

3. а) Обозначим через v цену игры. Тогда 2 < v < 4.

УПРАЖНЕНИЯ 14.4.2

1. Каждый игрок должен использовать смешанные стратегии 50-50. Цена игры равна 0.

3. а) (^,^ = (0,5,0,5), (y_vy₂,y₃) = (0,0,65, 0,35), и = 0,5.

b) (x_v х₂, х₃) = (0,25, 0,75, 0), (г/„ у₂) = (0,75, 0,25), v = 5,75.

УПРАЖНЕНИЯ 14.4.3

2. a) UA: (*„ х₂, х₃, х₄) = (0, 0,5, 0, 0,5), DU: (г/„ у₂, у₃, y_t) = (0,14, 0,34, 0,27,

0,25), и = 0,5.

4. Оба игрока применяют стратегии (1, 2) и (2, 1) с вероятностями 0,571 и 0,429 соответственно.

ГЛАВА 15

УПРАЖНЕНИЯ 15.1

2. 1-й день: продавать, если предлагают высокую цену. 2-й день: продавать, если предлагают высокую или среднюю цены. 3-й день: продавать за любую цену.

Приложение Г. Частичные ответы к некоторым упражнениям

УПРАЖНЕНИЯ 15.2

1. Первый год: инвестировать все 10 ООО долл. Второй год: инвестировать все накопленные деньги. Третий год: воздержаться от инвестиций. Четвертый год: инвестировать все накопленные деньги.

4. Центр 1 — 2 велосипеда, центры 2 и 3 — по 3 велосипеда. УПРАЖНЕНИЯ 15.3

3. Игра 1: ставка — 1 долл. Игра 2: ставка — 1 долл. Игра 3: ставка — 1 долл., если был выигрыш в предыдущей игре, иначе третью игру пропустить.

ГЛАВА 16

УПРАЖНЕНИЯ 16.1.1

1. а) Заказ в 1000 единиц следует делать тогда, когда уровень запаса опустится до 537 единиц.

УПРАЖНЕНИЯ 16.1.2

1. а) 3,125 заказов. Ь) 312,50 долл. в месяц, с) 408 долл. d) 2,0397 долл. е) 0,06. 3. у = 316,85 галлонов, R" = 58,73 галлонов.

УПРАЖНЕНИЯ 16.2.1

3. 19<р<35,7.

6. Приблизительно 39 пальто.

УПРАЖНЕНИЯ 16.2.2

1. Если х < 3,528, то заказ = 8 - х, иначе заказ не делать.

УПРАЖНЕНИЯ 16.3,А

2. Если х < 4,61, то заказ = 4,61 - х, иначе заказ не делать.

ГЛАВА 17

УПРАЖНЕНИЯ 17.1

1. а) Эффективность обслуживания—71%.

Ь) Оба требования нельзя удовлетворить одновременно.

УПРАЖНЕНИЯ 17.2 1.

Ситуация	Клиент	Сервис
а	Самолет	Взлетно-посадочная полоса
b	Пассажир	Такси

Глава 17

УПРАЖНЕНИЯ 17.3

2. b) Л = 6 заявок в час, средний интервал времени между поступлениями зая­вок = 1/6 часа.

с) р. = 5 обслуживании в час, среднее время обслуживания = 0,2 часа.

5. a) f(t) = 20exp(-20<), t > 0. b) P{t > 15/60} = 0,00674.

9. Официант 0₂ получает 2 цента с вероятностью P{t < 1} = 0,4866 и платит 2 цента с вероятностью P{t > 1} = 0,5134. Средний выигрыш официанта О, за восьми­часовой период составляет 17,15 центов.

12. a) P{t< 4 минуты} = 0,4866.

b) Среднее время ожидания = 6,208.

УПРАЖНЕНИЯ 17.4.1

1. Р„>₅(1 час) = 0,5595.

4. a) P₂(t = 7) = 0,24167.

6. а) Вычисляем К =1/10 + 1/7. P₂(t = 5) = 0,219.

