Элементы теории множеств

Под множеством понимается любая (конечная или бесконечная) совокупность объектов с некоторой общей характеристикой (или, что то же самое - объектов одинаковой природы). Эти объекты, как вам известно еще со школы, называются элементами множества. Множества с конечным числом различных элементов могут быть описаны путем явного перечисления всех этих элементов: обычно, эти элементы заключаются в фигурные скобки. Например, - множество степеней двойки, заключенных между 1 и 10. Как правило, множество обозначается прописной буквой какого - либо алфавита, а его элементы - строчными буквами того же или другого алфавита. Для некоторых особо важных множеств приняты стандартные обозначения, которых стоит придерживаться. Так, буквами

N - множество натуральных чисел

Z - множество целых чисел

Q - множество рациональных чисел

R - множество вещественных (или действительных) чисел

При заданном множестве S включение указывает на то, что a - элемент множества S; в противном случае, как вы знаете, пишут (или ).

Множество можно описать, указав свойство, присущее только элементам именно этого множества. Множество всех объектов, обладающих свойством , обозначают через . Например: - множество всех четных чисел; - множество натуральных чисел.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и его принято обозначать символом Æ.

Говорят, что S – подмножество множества или ( содержится в ), если все элементы множества являются также элементами множества , то есть

.

Два множества и совпадают (или равны), если у них одни и те же элементы. Символически это выглядит так:

и .

Заметим, что пустое множество Æ (т.е. множество совсем не содержащее элементов) по определению входит в число подмножеств любого множества.

Если , но Æ и , то - называется собственным подмножеством в . Для выделения подмножества часто используют какое - либо свойство, присущее только элементам из .

Для множеств справедливы следующие соотношения:

(значок - это значок конъюнкции, т. е. логическое «и»).

Конечное множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до .

Операции над множествами.

Для пояснения некоторых определений и свойств операций над множествами и различных соотношений между ними воспользуемся диаграммами Эйлера – Венна, на которых множества, подлежащие рассмотрению, изображаются в виде совокупности точек на плоскости.

1. Под пересечением (произведение) двух множеств и понимается множество:

Например:

2. Под объединением (сумма) двух множеств и понимается множество:

( - значок дизъюнкции, логическое «или»)

Например:

3. Разностью \ множеств и называется совокупность тех элементов, из , которые не содержатся в , то есть

Порядок множеств при выполнении этой операции существенен.

4. Если (здесь – основное, универсальное множество) то

будем называть дополнением множества относительно (обозначается также: ).

Можно еще много говорить о множествах, их свойствах, операциях над ними и т.п. Остановлюсь лишь на некоторых свойствах, указанных операций, после чего перейдем к новому разделу. Итак, для множеств справедливы следующие соотношения:

1. Свойство коммутативности: ;

2. Свойство дистрибутивности:

3. Свойство ассоциативности:

4.

;

5. ;

6. ;

7. ;

8. и т.д.

Попытайтесь самостоятельно доказать эти свойства используя диаграммы.