Короткі теоретичні відомості

З отриманого графіка бачимо, що на відрізку рівняння має єдиний корінь. Про це також можна переконатися з таблиці значень (рис. 1.1).

Отже, для всіх методів цього розділу вважатимемо, що шуканий корінь рівняння знаходитися на відрізку .

Рис. 1.2

1. 2. Метод поділу відрізка пополам (метод бісекції)

Застосувавши наведене вище відокремлення коренів, можна знайти інтервал , який містить корінь рівняння Умова існування кореня полягає в тому, що виконується одна із умов: ( і ) або ( і ). Ці дві умови можуть бути записані так:

Рис. 1.3

Метод поділу відрізка пополам дозволяє уточнити його з наперед заданою точністю.

Суть цього методу полягає в тому, що відрізок, який містить корінь, послідовно звужують поділом пополам до тих пір, поки не буде досягнута необхідна точність визначення кореня.

Знаходимо середину інтервалу

.

Якщо , то шуканий корінь співпадає з серединою відрізка тобто . Інакше він міститься або на інтервалі за умови або на інтервалі в протилежному випадку (див. рис. 1.3).

Вважатимемо, що шуканий корінь знайдено (уточнено) з точністю , якщо довжина проміжку, на якому він міститься, не перевищує цієї точності.

Іншим критерієм досягнення точності є умова того, що де уточнене значення розв’язку на кроці .

Якщо заданої точності не досягнуто, то провівши перепозначення через (у випадку ) або через (у випадку ) – знову шукаємо середину інтервалу і повторюємо обчислення поки необхідна точність не буде досягнута.

Реалізація методу за допомогою калькулятора

1. Пересвідчуємося в тому, що

<0,

>0,

отже, , і на обраному нами відрізку справді міститься корінь рівняння .

2. Знаходимо середину відрізка та відповідне значення функції:

, ,

отже, , тому за наступне уточнення відрізка, на якому шукаємо розв’язок рівняння беремо відрізок .

3. Знаходимо середину відрізка та відповідне значення функції:

, , отже, , тому за наступне уточнення відрізка, на якому шукаємо розв’язок рівняння беремо відрізок .

Як бачимо, після трьох кроків методу бісекції відрізок, що містить корінь зменшився до довжини . Продовжуючи обчислення, можна знайти відрізок як завгодно малої довжини, що містить корінь. Обчислення припиняємo, якщо довжина відрізка стає меншою ніж задана точність обчислення. Таким чином, можна стверджувати, що після трьох кроків методу бісекції корінь рівняння знайдено з точністю

Реалізація методу засобами OpenOffice

1. Запускаємо програму OpenOffice, переходимо на вільний робочий лист. Заповнюємо заголовок таблиці, в якій будемо виконувати обчислення

Рис.1. 4

2. Заповнюємо комірки з початковими наближеннями та формулами для обчислень:

3. В комірки B3 та C3 вводимо формули для реалізації методу:

B3: =IF(F2*D2<0;B2;(B2+C2)/2)

або =ЕСЛИ(F2*D2<0;B2;(B2+C2)/2)

C3: =IF(F2*E2<0;C2;(B2+C2)/2)

або =ЕСЛИ(F2*E2<0;C2;(B2+C2)/2)

Для комірок діапазону D3:G3 достатньо скопіювати формули із відповідних комірок діапазону D2:G2.

4. Використовуючи автозаповнення проводимо обчислення. Для цього виділяємо діапазон B3:G3, наводимо курсор миші на правий нижній кут діапазону, поки курсор не набуде вигляду “+” чорного кольору. Тримаючи натиснутою ліву кнопку миші переміщуємо курсор, доки в останній заповненій комірці стовпця G не отримаємо значення, менше за вказану похибку .

Рис. 1.5

У нашому випадку точність досягається на 15 кроці (див.Рис.1.6)

5. В якості наближеного розв’язку рівняння можна прийняти середину відрізка, значення кінців якого записані в останніх заповнених комірках стовпців B та C:

Рис. 1.6

6. Записуємо розв’язок в довільну клітинку під побудованою таблицею (див. Рис. 1.7)

Рис. 1.7

1.4. Метод дотичних

Нехай ліва частина заданого рівняння неперервна на відрізку , на якому відокремлено корінь разом з похідними та , причому та зберігають знак на цьому відрізку. Застосування методу дотичних ґрунтується на побудові послідовних наближень до розв’язку рівняння за допомогою рекурентних співвідношень

().

Геометрично формули методу можна інтерпретувати так: наступне наближення до розв’язку рівняння знаходимо як точку перетину з віссю дотичної до графіка функції у точці (див. рис. 1.15). З цього факту і походить назва методу.

Рис.1. 12

Вибір початкового наближення залежить від знака другої похідної на кінцях відрізка . Оскільки на цьому відрізку міститься відокремлений корінь рівняння то значення та мають протилежні знаки. За припущенням на відрізку зберігає знак, то матиме місце одна з двох таких ситуацій.

І. Значення та мають одинаковий знак, тобто . В цьому випадку за початкове наближення приймаємо .

ІІ. Значення та мають одинаковий знак, тобто . В цьому випадку за початкове наближення приймаємо .

Реалізація методу за допомогою калькулятора.

1. Для рівняння маємо , , . Шукатимемо корінь рівняння на відрізку . На кінцях відрізка , , , , отже початкове наближення .

2. Знаходимо за формулою .

,

.

3. Наступне наближення :

, ,

.

Продовжуючи обчислення, можна знайти розв’язок із заданою точністю.

Реалізація методу засобами OpenOffice

1. Запускаємо програму OpenOffice, переходимо на вільний робочий лист (або створюємо новий). Записуємо заголовки таблиці, для обчислень

Рис.1. 13

2. В комірку B2 записуємо початкове наближення: 1,5. В комірки C2, D2, E2, F2 та B3 − відповідні формули для обчислень (див. рис. 1.17).

Рис. 1. 14

3. Використовуючи автозаповнення проводимо обчислення, доки в останній заповненій комірці стовпця F не отримаємо значення, менше за вказану похибку .

Рис.1. 15

Для методу дотичних точність у 5 знаків після коми досягається вже на 4-му кроці алгоритму. Наближений розв’язок рівняння отримуємо в останній заповненій комірці стовпця B.

Хід роботи

Методами поділу відрізка пополам, методом дотичних знайти всі корені наведені в табл.3.1 рівнянь. Точність знаходження кореня вважати рівною 0,0000001.

Таблиця 3.1