Законы теплового излучения

Закон Планка. Этот закон устанавливает характер спектра излучения абсолютно черного тела в пустоте, то есть распределение энергии излучения абсолютно черного тела по частотам

(11)

то же по длинам волн:

(12)

где: и - спектральные плотности излучения абсолютного черного тела;

h = 6.63×10^-34 Дж×с - постоянная Планка; c» 3,00×10⁸ м/с - скорость света в вакууме; k = 1,38×10^-23 Дж/К постоянная Больцмана;

Вт×м²; м×К

Закон смещения Вина. При обычно встречающихся на практике температурах основной вклад в излучение дает диапазон длин волн примерно от 0,4 мкм до нескольких сотен микрометров, который именуется "тепловым". Каждой температуре T соответствует длина волны , для которой значение максимально. Условие экстремума

приводит к соотношению, называемому законом смещения Вина

мкм×К (13)

Закон Стефана-Больцмана. Закон определяет зависимость интегральной плотности потока излучения от температуры для абсолютно черного тела. Искомое выражение для определяется интегрированием энергии по спектру закона Планка

.

Это соотношение было найдено экспериментально Стефаном и теоретически Больцманом (еще до открытия закона Планка) в следующем виде

, (14)

где s =5,67×10^-8 Вт/(м²×К⁴) - постоянная Стефана-Больцмана.

Собственное излучение реальных тел E(T) можно представить как долю излучения абсолютно чёрного тела при той же температуре

, (15)

где e (T) - интегральный коэффициент теплового излучения (или интегральная степень черноты) тела (e £ 1), зависящий от материала, состояния поверхности и температуры.

Для многих технических поверхностей зависимость e от температуры достаточно слабая, так что соотношение (15) дает удобную формулу для расчёта излучения реальных тел

(16)

Для некоторых технически важных материалов примерные значения e приведены в табл. 1. Более детальная характеристика излучающей поверхности - спектральный коэффициент теплового излучения (спектральная степень черноты)

или (17)

получается из сравнения монохроматических потоков излучения данного тела и абсолютно чёрного тела при фиксированных температуре и длине волны или частоте.

Таблица 1. Интегральная степень черноты для различных материалов.

