лекций по микроэкономике 22 страница

Здесь обозначено DQ₁ = Q₁ + Q₀ - приращение объема продаж при введении налога (оно, очевидно, отрицательно). Все результаты сведены в табл. 5. Принимая во внимание, что P^D₁ - P^S₁ = T, можно убедиться в справедливости равенства:

M1 + L = - (DMD + DMS)   Подведем некоторые итоги. Установление налога на некоторый товар сопровождается "изъятием" части излишка потребителей и продавцов. Налоговый сбор поступает в бюджет государства и затем расходуется на цели, определяемые государством; в частности, они могут быть направлены на дотации производителям других товаров. Часть налоговых средств будет затрачена на содержание аппарата, занятого организацией сбора налогов и контролем за этим процессом. Но даже если считать эти затраты пренебрежимо малыми и не принимать их во внимание, считая, что весь налоговый сбор будет использован со 100 %-ной эффективностью, все равно установление потоварного налога вызывает потери непосредственно на рынке данного товара. Величина этих потерь, как показывает равенство (6), пропорциональна налоговой ставке и сокращению объема продаж. В свою очередь, как следует из соображений геометрического подобия, величина DQ также пропорциональна налоговой ставке:   DQ = -aT, (7) где коэффициент а зависит от параметров кривых спроса и предложения. Таким образом, на рынке определенного товара чистые потери, вызываемые введением нетоварного налога, пропорциональны квадрату налоговой ставки: L = aT2/2. (8) Как отмечалось на качественном уровне в лекции 10, смещение равновесия, вызванное налогом, тем значительнее, чем сильнее реагируют спрос и предложение на изменение цен. Здесь мы дадим этой величине количественную оценку, по-прежнему исходя из допущения о линейности кривых спроса и предложения в окрестности точки равновесия. Запишем функции спроса и предложения в отклонениях от равновесной точки: Q - Q0 = -b(P - P0), Q - Q0 = с(P - P0). Здесь величины -b и с - производные функций спроса и предложения по цене (угловые коэффициенты наклона кривых спроса и предложения к линии цен); в уравнении спроса Р обозначает цену, которую платит покупатель, а в уравнении предложения - цену, получаемую продавцом. При введении налога цена продавца на Т единиц меньше цены покупателя, и новое равновесие в ценах покупателя описывается системой уравнений: { DQ = -b(PD1 - P0), DQ = c(PD1 - T - P0). Здесь левые части одинаковы; приравнивая правые части, находим: DPD = PD1 - P0 = cT/(b + c), Откуда: DPS = PS1 - P0 = PD1 - P0 - T, или: DPS = bT/(b + c). Таким образом, абсолютные отклонения цен покупателя и продавца обратно пропорциональны соответствующим коэффициентам крутизны наклона b и с; как показывают равенства (3) и (4), также соотносятся потери излишков: |DWD|/|DWS| = |DPD|/|DPS| = c/b. Этот результат, также на качественном уровне, обсуждался в лекции 10. Для отклонения объемов продаж получаем выражение: DQ = -bcT/(b + c). так что коэффициент к, фигурирующий в соотношении (7), равен: a = bc/(b + c) = 1/(1/c + 1/b). Он одинаково зависит от крутизны кривых спроса и предложения и возрастает с увеличением каждой из них. Дотации, увеличение излишков и потери Обсудим теперь ситуацию, симметричную только что рассмотренной. Допустим, что на некоторый товар установлена фиксированная дотация в размере V руб. на единицу товара, выплачиваемая из государственного бюджета производителю (которого мы здесь отождествляем с продавцом). Возникающая при этом ситуация представлена на рис. 9. Кривая предложения с точки зрения покупателя (S2) сдвигается по отношению к фактической кривой предложения (S) на V единиц вниз, равновесие перемещается из точки E0 в точку E2. Рис. 9. Потоварная дотация Излишки покупателей и продавцов возрастают: покупатели приобретают товар по более низкой цене и в большем объеме, продавцы реализуют свой товар по более высокой цене и также в большем объеме. Характеристика дотации как "налога наоборот" справедлива почти во всех отношениях. Это избавляет нас от необходимости детального разбора ситуации - читатель может сделать все это сам по аналогии. Равенства (3)-(6) сохраняют силу применительно к дотации, если всюду Т заменить на -V, а индекс 1 - на 2. Знак "минус" в выражении М2 = -VQ2 связан с тем, что теперь речь идет не о доходах, а о расходах бюджета. Результаты сведены в табл. 6. Таблица 6. Характеристики потоварной дотации Величина Площадь фигуры (рис. 9) Аналитическое выражение Изменение излишка покупателей Изменение излишка продавцов PD2P0E0E2 P0PS2ES2E0 [(Q0 + Q2)(P0 - PD2)]/2 [(Q0 + Q2)(PS2 - P0)]/2 Всего PD2PS2ES2E0E2 - V(Q0 + Q2)/2 Выплаты из бюджета (-) Потери PD2PS2ES2E2 E2E0ES2 -Q2V (Q2 - Q0)V/2 Всего PD2PS2ES2E0E2 -V(Q0 + Q2)/2

