Принцип аргумента

Запишем характеристический полином САУ в виде

D(p) = a₀ (p - p₁) (p - p₂) ... (p - p_n) = 0.

Его корни

p_i = _i + j i = |p_i|e^jarg(pi),

где arg(p_i) = arctg( i/a_i) + k ,

.

а)

б)

в)

г)

Рис. 58 Корни характеристического уравнения системы: а) модуль и фаза вектора р_i, б) элементарный вектор, в) элементарные векторы, г) изменение аргумента векторов при изменении частоты w от -¥ до +¥

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.58а), тогда разность p - p_i изобразится разностью векторов (рис.58б), где p - любое число.

Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - p_i будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как p_i - это конкретное неизменное значение.

В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой , то p = j , а характеристический полином принимает вид:

D(j ) = a₀ (j - p₁) (j - p₂) ... (j - p_n).

При этом концы векторов j - p_i будут находиться на мнимой оси (рис.58в). Если менять от - до + , то каждый вектор j - p_i будет поворачиваться относительно своего начала p_i на угол + p для левых и - p для правых корней (рис.58г).

Характеристический полином можно представить в виде

D(j ) = |D(j )|e^{jarg(D(j )}),

где |D(j )| = a₀ |j - p₁| |j - p₂|...|j - p_n|,

arg(D(j )) = arg(j - p₁) + arg(j - p₂) +.. + arg(j - p_n).

Пусть из n корней m - правые, а n - m - левые, тогда угол поворота вектора D(j ) при изменении от - до + равен

= (n - m) - m ,

или при изменении от 0 до + получаем

= (n - 2m) ( /2).

Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты от - до + равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на , а при изменении частоты от 0 до + эта разность умножается на /2.

Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.