Нормальний розподіл

Одним із найбільш універсальних, зручних і широко застосовуваних для практичних розрахунків законів розподілу випадкових величин є закон розподілу Гаусса (рис.1). Універсальність цього закону полягає в тому, що його вважають граничним законом, з якого випливають інші (показниковий, Релея, Вейбулла, Пуассона, біноміальний тощо).

Рис.1. Щільність ймовірності (а) та інтегральна функція

імовірності (б) нормального розподілу

Нормальний розподіл проявляється тоді, коли зміна випадкової величини зумовлена багатьма причинами рівнозначного впливу. Йому підпорядковуються напрацювання до відмови і на відмову більшості відновлюваних і невідновлюваних виробів, які спрацьовуються і кородують, похибки вимірювань тощо.

Функцію щільності розподілу розраховують за формулою

(12)

Цей розподіл має два незалежних параметри: математичне сподівання m_t і середнє квадратичне відхилення S. Значення цих параметрів оцінюють за такими формулами:

; (13)

, (14)

де , – статистичні оцінки відповідно математичного сподівання і середнього квадратичного відхилення (наприклад, часу напрацювання об‘єкта до відмови або на відмову).

Математичне сподівання в цьому законі розподілу визначає положення центра кривої на осі абсцис, а середнє квадратичне відхилення – ширину фігури, описаної цією кривою (рис. 1, а). При деякому напрацювання імовірність відмови Q(t)=F(t) наближається до 1,0, а імовірність безвідмовної роботи P (t) падає до нуля (рис. 1, б).

Крива щільності розподілу випадкової величини тим гостріша і вища, чим менше значення S (рис. 2). Вона поширюється в межах значень аргумента t від -∞ до +∞. Це не дуже вагомий її недолік, оскільки площа, окреслена кінцями кривої, що прямують до нескінченності, відображає дуже малу ймовірність відмови об‘єкта. Так, імовірність відмови за період до m_t – 3 S становить лише 0,135 % і може не враховуватись у розрахунках.

Для періоду m_t – 2 S ймовірність відмови також низька і не перевищує 2,175 %. Найбільша ордината кривої щільності розподілу дорівнює 0,399 /S. Інтегральна функція розподілу . Імовірність відмови та імовірність безвідмовної роботи становить відповідно: Q(t)=F(t); P(t)= 1 - F(t). Вирахування інтегралів замінюють застосуванням таблиць, а для спрощення користуються невеликими таблицями для нормального розподілу, який має m_x= 0; S_x= 1. Функція щільності ймовірності для цього розподілу і залежить лише від однієї змінної х (рис. 3). Величина х є центрованою, оскільки m_x= 0, і нормованою, адже S_x= 1.

	Рис.2. Основні характеристики нормального розподілу за різних значень середнього квадратичного відхилення: а – щільність імовірності f(t); б – імовірність безвідмовної роботи P(t); в – інтенсивність відмов λ(t)

Рис. 3. Диференціальна функція нормованого нормального розподілу випадкової величини

У цьому разі інтегральну функцію описують формулою

(15)

Очевидно, що

; (16)

(17)

Для використання таблиць потрібно робити підстановку

x=(t−m_t)/S. При цьому x називається квантилем нормованого нормального розподілу і позначається U _p.

Щільність розподілу, ймовірність відмови та імовірність безвідмовної роботи відповідно визначають так:

(18)

Значення f ₀ (x) і F ₀ (x) беруть із таблиць. (наприклад, табл. 1).

Таблиця 1. Вихідні дані для розрахунку показників надійності

x
f 0(x)	0,3989	0,2420	0,0540	0,0044	0,0001
F 0(x)	0,5	0,8413	0,9772	0,9986	0,9999

В інших таблицях (див. [1, стор. 76]) наведено безпосередньо значення P (t) залежно від квантиля:

. (19)