Работа с матрицами и векторами в MathCAD

В MathCAD для работы с матрицами и векторами предназначена специальная панель инструментов Matrix. Чтобы отобразить панель Matrix необходимо щелкнуть по кнопке на математической панели Math.

Рис.3. Панель инструментов Matrix

Рассмотримназначение кнопок панели Matrix

– определение размеров матрицы;

– ввод элемента массива;

– формирование обратной матрицы;

– вычисление определителя матрицы;

– оператор векторизации (поэлементные операции с векторами и матрицами): если V ={v_ij}, то f( V )={f(v_ij)} или если A ={a_ij} и B ={b_ij}, то AB ={a_ijb_ij};

– определение столбца матрицы: А ^<j> – j -й столбец матрицы;

– транспонирование матрицы: A ={a_ij}, A ^T={a_ji;

– определение ранжированной переменной: j=m..n;

– вычисление скалярного произведения векторов: если x (x₁,x₂,…,x_n) и y (y₁,y₂,...,y_n), то x∙y =x₁y₁+x₂y₂+...+x_ny_n;

– вычисление векторного произведения векторов: если x (x₁,x₂,x₃) и y (y₁,y₂,y₃),то x×y =(x₂y₃-x₃y₂, x₃y₁-x₁y₃,x₁y₂-x₂y₁);

– вычисление суммы компонент вектора: если x (x₁,x₂,…,x_n), то ∑ x =x₁+x₂+...+x_n.

– визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице: обработка рисунков, представленных матрицами, задающими координаты их точек; изображения могут быть получены с помощью сканеров, цифровых фотоаппаратов, графических редакторов и т.п.

Выше было описано, как можно осуществить ввод вектора или матрицы поэлементно. Теперь рассмотрим, какие действия необходимо выполнить, чтобы ввести матрицу в рабочий документ при помощи кнопки панели операций с матрицами и векторам:

· ввести с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания;

· щелчком по кнопке открыть окно диалога (рис. 3.4);

· определить число строк (Rows) и число столбцов (Columns) будущей матрицы;

· закрыть окно диалога, щелкнув по кнопке OK;

· ввести элементы матрицы, установив курсор в поле ввода, которое появится справа от знака присваивания (рис. 3.5).

.

Для того чтобы выполнить какую либо операцию над матрицей с помощью кнопок панели инструментов, необходимо щелкнуть по соответствующей кнопке и ввести в поле ввода имя матрицы. Например, щелчок по кнопке транспонирование матрицы вызовет конструкцию , а конструкция появится, если щелкнуть по кнопке вычисления обратной матрицы . Результат вычислений появится после введения знака равенства.

Фрагмент рабочего листа MathCAD, изображенный на рис. 3.6, содержит примеры некоторых операций над матрицами. Решая подобные задачи, не следует забывать о свойствах элементарной алгебры матриц, например, помнить о том, что суммировать можно только матрицы одинакового размера, а перемножать только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Рисунок 3.6. Примеры операций над матрицами

В MathCAD с матрицами можно выполнять символьные операции. Меню символьных операций содержит три функции – транспонирование (Transpose), обращение матрицы (Invert) и вычисление определителя матрицы (Determinant).

Для того чтобы произвести какую либо операцию с использованием меню, матрицу необходимо выделить, а затем выбрать необходимый пункт меню щелчком мыши. Фрагмент рабочего листа MathCAD, содержащий символьные операции над матрицей, приведен на рис. 3.9.

Рисунок 3.9. Символьные операции над матрицей

Кроме панели инструментов и пунктов меню для работы с матрицами, в MathCAD существуют специальные функции, которые можно разделить на группы: функции определения матриц и операции с блоками матриц, функции вычисления различных числовых характеристик матриц и функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры, функции сортировки. Рассмотрим, наиболее часто используемые функции.

Функции вычисления различных числовых характеристик матриц:

· last(v) – вычисление номера последней компоненты вектора v;

· length(v) – вычисление количества компонент вектора v;

· rows(A) – вычисление числа строк в матрице А;

· cols(A) – вычисление числа столбцов в матрице А;

· max(A) – вычисление наибольшего элемента в матрице (векторе) А;

· min(A) – вычисление наименьшего элемента в матрице (векторе) А;

· mean(A) – вычисление среднего значения матрицы (вектора) А;

· median(A) – вычисление медианы матрицы (вектора) А;

· tr(A) – вычисление следа (суммы диагональных элементов) квадратной матрицы А;

· ranc(A) – вычисление ранга матрицы А;

Функции сортировки:

· sort(v) – сортировка элементов вектора v в порядке возрастания их значений;

· reverse(v) – перестановка элементов вектора v в обратном порядке;

· csort(A,n) – перестановка строк матрицы А таким образом, чтобы отсортированным оказался n -й столбец;

· rsort(A,n) – перестановка столбцов матрицы А таким образом, чтобы отсортированной оказалась n -я строка.

.

Матрица, полученная в результате вычислений, может быть выведена в стандартном матричном виде и в виде таблицы с нумерацией строк и столбцов.

Если не указано иначе, MathCAD определяет автоматически, в каком виде отображать матрицу или вектор. Обычно это зависит от их размерности. Например, слишком длинный вектор автоматически выводится в виде таблицы, с полосами прокрутки для просмотра, так, как показано на рис.3.29.

Для того, чтобы изменить вид отображаемой информации, необходимо выполнить следующие действия:

· вызвать диалоговое окно Result Format, дважды щелкнув в области выведенной матрицы или вектора;

· выбрать вкладку Display Options;

· в поле Matrix display style установить необходимый формат вывода – Automatic (формат определяется автоматически), Matrix (представить в матричном виде), Table (представить в виде таблицы) и нажать кнопку OK.

Рисунок 3.18. Способы вывода матрицы Рисунок 3.19. Вывод вектора

в виде таблицы