Материал	t, °С	e
Алюминий: полированный шероховатый окисленный при 600 °С Вольфрам полированный Вольфрамовая нить   Вольфрамовая нить, бывшая в употреблении Железо: полированное свежеобработанное наждаком окисленное окисленное гладкое литое необработанное Стальное литьё полированное Сталь: листовая шлифованная окисленная при 600 °С листовая с плотным блестящим слоем окиси Чугун: обточенный окисленный при 600 °С Оксид железа Золото, тщательно полированное Латунная пластина: прокатанная с естественной поверхностью прокатанная и обработанная грубым наждаком тусклая Латунь, окисленная при 600 °С Медь: тщательно полированная, электролитная торговая, шабрённая до блеска, но не зеркальная окисленная при 600 °С расплавленная Оксид меди Молибден полированный   Молибденовая нить Никель: технически чистый полированный окисленный при 600 °С Никелированное травлёное железо, неполированное Никелевая проволока Оксид никеля Хромоникель Олово, блестящее лужёное листовое железо Платина: полированная пластина лента нить проволока Ртуть очень чистая 13 - 773 Свинец: серый окисленный окисленный при 200 °С Серебро полированное чистое Хром Цинк (99,1 %) полированный окисленный при 400 °С Оцинкованное листовое железо: блестящее серое окисленное Асбестовый картон Асбестовая бумага Бумага тонкая, наклеенная на металлическую пластину Вода Гипс Дуб строганный Кварц плавленый шероховатый Кирпич: красный шероховатый, но без больших неровностей динасовый неглазурованный, шероховатый динасовый глазурованный, шероховатый шамотный глазурованный огнеупорный Лак: белый эмалевый, на железной шероховатой пластине чёрный блестящий, распылённый на железной пластине чёрный матовый белый Шеллак: чёрный блестящий, на лужённом железе чёрно-матовый Масляные краски различных цветов Алюминиевые краски различной давности и с переменным содержанием Алюминиевый лак на шероховатой поверхности Алюминиевая краска после нагрева до 325 °С Мрамор сероватый, полированный Резиновая твёрдая лощёная пластина Резина мягкая серая шероховатая (рафинированная) Стекло гладкое Сажа: свечная копоть с жидким стеклом ламповая толщиной 0,075 мм и больше Толь Уголь очищенный (0,9 % золы) Угольная нить Фарфор глазурованный Штукатурка шероховатая известковая Эмаль белая, приплавленная к железу	225 - 575 200 - 600 40 - 540 540 - 1100 40 - 3300   425 - 1020 125 - 525 925 - 1115 770 - 1040   940 - 1100 200 - 600   830 - 990 200 - 600 500 - 1200 225 - 635   50 - 350 200 - 600   80 -115 200 - 600 1075 - 1275 800 - 1100 40 - 260 540 - 1100 725 - 2600   225 - 375 200 - 600 185 - 1000 650 - 1255 125 - 1034   225 - 625 925 - 1115 25 - 1230 225 - 1375 0 - 100   225 - 625 100 - 1000   225 - 325   40 - 370   0 - 100     -       40 - 95 40 - 95   75 - 145   150 - 315   95 - 270 100 - 185 40 - 370 125 - 625 1040 - 1405 10 - 88	0,039 - 0,057 0,055 0,11 - 0,19 0,04 - 0,08 0,11 - 0,16 0,39 0,03 - 0,35   0,144 - 0,377 0,242 0,736 0,78 - 0,82 0,87 - 0,95 0,52 - 0,56   0,55 - 0,60 0,80 0,82   0,60 - 0,70 0,64 - 0,78 0,85 - 0,95 0,018 - 0,035   0,06 0,20 0,22 0,61 - 0,59   0,018 - 0,023 0,072 0,57 - 0,87 0,16 - 0,13 0,66 - 0,54 0,06 - 0,08 0,11 - 0,18 0,096 - 0,292   0,07 - 0,087 0,37 - 0,48 0,11 0,096 - 0,186 0,59 - 0,86 0,64 - 0,76 0,043 - 0,064   0,054 - 0,104 0,12 - 0,17 0,036 - 0,192 0,073 - 0,182 0,09 - 0,12   0,281 0,63 0,0198 - 0,0324 0,08 - 0,26   0,045 - 0,053 0,11   0,228 0,276 0,96 0,93 - 0,945 0,924   0,95 - 0,963 0,903 0,895 0,932   0,93   0,80 0,85 0,75 0,8 - 0,9   0,906   0,875   0,96 - 0,98 0,80 - 0,95   0,821 0,91 0,92 - 0,96 0,27 - 0,67   0,39 0,35 0,931 0,945 0,859 0,937   0,952 0,959 - 0,947 0,945 0,910 0,81 - 0,79 0,526 0,924 0,91 0,897

Закон Кирхгофа. Закон устанавливает численное равенство спектральных величин коэффициентов теплового излучения и поглощения:

(18)

Строго равенства (18) доказываются для условий термодинамического равновесия (тело и окружающая среда находятся при одной и той же температуре, лучистый теплообмен отсутствует). Однако физическое представление о процессах испускания и захвата квантов энергии дают основание считать равенства спектральных величин (18) приближённо правомерными и для многих неравновесных ситуаций, в которых состояние вещества в том реальном поверхностном слое, где формируется собственное излучение и протекает поглощение, можно характеризовать определённой температурой, к которой и относится это равенство.

Интегральные по спектру коэффициенты теплового излучения и поглощения так же равны между собой только в условиях термодинамического равновесия

. (19)

Соотношение (19) выражает закон Кирхгофа для интегральных характеристик.

В неравновесных условиях равенство (19) имеет место только для так называемой модели серого тела, у которого спектральные коэффициенты теплового излучения и поглощения не зависят от частоты (длины волны): они одинаковы в любой части спектра. Поэтому для такого тела ; и в силу (18) . С известным приближением некоторые технические поверхности можно считать серыми. Модель серого тела существенно упрощает вычисления и поэтому широко применяется в приближённых инженерных расчётах.

Закон Ламберта. Этот закон устанавливает, что интенсивность излучения на поверхности абсолютно чёрного излучателя не зависит от угла и направления. Следствием этого является выражение, дающее распределение энергии по направлениям:

. (20)

Выражение (20) определяет поток энергии , излучаемой элементарной площадкой dF, внутри телесного угла в направлении, расположенном под углом j с нормалью к поверхности. Тела, излучение которых подчиняется закону Ламберта, называются диффузными излучателями. Излучение реальных твёрдых тел, как правило, не подчиняется закону Ламберта. Металлы имеют максимум интенсивности при углах j, равных примерно 40° - 80°, т. е. при наблюдении поверхности под значительным углом. Напротив, диэлектрики дают наибольшую интенсивность излучения в направлении нормали и малое значение при больших углах j. В инженерных расчётах эти осложнения часто обходят и не учитывают; с целью облегчения анализа реальные поверхности трактуются как диффузные излучатели.

ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТЕЛАМИ, РАЗДЕЛЁННЫМИ ПРОЗРАЧНОЙ

СРЕДОЙ

1. Постановка задачи и общий метод расчёта

При инженерных расчётах лучистого теплообмена между телами, разделёнными прозрачной (диатермичной) средой, вводятся ряд упрощений. Наиболее широко распространено предположение о том, что поверхности излучения - серые, их эффективное излучение является диффузным и характеризуется неизменной плотностью на изотермических участках поверхностей системы. В этом приближении для проведения расчетов требуется минимальная исходная информация: необходимо знать интегральные коэффициенты теплового излучения поверхностей системы и размещение тел в пространстве.

Типовая задача. Имеется замкнутая система известной геометрии, состоящая из N изотермических поверхностей, имеющих температуры T_i и коэффициенты теплового излучения e_i (i =1,2,... N). Требуется рассчитать лучистый теплообмен в такой системе, т.е. найти результирующие лучистые потоки E_{рез i} для каждой поверхности.

Метод решения. Результирующий лучистый поток для i -ой поверхности находится после исключения потока падающего излучения E_пад,i из уравнений (9) и (10)

(21)

Это соотношение связывает собственное, эффективное и результирующее излучения данной поверхности. Для серых поверхностей из (21) следует

(22)

отсюда видно, что если известны эффективные потоки E_эф,i излучения в системе, то можно определить искомые результирующие потоки E_рез,i.

Выражения для эффективных потоков для каждой i -ой поверхности можно представить в виде

(23)

В правой части этих соотношений первые слагаемые представляют потоки собственного излучения, а суммы, умноженные на (1- e_i), дают потоки отраженного излучения.

В соотношении (23) j_1-i , j_2-i ,..., j_n-i представляют собой так называемые угловые коэффициенты - геометрические характеристики пространственного расположения тел. Методы их расчета см. ниже. При известных угловых коэффициентах соотношения (23) образуют систему из N линейных алгебраических уравнений относительно N неизвестных величин E_эф,i (i=1, 2,....). Решение системы (23) дает с учетом (22) решение задачи.

На практике возможны и иные постановки задачи. Так, иногда можно считать известными результирующие потоки E_рез,i , а искомыми - температуры поверхностей T_i. Нередко возникает смешанная постановка: для части поверхностей известны T_i, для других E_рез,i. Во всех случаях решение получается на базе приведенных алгебраических соотношений (22) и (23), которые составляют основу метода.

Сейчас разрабатываются более строгие методы, в которых используется меньшее число упрощений (например, отказ от модели серого излучения или диффузионного характера излучения поверхности и др.). Они оказываются существенно более сложными и обсуждаются, например, в [1].

Ниже на основе изложенного метода приведены решения ряда простых задач.

1. Теплообмен излучением между двумя плоскими параллельными серыми поверхностями неограниченных размеров (рис. 1,а):

, (24)

. (25)

а)	б)	в)

Рис.1 Две плоскопараллельные пластины (а), тело и оболочка (б), тепловые экраны (в)

2. Теплообмен излучением между невогнутой серой поверхностью 1 и облегающей ее серой поверхностью 2 (рис.1,б), которые вместе образуют замкнутую систему:

; (26)

(27)

Формула (27) при сделанных выше допущениях правомерна для любых систем, лишь бы меньшее из тел (первое) было невогнутым, т.е. не излучало само на себя. Последнее выполняется для плоских и выпуклых очертаний поверхности.

3. Теплообмен излучением между двумя плоскими поверхностями бесконечной протяженности, между которыми помещены n слоев фольги, играющих роль тепловых экранов (рис.1,в). Коэффициент теплового излучения экрана равен e_э и отличен в общем случае от коэффициентов излучения поверхностей e₁ и e₂:

(28)

Формула (28) широко применяется для расчета тепловых экранов. При e₁ = e₂ = e_э один экран снижает поток теплоты излучением в 2 раза, два экрана - в 3 раза, n экранов - в n +1 раз. Больший эффект дают экраны с малыми значениями e_э.