Розглянемо схему використання МНК для випадку лінійної залежності між фізичними величинами Х (аргумент) та Y (функція), що має вигляд

(21.0.)

де α і b –шукані параметри інтерполяційної формули.

Експериментально знайдені масиви значень Y_і, які відповідають масиву значень Х_і . Тобто можна записати для n пар Х та Y

(22.0.)

Параметри α і b повинні задовольняти умові мінімальності суми квадратів відхилень експериментальних точок від інтерполяційної лінії, тобто

(23.0.)

Для нев'язки S, використовуючи (23.0.) можна записати

(24.0.)

Після диференціювання цього виразу по α і b, шукаємо умови екстремуму – мінімум суми квадратів відхилень експериментальних точок від інтерполяційної лінії

(25.0.)

врахувавши, що ., розв'яжемо систему рівнянь (25.0.)

(26.0.)

де - стандартні відхилення (середньо-квадратичні похибки) виміряних величин, а - коефіцієнт кореляції між Х та Y.

Якість наближення експериментальної залежності інтерполяційною формулою (24.0.) можна оцінити, розрахувавши нев'язку

. (27.4.)

Очевидно, що величина коефіцієнта кореляції (0 £r £ 1) визначає степінь наближення масиву експериментальних точок до лінійної залежності. При r = 1 має місце строго лінійна залежність між Х та Y, а в інших випадках – лише наближено лінійна.

Степінь надійності отриманих параметрів α і b оцінюється довірчими межами надійних границь

. (28.0.)

де t_р - коефіцієнт розподілу Ст'юдента для масиву з n вимірів при довірчій імовірності р.

Математичні програмні системи такі, як Grapher, Origin чи MathCad дозволяють одночасно лінеарізувати інтерполяційні функції, знаходити їх параметри і оцінки надійності інтерполяції.

Література

1.0. Зайдель А. Н. Ошибки измерений физических величин. Л.: Наука, 1974,-108 с.

2.0..Бурдун Г. Д., Марков Б. Н. Основы метрологии. 2-е изд. М.: Изд-во стандартов, 1975.- 335 с

3.0..Рабинович С.Г. Погрешности измерений.-Л.:Энергия.1978.-262 с.

4.0..Новицкий П.В. Основы информационной теории измерительных устройств. Л.: Энергия, 1968.-248 с.

5.0..Дринфельд Г.И. Интерполирование и способ наименших квадратов.К.Вища школа.1984.-102с.

Лабораторна робота №1