Но последствия введения потоварного налога и дотации не во всем противоположны. Сумма налогового сбора меньше, чем снижение излишков покупателей и продавцов; выплаты из бюджета при дотации, напротив, превышают суммарное увеличение их излишков. И в том, и в другом случае возникают чистые потери общества. При дотации их величина соответствует площади треугольной области E₀E^S₂E₂, выделенной на рис. 9 штриховкой. При замене Т на -V в равенстве (8) знак роли не играет, и для величины потерь мы получим выражение:

L = aV2/2, (10)

причем a - тот же самый коэффициент. Его величина определяется выражением (9).

Происхождение потерь

Итак, и потоварные налоги, и дотации сопровождаются возникновением чистых потерь общества. Более того, величина этих потерь в обоих случаях описывается одинаковыми выражениями (8) и (10). Теперь мы покажем, что потери, вызываемые противоположными воздействиями на рынок, имеют общую природу. Для этого мы рассмотрим производство и потребление данного продукта как единый процесс. Потребители продукта получают полезность, суммарная величина которой при объеме потребления Q описывается функцией TU(Q). Производители несут затраты, суммарная величина которых задается функцией TC(Q). Будем считать, что объемы производства и потребления продукта совпадают. Тогда чистый доход, создаваемый на рынке данного товара, есть разность:

I(Q) = TU(Q) - TC(Q).

Это не доход какого-либо лица или группы лиц, и в данном разделе нам будет безразлично, каким образом он распределяется между производителем, потребителем и "третьими лицами", если таковые присутствуют на рынке. Назовем его чистым общественным доходом.

При малых объемах производства и потребления чистый доход принимает небольшие значения и возрастает по мере увеличения Q. Но с ростом объема полезность потребления дополнительной единицы снижается, а затраты на производство возрастают; чистый общественный доход, пройдя максимальное значение, начинает затем убывать. Условие максимума получим, приравняв нулю производную от дохода по объему:

dI(Q)/dQ = dTU(Q)/dQ - dTC(Q)/dQ = 0,

или, иначе:

MU(Q) = MC(Q),

где MU(Q), MC(Q) -соответственно предельная полезность и предельные затраты. Но на конкурентном рынке предельная полезность в денежной форме см. лекцию 4, раздел 2 - совпадает с ценой спроса, а предельные затраты - с ценой предложения. Таким образом, чистый общественный доход принимает наибольшее значение при объеме производства-потребления Q₀, соответствующем точке пересечения кривых спроса и предложения, т.е. равновесию на конкурентном рынке, не испытывающем вмешательства "третьих лиц".

Если за базу для сравнений принять это положение "невозмущенного" равновесия (а именно так мы и поступали в предыдущих пунктах), то всякое отклонение объема от Q₀ ведет к сокращению чистого общественного дохода, т.е. к потерям. Это явление мы и наблюдали, рассматривая последствия налога и дотации.

В заключение заметим, что, анализируя общественные потери, связанные с введением потоварных налогов и дотаций, мы вовсе не утверждаем, что они приносят один лишь ущерб. Сумма индивидуальных прибылей, получаемых разными людьми и служившая у нас средством измерения различных эффектов и потерь, отнюдь не является универсальным измерителем общественного благополучия. Обществу не безразлично, в каких пропорциях производимое благо распределяется между его членами. Механизм налоги-дотации может служить средством "изъятия" части излишка у одних людей и "передачи" его другим.

Но функционирование этого механизма сопровождается потерями, подобно тому как не обходится без потерь работа любого двигателя, генератора или трансформатора. Кроме того, этот механизм выполняет перераспределительные функции лишь постольку, поскольку налоговое бремя несут одни люди, а выгоду от дотаций получают другие. Если бы это были одни и те же люди, то ничего, кроме потерь, такой механизм не порождал бы.

