Пример 1. Решение. Составим функцию Лагранжа

.

Решение. Составим функцию Лагранжа

Найдем критические точки из системы уравнений и неравенств:

1) Если , то из первых трех уравнений системы получим , что противоречит последнему неравенству системы.

2) Положим . Получим следующую систему для нахождения критических точек:

(3)

Рассмотрим два варианта выполнения условия дополняющей нежесткости (четвертого уравнения в системе (3)):

2.1) . Тогда из первых трех уравнений получим , , . Подставляя эти значения переменных в шестое уравнение системы (3), получим , следовательно, . Таким образом, получена критическая точка при . Непосредственная проверка показывает, что выполняются все уравнения и неравенства системы (3).

2.2) . Тогда получим следующую систему уравнений:

Из первых трех уравнений системы выразим через :

.

Подставив эти значения в четвертое и пятое уравнения системы, получим . Найденное значение противоречит условию .

Заметим, что множество

не является ограниченным. Кроме того, для целевой функции справедливо неравенство . Откуда следует, что . Согласно следствию теоремы Вейерштрасса существует решение задачи на абсолютный минимум. В силу единственности критической точки решением может быть только она.

Ответ: . ●