Понятия аппроксимации и интерполяции

На практике распространенным является случай, когда вид связи между аргументом и значением функции неизвестен, а имеется задание этой связи в виде таблицы. Это означает, что дискретному множеству значений аргумента поставлено в соответствие множество значений ( =0,1,2,... ). Эти значения – либо результаты расчетов, либо – экспериментальные данные. Могут понадобиться значения величины и в других точках, отличных от узлов . Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функции: данную функцию , заданную таблично, требуется заменить (аппроксимировать) некоторой функцией так, чтобы отклонение (в некотором смысле) от в заданной области было наименьшим. Функция при этом называется аппроксимирующей.

Весьма важен случай аппроксимации многочленом

, (1.1)

= 0, 1, 2, …,

При этом коэффициенты подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения от истинной функции. Что касается самого понятия “малое отклонение” – это зависит от конкретного способа аппроксимации.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек , то аппроксимация называется точечной. Одним из видов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции строится многочлен (1.1), принимающий в заданных точках те же значения , что и функция , т.е.

, = 0,1,2,…, (1.2)

При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых. Точки называются узлами интерполяции, а многочлен – интерполяционным. Таким образом, близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.

Максимальная степень интерполяционного многочлена . В этом случае говорят о глобальной интерполяции, т.к. один многочлен используется для интерполяции функции на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента . Интерполяционные многочлены могут так же строится отдельно для разных частей рассматриваемого интервала [ , ]. В этом случае имеем локальную интерполяцию.

Простейший вид локальной интерполяции - линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки (, ) ( = 0,1,2,…, ) попарно соединяют прямолинейными отрезками, и функция приближается ломанной с вершинами в данных точках. Так как имеется интервалов (), то для любого из них существует своя прямая, проходящая через эти точки, которая описывается следующим образом:

, (1.3)

Из условия прохождения этой прямой через заданные две точки (два узла , ) находим коэффициенты и , определяющие конкретный отрезок ломанной:

(1.4)

(1.5)

Следовательно, при использовании линейной интерполяции нужно сначала определить интервал, в который попадает значение аргумента , а затем подставить его в формулы (1.3) – (1.5) и найти приближенное значение функции в искомой точке.

Используя большее число соседних точек и аппроксимируя истинную кривую более сложной линией, можно уточнить полученный результат. Перейдем к случаю глобальной интерполяции, т.е. к построению интерполяционного многочлена единого для всего отрезка интерполирования [ , ]. Существуют различные методы отыскания такого многочлена: методы Лагранжа, разностные и т. д.

Случай глобальной интерполяции реализует интерполяционный многочлен Лагранжа:

(1.6)

Из формулы (1.6) легко получить различные частные случаи, например, для квадратичной интерполяции, т.е. для случая использования трех узлов, когда многочлен Лагранжа имеет вид:

(1.7)

Точность интерполяции по формуле Лагранжа оценивается остаточным членом многочлена Лагранжа :

. (1.8)

Здесь () – производная -го порядка функции в некоторой точке , .

Блок-схема, соответствующая линейной интерполяции в явном виде (1.3) - (1.5), приведена ниже (рис.1.1).

Рис.1.1. Блок-схема линейной интерполяции