![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Эти свойства мы сформулируем в виде теорем, некоторые из которых докажем.
Теорема 1. Через любые две различные точки и
проективной плоскости Ф 2 проходит единственная прямая.
Доказательство:
Так как точки и
– различны, то согласно аксиоме 4 из §2 порождающие их векторы
и
определяют одно и только одно векторное пространство
(точнее, его ненулевые векторы) порождает некоторое проективное пространство Ф 1, которое и является искомой проективной прямой
, проходящей через точки
и
проективной плоскости Ф 2.
Покажем теперь, что прямая – единственная прямая, проходящая через точки
и
.
Действительно, пусть – произвольная прямая, проходящая через точки
и
, а
– двумерное векторное пространство, порождающее эту прямую
. Так как
и
, то
и
. Поэтому
– пространство, определяемое векторами
и
. Таким образом,
и, следовательно,
, то есть прямые,
совпадают.
Теорема доказана.
Эта теорема принимает на моделях проективной геометрии следующий вид:
. Связка прямых.
«Через любые две различные прямые связки с центром проходит единственная плоскость».
. Расширенная евклидова плоскость.
Случай 1. и
– собственные точки.
Тогда – собственная прямая.
Случай 2. – собственная точка,
– несобственная точка.
Тогда точка задаётся с помощью проходящей через неё прямой
, параллельной прямой
, причём таких прямых
бесконечно много. Прямая
– собственная.
Теорема читается так: «Через данную точку проходит единственная прямая
, параллельная данной прямой
».
Замечание. Прямая проходит через точку
, но не проходит через точку
.
Случай 3. Точки и
– обе несобственные, то есть
.
В этом случае – также несобственная прямая.
Теорема 2. Любые две различные прямые одной проективной плоскости Ф 2 пересекаются в одной точке.
Доказательство:
Пусть и
– две различные прямые, лежащие в проективной плоскости Ф 2, а
и
– векторное пространство, порождающее соответственно прямые
и плоскость Ф 2.
Так как Ф 2 и
Ф 2, то
и
(
являются подпространством пространства
). Так как
– различные подпространства (двумерные) трёхмерного пространства
, то согласно известной из курса алгебры теореме их пересечением является одномерное векторное подпространство
.
Ненулевые векторы этого подпространства порождают точку, которая и является общей точкой прямых
и
.
Эти две прямые не могут иметь более чем одну общую точку, так как согласно теореме 1 через две различные точки проходит только одна прямая.
Теорема доказана.
Эта теорема принимает на моделях проективной плоскости следующий вид.
. Связка прямых.
«Две различные плоскости связки с центром пересекаются по единственной прямой».
. Расширенная евклидова плоскость.
Случай 1. и
– собственные непараллельные прямые.
– собственная точка.
Случай 2. и
– собственные параллельные прямые.
– несобственная точка.
Случай 3. – собственная прямая,
– несобственная прямая.
– несобственная точка, ей дополнена прямая
; все несобственные точки лежат на одной несобственной прямой.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 520 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!