![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Решение не линейного уравнения F(x)=0 состоит из двух этапов:
1. Отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей в каждой из которых заключен ровно один корень уравнения или системы уравнений.
2. Вычисление каждого отдельного корня с заданной точностью.
Провести полное отделение всех корней это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки в каждом из которых содержится ровно по одному корню или не содержит ни одного корня.
Отделение корня можно произвести графически, предварительно построив графики функций и получить интервалы в которых находятся корни уравнений..
Далее эти предположения проверяют аналитически, пользуясь свойствами непрерывных функций, с сопутствующим анализом на монатомность анализ смену знаков.
Теорема 1. (О существовании корня)
Если f(х) непрерывно на отрезке АВ и принимая на концах значение разных знаков f (А) * f (В) < 0, тогда на отрезке АВ существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0 (корней может быть несколько).
Теорема2. (О единственности корня).
Если f(х) не прерывно на отрезке АВ и принимает на концах значение разных знаков f (А) * f (В) < 0, а производная f ‘(х) сохраняет внутри отрезка постоянный знак (+ или -), тогда внутри отрезка АВ содержится корень уравнения f (x)=0 и притом единственный.
Рассмотри 3 способа отделения корня Х.
1. Составляется таблица значений функции y = f(x) на промежутке аргумента х, т.е. вычисляется значение f(х) начиная с точки х = а, далее двигаемся вправо с некоторым шагом h до точки В и если окажется, что для соседних значений аргументов значение функции f(х) имеет разные знаки, тогда корень уравнения f(х)=0 находится между ними.
2. Строится график функции f(х) = 0 на промежутке изменения аргумента Х, тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях в точках пересечения графика с осью ОХ.
3. Уравнение f(х) = 0 заменяется равносильным y (x) = Ψ (х). Строятся графики функции у = f(х) и у = Ψ (х). Тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях проекции на ось ОХ точек пересечения этих графиков.
Пример.
(x - 2)(x + 3) = 0
[ -5; 4]; h = 0.9
1) [ -5; -4.1 ]
f (-5) * f (- 4.1) > 0 (нет корня)
2) [ -4.1; -3.2 ]
f (-4.1) * f (- 3.2) > 0 (нет корня)
3) [ - 3.2; - 2.3 ]
f (-3.2) * f (- 2.3) < 0 (есть корень)
…………………………………………………..
[1.3; 2.2 ]
f (1.3) * f (2.2) < 0 (есть корень)
……………………………………….
Метод деления пополам.
Из рассматриваемых методов является простейшим и состоит в следующем.
Допустим удалось найти отрезок АВ, на котором расположен один корень уравнения Х*. В качестве нач. приближения к корню принимаем середину этого отрезка Х (0) = (А+В)/2.
Далее исследуем значение функции f(х) на концах отрезка [ А; Х0 ], [ Х0; В].
Тот из отрезков на концах которого f(х) принимает значение разных знаков содержит искомый корень, поэтому принимает в качестве нового исследуемого отрезка. Вторую половину отрезка АВ не рассматриваем, т.к. корня там нет.
В качестве первого приближения к корню принимает середину нового отрезка и т.д.
После каждого приближения итерации отрезок на котором расположен корень уменьшается в двое, т.е. после К – й итерации он сокращается в 2К раз.
Математически формулы метода деления пополам выглядят следующим образом:
а0 = а, в0 = в
х0 =
аК+1 = { аК, если f(аК) * f (хК) < 0
хК иначе
вК+1 = { вК, если f(вК) * f (хК) ≥ 0
хК иначе
хК+1 =
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока │f(xK+1) │≤ E, где Е – заданная точность. После этого с погрешностью Е полагают, что корень Х*» ХК+1.
Другим вариантом условия окончания К-итерации служит соотношение: (В – А)/2К ≤ E.
A = DA -? a = 2; b = 1; Da = 0.001; Db = 0.002
DA = =
=
=
= (ABS(SIN(B1) – EXP(B2)) * 3 (B1)^2 * (B3) + (B4) / (B2) + ABS ((B1)^3 + LN (B2)) * COS (B1) * (B3) – EXP (B2) * (B4) / (((B1)^3 + LN (B2))^2)))
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 701 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!