Эти меры влекут за собой еще одно последствие. Повышение цен на одни товары и удешевление других побуждают потребителя изменить свое поведение на рынке.

Субъективная полезность потребляемых благ при этом снижается и в том случае, если увеличивается потребление "полезных" и уменьшается потребление "вредных" (по мнению общества) продуктов. Поэтому мы можем сделать следующие выводы.

1. Прямое налогообложение, дифференцированное по категориям налогоплательщиков, и прямые бюджетные выплаты, адресованные конкретным категориям получателей (многосемейные, инвалиды и др.) во многих случаях позволяют эффективнее решать социальные задачи государства, чем система потоварных налогов и дотаций.

2. Потоварные налоги и дотации сопровождаются тем меньшими потерями, чем меньше вызываемое ими изменение объема производства и потребления.

ЗАДАЧИ.

1. Потребитель приобретает товары Х и Y. Товар Y продается по цене 2 руб. за единицу. Товар Х продается по цене 10 руб. за единицу, если объем покупки не превышает 20 единиц, а за каждую следующую (сверх 20) единицу покупатель платит 5 руб. Что представляют собой бюджетные ограничения при различных уровнях дохода?

2. Рассматривается товар X, условия продажи которого приведены в задаче 1. Функция спроса некоторого потребителя от цены равна D = A - 2P. Для случаев А = 28, 36, 44 определить:

а) объем покупки;

б) величину излишка потребителя.

3. При условии задачи 1 к лекции 10 (пункты а-в) вычислить изменения излишков потребителя и производителя.

Лекция 18. Потребительский выбор во времени

РАЗДЕЛ 0. У БАРБОСА ЕСТЬ ВОПРОСЫ. Что лучше сейчас или потом?

БАРБОС. Всем понятно, что лучше сейчас, а то отложишь и в результате ничего не получишь.

АНТОН. Что мы с тобой будем обсуждать? Как люди нетерпеливы и почему, вместо того чтобы дождаться, когда яблоки созреют, они морщатся, но едят их зелеными?

ИГОРЬ. Экий ты, Антон, шутник. Но что-то в этом есть. Люди действительно нетерпеливы. Часто это связано с неуверенностью, что завтра все будет так же благополучно, как и сегодня.

АНТОН. Ты имеешь в виду здоровье или погоду?

ИГОРЬ. Конечно, мой веселый друг, я имею в виду, что люди предпочитают получить благо как можно скорее.

АНТОН. Тогда давай представим себе, что наш потребитель выбирает, сколько ему съесть яблок сегодня и сколько - через неделю.

ИГОРЬ. Ну да, понимаю. Ты хочешь сказать, что каждое дополнительное яблоко, которое я отдам себе самому, чтобы съесть его через неделю, будет для меня все менее ценно?

АНТОН. Да, думаю, что читателю будет интересно встретить здесь нашу старую знакомую - снижающуюся предельную полезность.

ИГОРЬ. Хорошо, попробуем. Наш потребитель составляет набор из яблок, которые он потребляет “сегодня” и “завтра”.

АНТОН. Ты хочешь провести аналогию с двумя товарами, которые потребитель покупает в один и тот же момент времени?

ИГОРЬ. Конечно, вместо яблок и груш или мяса и молока, составим набор из “яблок сегодня” и “яблок завтра”.

АНТОН. Таким образом происходит обмен между “сегодня” и “завтра”?

ИГОРЬ. Можно сказать, что потребитель предпочитает не съесть сегодня часть яблок, а ссудить их кому-то и получить завтра больше.

АНТОН. Совершенно верно, он как бы дает кому-то кредит яблоками и получает процент. В конце концов для него превышение предельной полезности яблока сегодня над предельной полезностью яблока завтра становится равным цене кредита.

ИГОРЬ. И так же происходит, если я беру у тебя в долг тысячу рублей?

АНТОН. Вот именно. Если я дал тебе в долг тысячу рублей сроком на один год, то вернешь ты эту же тысячу плюс компенсацию за то, что я отказал себе в удовольствии их потратить.

БАРБОС. Что ни говори, а время работает на нас!

