Арифметические операции в различных системах счисления

Все арифметические операции в системе счисления с основанием р проводятся в соответствии с известными правилами выполнения арифметических действий в десятичной системе счисления, но при этом используются таблицы сложения и умножения, составленные для данной системы счисления.

Рассмотрим сложение.

Сложение производится поразрядно, начиная с младшего, используя соответствие таблицы сложения. Так, для двоичной, системы счисления имеем:

0+0 = 0

0+1 = 1

1+0 = 1

1+1 =10.

Примеры сложения чисел.

Пример 3.2. Пример 3.3.

101011, 1101 ₍₂₎ 245,0 ₍₈₎

10010, 1011 ₍₂₎ 734,7 ₍₈₎

111110, 1000 ₍₂₎. 1201,7 ₍₈₎.

Правило вычитания чисел в системе счисления основанием р представляется так:

a_k = a_i - a_j при a_i ³ a_j,

a_k = p + a_i – a_j при a_i < a_j,

т.е. при a_i < a_j занимается ”1“ старшего разряда, содержащая р единиц младшего разряда. Таблица вычитания для двоичной системы счисления:

0-0=0

1-0=1

1-1=0

10-1=1.

Примеры вычитания чисел:

Пример 3.4. Пример 3.5.

1001,01 ₍₂₎ 1352,2 ₍₈₎

110,11 ₍₂₎ 743,5 ₍₈₎

0010,10 ₍₂₎. 406,5 ₍₈₎ .

При умножении используется таблица умножения, которая может быть легко составлена из таблицы сложения. Так, скажем,

.

Таким же образом можно составить всю таблицу. Наиболее проста таблица для двоичной системы:

0´0=0

0´1=0

1´0=0

1´1=1.

Пример 3.6:

Как видим, процесс умножения сводится к операциям сдвига множимого и прибавления его к сумме частичных произведений.

Деление выполняется по правилам, аналогичным десятичной системе счисления, но с использованием соответствующих таблиц сложения и умножения. Рассмотрим деление целых чисел в двоичной системе счисления (при дробных числах освобождаются от дробей умножением на одно и то же число). При делении в делимом выделяют минимально возможную группу разрядов, образующих число, равное или большее, делителя. Если такая группа образуется, то в частном записывают 1, если нет – 0. Затем образуется новая группа разрядов путем вычитания из выделенной группы делителя и приписыванием к полученной разности следующей цифры делимого и т.д.

Пример 3.7. Разделить число 111111,01₍₂₎ на 101,1 ₍₂₎.

Умножим оба числа на 100 ₍₂₎ и будем делить два целых числа: