Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида , где , –многочлены степеней n и m соответственно.

Если , рациональная дробь называется правильной, в противном случае – неправильной.

Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель.

Например, –неправильная рациональная дробь. Выполним деление:

–
–
–
–
		остаток

Таким образом, неправильную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции (многочлена) и правильной дроби:

.

Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов:

,

где A, B, C, a, p, q –числа,

Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа.

Дробь 1–го типа:

Дробь 2–го типа:

Дробь 3–го типа: =[выделим в знаменателе полный квадрат и введем новую переменную: ; ]= =[разобьем интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых вычислим подведением под знак дифференциала, второй–табличный]=

Дроби 4–го типа интегрируются с помощью специальной рекуррентной формулы, которую мы рассматривать не будем.

Если правильная дробь не является простейшей, ее представляют в виде суммы простейших дробей.(См Гл.I, §2, 30)

Пример. .

Подынтегральная функция–правильная рациональная дробь. Представим ее в виде суммы простейших дробей, учитывая, что

приведем к общему знаменателю сумму дробей, стоящих в правой части:

приравняем числители дробей:

при получим:

при получим:

приравняем коэффициенты при

приравняем свободные члены:

Тогда

Вычислим последний интеграл, введя новую переменную:

Следовательно,