РАЗДЕЛ 1. Межвременный выбор во времени

До сих пор мы предполагали, что экономические действия и их последствия относятся к одному и тому же моменту времени. Как бы ни были полезны для понимания экономических проблем модели, в которых отсутствует время, реальный мир таков, что события и процессы в нем привязаны ко времени. Килограмм яблок, имеющийся в распоряжении потребителя сегодня, — это не тоже самое, что килограмм таких же яблок, который достоверно будет у него в следующем месяце. Экономические блага различаются не только своими физическими свойствами, как например яблоки, пирожки с мясом и джинсы, но и принадлежностью к определенному моменту (периоду). Это обстоятельство имеет важные последствия для потребительского выбора и экономики в целом.

Уже известный нам понятийный аппарат функций полезности и кривых безразличия применим не только к потребительскому выбору между различными комбинациями благ одного периода, но в равной степени и к потребительскому выбору между потреблением в настоящем и в будущем. Для иллюстрации этого рассмотрим простую задачу межвременного потребительского выбора.

Пусть доход индивида в каждом периоде задан и заранее ему известен. Сберегая часть текущего дохода, потребитель может увеличить расходы на потребление будущих периодов. Но простор для маневра еще шире, если существует рынок капитала.

Предположим, что индивид может давать и брать деньги в кредит под один и тот же процент r за период. Следовательно, он может сберечь часть текущего дохода, дать ее взаймы и увеличить свое потребление в следующих периодах, а может взять кредит и расширить потребление в настоящем за счет своих будущих доходов и будущего потребления. 1 руб. дохода настоящего периода можно превратить в 1 + r руб. в следующем периоде, и, наоборот, 1 + r руб. дохода следующего периода можно превратить в 1 руб. в настоящем. Это обстоятельство, а также величины настоящего и будущих доходов индивида задают его бюджетное ограничение, множество доступных альтернатив.

У потребителя есть свои предпочтения относительно различных вариантов распределения потребления во времени. Например, он хотел бы, чтобы его дети после окончания средней школы учились в частном высшем учебном заведении, за что ему придется платить.

Кроме того, он не хотел бы, чтобы его потребление, когда по возрасту он перестанет работать, сократилось до неприемлемого уровня. При этом не следует забывать и о настоятельности сегодняшних потребностей. Предположим, что такие потребительские предпочтения представлены в виде функции полезности, зависящей от расходов на потребление в различные периоды предстоящей жизни. Тогда цель потребителя — получить наивысшее удовлетворение своих потребностей — может быть представлена как максимизация функции полезности при заданном бюджетном ограничении.

Решением этой задачи является оптимальный многопериодный план потребления. С межвременных предпочтениях потребителя мы предполагаем, что они совместимы во времени. Это означает, что если спустя некоторое время потребитель вновь определит оптимальный план потребления для будущих периодов, то этот план совпадет с избранным ранее оптимальным планом для этих периодов (в условиях полной определенности). Представим для наглядности потребительский выбор во времени графически. Для этого предположим, что временной горизонт потребителя состоит только из двух периодов: настоящего и будущего. Пусть предпочтения потребителя в настоящий момент относительно различных комбинаций настоящего и будущего потребления выражены функцией полезности U(c₀, c₁), где c₀ и c₁ — объемы потребления соответственно в настоящем и будущем[1]. На рис. 1 изображены некоторые из кривых безразличия, задаваемых функцией полезности индивида. Планы потребления (комбинации настоящего и будущего потребления), лежащие на одной кривой безразличия, доставляют потребителю один и тот же уровень полезности (удовлетворения). Чем выше расположена кривая безразличия, тем более высокому уровню полезности она соответствует.

Рис. 1. Кривые безразличия потребителя

Что представляет собою движение вдоль какой-нибудь кривой безразличия, скажем? Если из точки двинуться влево вдоль то объем текущего потребления уменьшится, но увеличится объем будущего потребления так, что уровень полезности, извлекаемый индивидом, сохранится тем же. Другими словами, потребитель может согласиться на сокращение текущего потребления “в обмен” на определенное увеличение своего будущего потребления. В точке с предельная норма замещения текущего потребления будущим потреблением равна наклону касательной к кривой безразличия в этой точке.

