Метод наименьших квадратов

Задача выбора функции заключается в подборе по фактическим данным формы зависимости так, чтобы разница между исходными (y_i) и расчетными (y_нк) данными, образующими линию тренда, была минимальной (рис. 6), т. е.

. (24)

Соответственно рассчитываются параметры тренда, минимизирующие отклонения расчетных значений от фактических.

Тренд может быть выражен любой функцией, например:

- линейной, вида y = a + b·t;

- гиперболической, вида y = a + b/t;

- параболической, вида y = a + b·t + c·t².

Рис. 6. Метод наименьших квадратов

В данной работе вид тренда принимается линейным. Для определения коэффициентов (a, b) линейного уравнения необходимо решить следующую систему уравнений:

_{12 12}

12а+bSt_i=Sy_i ,

^{1 1}

_{12 12 12}

аSt_i +bSt²=Sy_it_i .

^{1 1 1}

Для получения прогноза на следующий временной интервал следует подставить в полученное уравнение тренда соответствующее значение t.

Пример

Исходные данные представлены в табл. 7. Расчеты по вышеприведенным формулам представлены в табл. 8 и 9. Результаты представлены на рис. 7- 9.

Т а б л и ц а 7. Выпуск продукции в 2009 году

Месяц	Выпуск yi, шт.
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь

Т а б л и ц а 8. Расчет значений

Месяц	yiсгл(3)	yiсгл(5)	yiw	(1-w)y(i-1)сгл	yiсгл
					597874,00
	630622,67		155556,25	448405,50	603961,75
	689621,00	706875,80	167942,25	452971,31	620913,56
	771426,67	767044,80	193717,25	465685,17	659402,42
	847076,67	824392,00	216910,50	494551,82	711462,32
	891774,00	877479,20	224679,75	533596,74	758276,49
	914961,67	907712,00	227240,25	568707,37	795947,62
	924066,33	910249,40	234301,25	596960,71	831261,96
	914522,33	894673,20	231508,25	623446,47	854954,72
	875733,33	863070,40	220082,25	641216,04	861298,29
	817371,33		205209,50	645973,72	851183,22
			187736,75	638387,41	826124,16

Рис. 7. Результаты сглаживания методом скользящей средней

Рис. 8. Результаты сглаживания, полученные методом

экспоненциального сглаживания

Т а б л и ц а 9. Вычисление тренда методом наименьших квадратов

Месяцы, t	yi	t2	yiti	yi(наим.кв.)*
				691207,49
				711857,81
				732508,13
				753158,45
				773808,77
				794459,09
				815109,41
				835759,73
				856410,05
				877060,37
				897710,69
				918361,01
∑ 78

*В результате решения системы уравнений были получены следующие результаты:

a=670557,17,

b=20650,32,

y _{i(наим.кв.)}=670557,17+20650,32t.

Прогноз на январь 2010г. (t=13):

y_{13(наим.кв.)}=670557,17+20650,32*13 = 939011,33 (шт.).

Рис. 9. Получение тренда методом наименьших квадратов

C помощью программы MS Excel необходимо построить нелинейные виды трендов: логарифмический, полиномиальный второй степени, степенной, экспоненциальный. Для этого для каждого из трендов необходимо выполнить следующие действия:

- построить диаграмму с исходными данными о выпуске продукции за год;

- щелкнуть правой клавишей мыши по анализируемому временному ряду;

- в открывшемся окне выбрать строку «Добавить линию тренда»;

- в открывшемся окне отметить соответствующий вид линии тренда;

- на вкладке «Параметры» поставить галочку напротив строки «Поместить на диаграмму коэффициент детерминации R^2».

Полученные кривые представлены на рис. 10-13.

Рис. 10. Логарифмический тренд, построенный в MS Excel

Рис. 11. Степенной тренд, построенный в MS Excel

Рис. 12. Экспоненциальный тренд, построенный в MS Excel

Рис. 13. Полиномиальный тренд, построенный в MS Excel

Индивидуальное задание по теме 2:

1. Сгладить временной ряд методом скользящей средней и методом экспоненциального сглаживания, построить соответствующие графики.

2. Выделить линейный тренд методом наименьших квадратов, построить график.

3. Построить в MS Excel нелинейные тренды с указанием коэффициента детерминации.

Т а б л и ц а 10. Варианты заданий