Доказательство приведением к противоречию

Частным случаем косвенных методов доказательства является приведение к противоречию (от противного). В этом методе используются следующие равносильности:

AÉB º Ø(AÉB) É (C&ØC) º (A&ØB)É(C&ØC),

AÉB º (A&ØB)ÉØA,

AÉB º (A&ØB)ÉB.

Используя вторую из приведенных равносильностей для доказательства AÉB мы допускаем одновременно A и ØB, т.е. предполагаем, что заключение ложно:

Ø(AÉB) º Ø(ØAÚB) º A & ØB.

Теперь мы можем двигаться и вперед от A, и назад от ØB. Если B выводимо из A, то, допустив A, мы доказали бы B. Поэтому, допустив ØB, мы получим противоречие. Если же мы выведем ØA из ØB, то тем самым получим противоречие с A. В общем случае мы можем действовать с обоих концов, выводя некоторое предложение C, двигаясь вперед, и его отрицание ØC, двигаясь назад. В случае удачи это доказывает, что наши посылки несовместимы или противоречивы. Отсюда мы выводим, что дополнительная посылка A&ØB должна быть ложна, а значит противоположное ей утверждение AÉB истинно. Метод приведения к противоречию часто используется в математике. Например, в геометрии мы можем допустить, что углы при основании некоторого треугольника равны, а противолежащие стороны не равны, и попробовать показать, что при этом и углы должны быть не равны, или получить еще какое-то противоречие.