Пусть доходы потребителя в настоящий и будущий периоды достоверно известны и равны соответственно m₀ и m₁. Потребитель стремится “забраться” на самую высокую кривую безразличия. Индивид может полностью потребить весь доход каждого периода, т. е. выбрать план потребления: c₀ = m₀, c₁ = m₁. Но существование рынка капитала предоставляет ему и другие возможности: он может давать и брать средства взаймы под процент r за период. Если его объем потребления в настоящем равен c₀, то сберегаемый в первом периоде и отдаваемый в ссуду доход равен m₀ – c₀. В следующем периоде он вернется с процентами и, следовательно, (1 +r) (m₀ – c₀) будет добавкой к доходу будущего периода. Поскольку во втором (последнем) периоде не имеет смысла сберегать, объем потребления в нем задается равенством:

c1 = m1 + (1 + r) (m0 – c0),

или:

c1 = m1 + (1 + r)m0 – (1 + r)c0.

Легко убедиться в том, что это уравнение задает прямую, проходящую через точку m = (m₀, m₁) и имеющую наклон к оси абсцисс, равный –(1 + r). Такая прямая АВ изображена на рис. 2.

Рис. 2. Линия возможностей потребителя

На прямой АВ лежат планы потребления, полностью исчерпывающие доходы двух периодов.

Вдоль прямой АВ потребитель может, используя рынок капитала, превращать (трансформировать) настоящее потребление в будущее потребление, и наоборот.

Поскольку мы имеем дело с прямой, предельная норма трансформации настоящего потребления в будущее здесь одинакова для всех точек на прямой АВ и равна 1 + r. Если потребитель выберет план потребления, лежащий на прямой АВ выше точки т, он будет в настоящем периоде кредитором (заимодавцем). Если план потребления окажется ниже и правее точки m, это означает, что индивид становится в настоящем заемщиком.

На рис. 3 изображены одновременно кривые безразличия и линия трансформации в задаче межвременного выбора для некоторого индивида. Как рациональный потребитель, он стремится выбрать оптимальный план потребления, т. е. такой, что нельзя указать другого допустимого плана потребления, который был бы для него предпочтительнее.

Оптимальным планом потребления будет точка на прямой АВ, которая лежит на самой высокой кривой безразличия, т. е. с* — точка касания кривой безразличия и прямой АВ.

Любой другой план потребления, лежащий на прямой АВ, будет обеспечивать меньший уровень полезности, например точка c`, так как проходящая через нее кривая безразличия лежит ниже кривой безразличия, касающейся линии АВ. В то же время точка c``, хотя и лежит на более высокой кривой безразличия, не может быть оптимальным решением, так как недостижима.

Рис. 3. Кривые безразличия и линия трансформации в задаче межвременного выбора

Представим себе другого индивида с тем же бюджетным ограничением (линией трансформации), но другой функцией полезности. Его кривые безразличия могли бы выглядеть так, как прерывистые линии на рис. 3.

Оптимальным планом потребления для индивида с такими предпочтениями была бы точка и индивид был бы заемщиком на рынке капитала в настоящем периоде, а не кредитором, как индивид с кривыми безразличия, изображенном сплошными линиями.

Обратим внимание, что оптимальное решение характеризуется равенством между предельной нормой замещения настоящего потребления будущим и предельной нормой трансформации настоящего потребления в будущее.

В этом разделе мы ограничились случаем, когда временной горизонт потребителя состоит всего из двух периодов. Но потребитель обычно решает более сложные задачи: ему нужно распределить свое потребление между многими периодами.

Рынок капитала предоставляет ему возможность давать и брать деньги взаймы на различные сроки. В следующем разделе на простой схеме вкладчик—банк мы рассмотрим некоторые закономерности рынка капитала, позволяющие выяснить, как трансформируется потребление в случае произвольного числа периодов.

^[1] Мы предполагаем, что функция полезности U(c₀, c₁) монотонно возрастающая, строго вогнутая и всюду дифференцируемая.

РАЗДЕЛ 2. Логика сложных процентов

В одной из книг Якова Исидоровича Перельмана есть такой сюжет.

Человек кладет в банк 1000 руб. под 100 % годовых. Это значит, что при хранении вклада в течение года его величина вырастает на 100 % первоначального значения, т. е. на 1000 руб. и если вкладчик предполагает хранить свои деньги в банке ровно в течение года, он сможет в конце этого периода получить 1000 + 1000 = 2000 руб.

Правила хранения таковы, что вкладчик может в любой момент получить свои деньги.