УПРАЖНЕНИЯ 17.4.2

2. a) [xt =9, p₀(t = 3) = 0,00532.

c) = 3, р„<₁₇(* = 1) = 0,9502.

5. \it =4, р₀(4) = 0,37116.

8. а) Средний недельный объем заказа = 25 - 7,11 = 17,89. b) иг = 12, p₀(t = 4) = 0,00069.

УПРАЖНЕНИЯ 17.5

3. а) р„>₃ = 0,4445. b) Ь)р„<₂ = 0,5555.

6. а) р_у = 0,2,у = 0, 1,2, 3,4.

b) Ожидаемое число клиентов в парикмахерской — 2.

c) р₄ = 0,2.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.1

1. a) L_q = 1р₆ + 2р₁ + Зр₈ = 0,1917 автомобиля.

c) 0,1263 автомобиля в час.

d) Среднее количество свободных мест на стоянке = с - (L_s - L_?) =

8 8

= с-£нр„+ £ (п-с)р„.

Приложение Г. Частичные ответы к некоторым упражнениям

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.2

2. а) р₀ = 0,2.

b) Среднемесячный заработок = 50 х pt = 375 долл.

c) Средняя плата = 40 xL_?= 128 долл.

5. а) р₀ = 0,4. Ь) L, = 0,9.

d) р„_г, = 0,0036.

6. Не менее 13 мест.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.3

1. Р{т> 1} = 0,659.

5. 37,95 долл. за 12-часовый рабочий день.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.4

1. а) р₀ = 0,3654.

b) W_q = 0,207 часа.

c) Количество свободных мест = 4 - L_q = 3,212.

e) р. = 10 уменьшит W_q примерно до 9,6 минуты.

4. а) р₈ = 0,6.

с) Вероятность появления свободного места на конвейере не превышает 0,4 при любой производительности конвейера. Поэтому загрузка сборочного цеха не может превысить 60%.

7. а) 1-р₅ = 0,962.

b) А. _я = А.р₅ = 0,19 клиентов в час.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.5

1. а) 0,711. Ь) 0,596.

c) 0,4 автомобиля для с = 2 и 0,8 — для с = 4.

d) Пять и более автомобилей.

5. Не менее 10 мест. 7. а) р„_г4 = 0,65772.

Ь) Ь) 0,667 ЭВМ.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.6

2. с) 81,8%.

a) d)p₂+p₃+p_t = 0,545. 4. а) р₄₀ = 0,00014.

b) Рзо+Рз1 ⁺ -+Рз₉ = 0,02453.

Глава 17

d) Среднее количество занятых мест = L_t - L_q = 20.

f) Вероятность того, что стоянка будет полностью заполнена, равна 1 -р„<₂₉ = = 0,02467. Число студентов, которые не смогут припарковаться на про­тяжении восьмичасового периода, примерно равно 4.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.7

2. а) Примерно 7 мест. Ь) р„>₈ = 0,2911.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.8

1. Ь) Среднее число свободных механиков = 4 - (L, - L_q) = 2,01 механиков, d) Р{2 или 3 механика свободны} = р₀ + р, = 0,34492.

4. a) L_t = 1,25 станка.

b) р₀ = 0,33341.

c) W, = 0,25 часа.

6. X = 2 крика на одного ребенка в час, и, = 0,5 ребенка в час, R = 5, К = 5.

a) Среднее число бодрствующих малышей = 5 - L_s = 1.

b) Р₅ = 0,32768.

c) p„_S2 = 0,05782.

УПРАЖНЕНИЯ 17.7

2. a) M{i) = 14 мин.т, D{r} = 12 мин.^[8], L, = 7,867 автомобиля.

4. X = 0,0625 заказа в минуту, M{t) = 15 мин., D{t) = 9,33 мин.^[9].

a) Р₀ = 0,0625.

b) L_q = 7,3 заказа.

c) W_t = 132,17 мин.

УПРАЖНЕНИЯ 17.9.1

2. Примените модель (М/М/1): (GD/10/10). Один час работы первого механика стоит 431,50 долл., второго — 386,50 долл.