Систематические линейные блочные коды (СЛБК)

Основные понятия

Линейные коды – коды, для которых поразрядная сумма по модулю два любых разрешенных кодовых комбинаций также является разрешенной кодовой комбинацией. Линейные коды называют также групповыми.

Они задаются с помощью порождающей и проверочной матриц, которые связаны основным уравнением кодирования:

,

где - транспонированная проверочная матрица (строки переписаны в столбцы );

- нулевая матрица.

Матрица содержит строк и столбцов, ее элементами являются нули и единицы. Строками матрицы являются любые ненулевые линейно независимые векторы, отстоящие друг от друга не менее, чем на заданное кодовое расстояние. Понятие линейно независимые означает, что каким бы образом мы не суммировали по модулю два различные строки матрицы, мы не получим суммы, равной нулю.

С помощью матрицы можно создавать линейный код: суммируя в различном сочетании строки матрицы , получают все (кроме нулевой) комбинации кода. Полученный код содержит кодовых слов длины .

Если две порождающие матрицы различаются только порядком расположения столбцов, то определяемые ими коды называются эквивалентными. Они имеют одинаковые кодовые расстояния и, следовательно, одинаковые способности обнаруживать и исправлять ошибки.

Пример 3.1:

Код Рида-Маллера (8, 4) задается следующей порождающей матрицей:

.

Матрица содержит строк и столбцов. Единицы в каждой строке этой матрицы показывают, какие символы кодовой комбинации нужно сложить по модулю два, чтобы получить нуль. Используется для проверки правильности приема.

Чаще всего применяют систематические линейные коды. Такие коды задаются матрицами в систематической (приведено-ступенчатой или канонической) форме:

,

где , - единичные подматрицы размерностью и соответственно;

- прямоугольная подматрица размерностью ;

- прямоугольная подматрица размерностью .

Пример 3.2:

Систематический код Рида-Маллера (8, 4) задается порождающей матрицей:

.

Найдем проверочную матрицу:

.