Проценты простые, т.е. приращение вклада пропорционально времени хранения. Если вкладчик захочет получить свои деньги через два года, то его вклад увеличится на 2000 руб. ему будет причитаться всего 3000 руб., а если он захочет снять свои деньги через полгода, то вклад увеличится на 500 руб. и составит всего 1500 руб.

Но вкладчик все-таки хочет хранить деньги в банке ровно год. И ему в голову приходит такая мысль: а что если через полгода ему переоформить вклад, т. е. как бы получить деньги и сразу же положить их снова храниться еще полгода? Сумма, выросшая за полгода, составит, как мы видели, 1500 руб. А если эти 1500 руб оставить теперь еще на полгода в банке, то сумма увеличится еще на 1500·1/2 = 750 руб. и составит 2250 руб. Это больше, чем та сумма, которая получилась бы без переоформления, так что такая операция вкладчику, безусловно, выгодна.

Читатель, возможно, заметил, что мы могли бы все расчеты выполнить проще. За первые полгода вложенная сумма возрастает в 1 + 1/2 =l.5 раза. За вторые полгода уже новая сумма возрастает в 1.5 раза, так что всего в конце года вкладчик должен получить:

1000(1 + 1/2)² = 2250 руб.

Но вернемся к нашему вкладчику. Он продолжает свои размышления: а если переоформлять вклад через каждый квартал? Тогда в конце концов получится:

1000(1+1/4)⁴ = 2441.41 руб.,

т. е. еще больше! (Если вы захотели проверить результат, учтите, что мы округляем результат до целых копеек).

Легко сообразить, что, переоформляя вклад N раз в течение года, вкладчик в конце концов получит:

1000 (l+1/N)^N руб.

При ежемесячном переоформлении вклада сумма составит 2613.04 руб., а при ежедневном, считая, что банк работает без выходных, — 2714.57 руб. Как видим, переход от N = 12 к N = 365 не очень сильно увеличил сумму — всего на 101 руб. с копейками, — так что выигрыш едва ли стоит ежедневных хлопот с переоформлением.

Но в мысленном эксперименте мы можем пойти еще дальше: а что произойдет при бесконечно частом переоформлении? Величина (1+1/N)N, как известно из курса математики, при N → + стремится к пределу, равному е ≈ 2.718 281 8... Таким образом, если переоформление вклада превратится в непрерывный процесс, то при 100 % годовых вкладчик к концу года сможет получить в банке 1000е ≈ 2718.28 руб., т. е. доход на вложенную 1000 руб. составит 2718.28 – 1000 = 1718.28 руб.

Теперь мы отойдем от перельмановского сюжета и попытаемся найти ответы на некоторые вопросы. Вполне ли разумны рассмотренные нами правила хранения вклада?

Нельзя ли их улучшить? И что означает цифра “100 % годовых”, если при соблюдении всех правил вкладчик может получить в течение года доход почти 172 %?

Чем неудачны правила, предложенные банком? Они побуждают вкладчика часто переоформлять свой вклад. При этом он не получает и не вкладывает никаких денег. Как будто ничего не происходит — а его доход увеличивается.

Банк, назначив ставку 100 % в год, должен быть готов за пользование вкладом в течение года заплатить без малого 172 % и при этом загрузить своих служащих бесполезной работой по переоформлению вкладов.

Можно, конечно, запретить вкладчику какое-то время совершать операции по своему вкладу или по крайней мере понижать процентную ставку, если вкладчик захочет воспользоваться своими деньгами в течение “запретного” периода. Можно ввести плату за переоформление. Можно не накапливать доход на счете вкладчика, а выплачивать ему причитающиеся суммы “непрерывно” (на практике — через короткие промежутки времени). Но мы рассмотрим другую возможность: попытаемся отказаться от простых процентов, т. е. от начисления дохода пропорционально сроку хранения вклада, и попробуем найти такую зависимость дохода от времени хранения вклада, которая избавила бы и вкладчика, и банк от перечисленных выше неудобств. Уязвимым местом первоначального правила начисления дохода было следующее обстоятельство: операции, не изменяющие в момент их совершения количества денег у каждой из сторон, тем не менее изменяли в конце концов доход вкладчика. Назовем такие операции фиктивными; попытаемся сконструировать правила таким образом, чтобы выполнение фиктивных операций не изменяло дохода вкладчика. Пусть v обозначает сумму, вносимую вкладчиком в момент t₀; сумму, которую он получит в банке через некоторое время, в момент t₁, обозначим w. Функция роста, связывающая эти величины: