Основные определения. X_i Y_i

Эксперимент занимает центральное место в науке. Однако, используется он весьма неэффективно. Дж. Бернал, например, отмечал, что научные исследования организуются и планируются настолько хаотично, что их коэффициент полезного действия может быть оценен величиной порядка 2 процента. Одним из путей повышения является применение методов планирования эксперимента. Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Основная задача метода планирования эксперимента - найти оптимальные условия реализации опыта. Пусть, например, у химика возникла гипотеза о том, что при взаимодействии двух веществ должен получиться некоторый интересующий его продукт. Чтобы убедиться в правильности своей гипотезы он начинает проводить эксперимент. Возможно, что ему повезло, и он получил требуемый продукт. Однако выход продукта весьма низок, скажем 2%. Вот тут и возникает задача выбора оптимальных условий. Требуется так подобрать концентрацию реагирующих веществ, температуру, давление, время реакции, другие факторы, чтобы сделать выход возможно более близким к 100%. В данном примере находятся условия проведения эксперимента, оптимальные в смысле максимизации выхода требуемого продукта. Но это далеко не единственно возможная постановка задачи. Найденные условия оказались бы другими, если бы становилась, например, цель минимизации себестоимости продукта или минимизации количества вредных примесей.

Задачи, сформулированные аналогичным образом, называются задачами оптимизации. Процесс их решения называется процессом оптимизации или просто оптимизацией. Эксперимент, который ставится для решения задач оптимизации, называется экстремальным. Это название связано с глубокой аналогией между оптимизацией и поиском экстре­мума некоторой функции. Определим еще ряд понятий, первое из которых - "объект исследования". Для описания объекта исследования удобно пользоваться представлением о кибернетической системе, которая схематически изображена на рисунке. Такую систему часто называют "черным ящиком".

«черный ящик»

X₁ Y₁

X₂ Y₂

X_i Y_i

X_n Y_n

Стрелки справа изображают численные характеристики целей исследования. Мы обозначим их буквой Y и назовем параметрами оптимизации. Встречаются и такие названия: критерий оптимизации, целевая функция, выход "черного ящика". Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение "черного ящика". Все способы воздействия мы обозначим буквой Х. Их назовем факторами (их называют также входами черного ящика). При решении задачи будем использовать математические модели объекта исследования. Под математической моделью понимаем уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Это уравнение в общем виде можно записать так

y= f (x₁, x₂,..., x_k),

где f называется функцией отклика.

Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких значений. Такие значения будем называть уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний "черного ящика". Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов. Если перебирать все возможные наборы состояний, то мы получим полное множество различных состояний данного "ящика". Это будет число возможных различных опытов. Чтобы узнать число различных состояний, достаточно число уровней факторов (если оно для всех факторов одинаково) возвести в степень числа факторов k: p ^k,где

p - число уровней. Так, для системы с пятью факторами на пяти уровнях имеем 3125 состояний, а для десяти факторов на четырех уровнях их уже свыше миллиона. Как видно перебор весьма велик. Найти оптимум весьма сложно. Тогда возникает вопрос: сколько и каких опытов надо включить в эксперимент, чтобы решить поставленную задачу. Здесь- то и приходит на помощь планирование экстремального эксперимента. Планирование экстремального эксперимента - это метод выбора количества и условий проведения опытов, минимально необходимых для отыскания оптимальных условий, т.е. для решения поставленной задачи.

8.2. Выбор модели.

Выше говорилось о том, что под моделью понимается вид функции отклика y= f (x₁, x₂,..., x_k). Выбрать модель - это значит выбрать вид этой функции, записать ее уравнение. Тогда останется спланировать и провести эксперимент для оценки численных значений констант (коэффициентов) этого уравнения. Но как выбрать модель? Чтобы постепенно продвигаться к ответу на этот вопрос, построим геометри­ческий аналог функции отклика - поверхность отклика. Отметим, что в случае многих факторов геометрическая наглядность теряется. Мы попадаем в абстрактное многомерное пространство, где у нас нет на­выков ориентирования. Мы рассмотрим простой пример. Необходимо геометрически изобразить возможные состояния "черного ящика" с двумя входами. Для этого достаточно располагать плоскостью с обычной декартовой системой координат. По одной оси координат будем откладывать в некотором масштабе значения (уровни) одного фактора, а по другой оси - второго. Тогда каждому состоянию "ящика" будет соответствовать точка на плоскости. У каждого фактора существует область определения, т.е. минимально и максимально возможные значения, между которыми он может измениться либо непрерывно, либо дискретно. Если факторы совместимы, то границы образуют на плоскости некоторый прямоуголь­ник, внутри которого лежат точки, соответствующие состояниям "черного ящика".

,

X₁ X₁

x_{1 max}

x_{1 min}

x_{2 min} x_{2 max} X₂ Х

Рис.1

Х

Рис. 2

Пунктирными линиями на рис.1 обозначены границы областей определения каждого из факторов, а сплошными - границы их совместной области определения. Чтобы указать значения параметров оптимизации, требуется еще одна ось координат. Если ее построить, то по­верхность отклика будет выглядеть как на рис. 2. Пространство, в котором строится поверхность отклика, мы будем называть факторным пространством. Оно задается координатными осями, по которым откладываются значения факторов и параметров оптимизации. Размерность факторного пространства зависит от числа факторов. При многих факторах поверхность отклика уже нельзя изобразить наглядно.

Исходя из задачи главное требование, предъявляемое к модели - это способность предсказать направление "крутого восхождения", те направления движения к оптимальной точке. Так как мы не знаем до получения модели, какое направление нам понадобится, то естественно требовать, чтобы точность предсказания во всех возможных направлениях была одинакова. Это значит, что предсказанное с помощью модели значение отклика не должно отличаться от фактического больше, чем на некоторую заданную величину. Модель, которая удовлетворяет такому требованию, на­зывается адекватной. Проверка выполнимости этого требования назы­вается проверкой адекватности модели. Если несколько различных моделей отвечают нужным требованиям, то следует предпочесть ту из них, которая является самой простой.

Y

x_min x_max X

Рис.3

На рисунке изображена логарифмическая функция. На некотором отрезке [ x _min, x _max ] она с удовлетворительной точностью описывается двумя уравнениями

Y = log _b X (8.1) и Y = bX (8.2)

Проще - уравнение (8.2) - иначе говоря, полином первой степени. При выборе уравнений наиболее распространенные модели - полиномиальные. Рассмотрим различные полиномы для случая двух факторов:

полином нулевой степени: y = b₀;

полином первой степени: y = b₀ +b₁x₁;

полином второй степени: y = b_o+ b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂x₁x₂ +

+b₁₁x₁² + b₂₂x₂²;

полином третьей степени: y = b_o+ b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂x₁x₂ +

+ b₁₁x₁² + b₂₂x₂² + b₁₁₂x₁²x₂ + b₁₂₂x₁x₂² + b₁₁₁x₁³ + b₂₂₂x³.

Итак, предлагается заменить неизвестную функцию отклика полиномом, т.е. аппроксимировать.

Какой из полиномов выбирают на первом этапе? Естественно полином первой степени. После каждой серии опытов определяются коэффициенты полинома, проверяется адекватность моделей. Эти серии опытов проводятся до тех пор, пока мы не достигнем области оптимума. Здесь линейная модель уже не нужна, а осуществляется переход к более высоким полиномам, чтобы более подробно описать область оптимума.