Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Жирар Дезарг (1591-1661) – французский математик, инженер и архитектор, внес существенный вклад в создание основ проективной геометрии.
Определение 1: трехвершинником на проективной плоскости P2 называется фигура, состоящая из трех точек, и лежащих на одной прямой, и трех прямых, попарно соединяющих эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые – сторонами трехвершинника.
Трехвершинник АВС Трехсторонник АВС – двойственная фигура |
Теорема 1 (прямая теорема Дезарга): если три прямые , , , соединяющие соответствующие вершины трехвершинников и , проходят через одну точку Q, то соответствующие стороны этих трехвершинников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой q.
А0,В0,С0 q. |
- краткая запись теоремы Дезарга.
Доказательство 1 способ (методом координат):
1) Примем за координатный репер четверку точек
Пусть в этой проективной системе координат
Так как точки лежат на одной прямой, то определитель, составленный из их координат, равен нулю:
- любое число.
Аналогично получим, что
2) Найдем координаты точки
Найдем координаты точки
Найдем координаты точки
3) Точки C0, B0, A0 лежат на одной прямой, так как:
Теорема доказана.
Доказательство 2 способ:
Обозначим векторы, проходящие через точки соответственно: По условию прямая проходит через точку , следовательно, векторы компланарны, и является линейной комбинацией векторов и :
(1)
Аналогично получаем следующие равенства:
(2)
(3)
Вычтем равенство (2) из равенства (1):
-
или
Обозначим через вектор, равный каждой из этих разностей:
(4)
Так как - линейная комбинация векторов и , то точка С0, порождаемая этим вектором, лежит на прямой AB:
Тот же вектор - линейная комбинация векторов и , следовательно, точка лежит также и на прямой : .
Таким образом .
Теперь вычтем равенство (3) из равенства (1):
или
(5)
Рассуждая, как и выше, получим:
.
Далее, вычтем из равенства (2) равенство (3):
или
(6)
Теперь получим, что: .
Вычтем из равенства (5) равенство (6):
.
(7)
Равенство (7) показывает, что вектор является линейной комбинацией векторов и , поэтому, окончательно, точки лежат на одной прямой q.
Теорема доказана.
Теорема 2 (обратная теореме Дезарга): если три точки пересечения соответствующих сторон трехвершинников АВС и лежат на одной прямой q, то три прямые, проходящие через их соответствующие вершины, пересекаются в одной точке Q.
Справедливость теоремы 2 следует непосредственно по принципу двойственности из доказанной выше теоремы Дезарга.
Замечание 1: теоремы Дезарга верны и в том случае, когда данные трехвершинники лежат в разных плоскостях трехмерного проективного пространства Р3.
Определение 2: точка Q, в которой пересекаются прямые, соединяющие вершины трехвершинников, называется точкой Дезарга.
Прямая q, на которой пересекаются их соответствующие стороны, называется прямой Дезарга.
Фигура, состоящая из 10 точек и 10 прямых упоминаемых в теоремах Дезарга, называется конфигурацией Дезарга.
Замечание 2: через каждую точку конфигурации Дезарга проходят три прямые и на каждой прямой лежат три точки этой конфигурации. Любая из точек может быть принята за точку Дезарга, а любая из 10 прямых может быть принята за прямую Дезарга.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 1558 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!